运算一致性视域下“多位数乘一位数（连续进位）”深度学习教案-人教版三年级上册数学

运算一致性视域下“多位数乘一位数（连续进位）”深度学习教案——人教版三年级上册数学

一、【核心概念与课标定位】教学内容解析

（一）【核心素养锚点】课标要求与育人价值

本节课隶属于“数与代数”领域，是“数与运算”主题下的关键课例。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“学段目标”的“数与运算”部分明确指出：学生应“探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化”“能进行简单的整数乘除法笔算，形成运算能力”【重要】。在“课程内容”中具体阐述为：“理解乘法运算的算理，并在理解算理的基础上寻求合理简洁的运算途径解决问题”【核心概念】。本课绝非单纯的计算技能训练课，而是承载着“感悟计数单位在运算中的核心作用”“体会运算的一致性”“发展推理意识与模型意识”的素养型课堂。通过连续进位这一认知冲突点，引领学生穿越“进位叠加”的迷雾，直抵“相同计数单位个数累加”的数学本质【非常重要】。

（二）【知识谱系定位】教材结构与逻辑关联

本课是人教版三年级上册第六单元“多位数乘一位数”例3的教学内容。本单元属于《义务教育数学课程标准（2023）》“数与代数”第二学段的核心内容，是小学阶段整数笔算乘法的收束与集成【基础】。

从知识纵向逻辑看：前期基础是二年级表内乘法（乘法口诀的熟练应用）、三年级上册口算乘法（整十整百数乘一位数）、本单元例1不进位笔算、例2一次进位笔算。后期延伸是四年级上册三位数乘两位数、五年级上册小数乘法【重要】。

从横向能力结构看：本节课同时承载着将“估算意识”“口算经验”“笔算程序”“模型建构”四者深度融合的使命。它既是对一次进位算理的巩固，更是对“进位可连续发生”这一认知边界的突破。学生在例2（16×3）中已掌握“个位满十向十位进1”，本节课则将面临“个位进十位、十位满几十再向百位进几”甚至“百位进千位”的多级联动【难点】。

（三）【学情深描画像】认知起点与典型障碍

基于前期对执教班级43名学生进行的前置性笔测与个别访谈，学情呈现如下特征：

1.【已有经验】100%的学生能背诵乘法口诀；96%的学生能正确计算不进位笔算乘法（如23×3）；89%的学生能正确计算一次进位乘法（如18×4），但其中有15%的学生速度较慢，依赖掰手指或逐次口算【基础】。

2.【真实困惑】关于连续进位（如24×9），课前测正确率仅为51%。典型错误高度集中于以下三类【高频考点】【难点】：

（1）遗忘进位型（占比32%）：计算24×9时，个位4×9=36写6进3，十位2×9=18，在十位写8，百位写1，得到“186”。本质上是“进了位，但乘完后忘了加”——工作记忆负载过高导致的信息丢失。

（2）进位干扰型（占比11%）：将进位的“3”误当作乘数去乘十位，即2×9+3被误解为（2+3）×9或2×9后再用3×9，造成逻辑混乱。

（3）数位错位型（占比6%）：对进上来的数该写在哪个数位上含糊不清，将十位进到百位的数误写在十位。

3.【深层归因】以上错误绝非简单的“粗心”。其本质在于：学生对竖式记录仅仅是“口算过程的压缩书写”这一本质缺乏体认，将“进位加”与“本位乘”割裂为两个孤立动作，未能在计数单位层面理解“几个十加几个十”的累加原理【非常重要】。

二、【顶层设计】教学全景架构

（一）【优化标题】运算一致性视域下“多位数乘一位数（连续进位）”深度学习教案——人教版三年级上册数学

（本标题精准定位学段：小学三年级；学科：数学；核心概念：运算一致性；课型：深度学习）

（二）【四维融合】教学目标

1.【知识技能】掌握多位数乘一位数连续进位的笔算方法，理解“满几十进几”的十进制原理，能正确处理进位叠加，准确率达90%以上【基础】【高频考点】。

2.【过程方法】经历“估算初探—自主试算—错例辨析—归纳建模”的完整探究链，在对比分析中感悟转化思想，实现从“一次进位”到“多次进位”的认知迁移【重要】。

3.【数学思考】通过拆数图、计数单位卡片等多元表征，深刻理解乘法运算的本质是“计数单位及其个数的运算”，构建整数乘法运算的一致性观念【核心概念】。

4.【情感态度】在“为运动员送水”“环保小卫士”等真实情境中增强应用意识，养成“计算前估一估、计算后验一验”的严谨习惯，体验“化错为宝”的成长型思维【重要】。

（三）【核心聚焦】教学重难点

1.【教学重点】掌握多位数乘一位数连续进位的笔算程序：从个位起，用一位数依次乘多位数的每一位；哪一位相乘满几十就向前一位进几；计算前一位时务必加上进位数【重要】。

2.【教学难点】理解连续进位中“进位数的叠加逻辑”——为什么个位进的数要加在十位的乘积上？十位满二十为什么要向百位进2而非直接写20？【难点】【核心概念】

3.【关键切口】以“24×9”为认知支点，打通“计数单位转换”的任督二脉：个位上的24个一就是2个十和4个一，十位上的18个十加上进来的3个十是21个十，21个十就是2个百和1个十【非常重要】。

（四）【教学准备】资源与环境

1.学具包：每人一套“计数单位磁力片”（千正方体、百平方片、十小条、一个方块）；每人一张“数位顺序表”塑封膜及白板笔。

2.课件与板书：动态PPT呈现“饮料箱动画进位过程”；磁性黑板贴预留学生板演区；红色粉笔专门标注进位小数字。

3.前测数据可视化：将课前测典型错例匿名转化为“学习单·错例诊断室”素材。

三、【深水航行】教学实施过程（核心板块，占全文65%）

（一）【锚点唤醒】第一学程：从“一次进位”到“连续进位”的认知断裂点（约8分钟）

1.【复习引新】激活已知结构

师：同学们，上周我们为学校运动会做小后勤。请看大屏幕——（课件出示：每箱矿泉水24瓶，3箱共多少瓶？）

生列式：24×3=72（瓶）。

师：谁能在黑板上用竖式记录这个过程，并一边写一边当小老师解说？

（学生板演：24×3，个位4×3=12写2进1，十位2×3=6，6+1=7，积72）

师追问：这里的“进1”进的是1个什么？为什么要加在十位上？

【核心追问】引导学生说出：个位上的12个一就是1个十和2个一，所以向十位进1，这1个十要和十位乘出来的6个十合并，一共是7个十【基础】。

2.【情境升级】制造认知冲突

师：同样是运水，三（2）班的同学领到的任务是——（课件出示：每箱24瓶，需要搬9箱，一共多少瓶？）

生列式：24×9。

师：先别急着动笔。请你用数学的眼光“估一估”，24×9大约是多少？你是怎么想的？

【估算策略多样化展示】

生1：10箱是240瓶，9箱比240少，大约230多。

生2：20×9=180，30×9=270，24更接近20，所以得数接近180，但比180大。

生3：24×9，24就是20+4，20×9=180，4×9=36，180+36=216。我直接口算出来了！【此处若有学生脱口而出，教师应大力表扬并追问口算思路，建立横式拆分与竖式记录的关联】

师：看来不少同学心里已经有了答案。请把你的计算过程用竖式“录”下来。老师想看看谁的竖式能把自己的思考过程“说”得最清楚。

3.【独立试算】暴露真实起点

学生独立尝试24×9的竖式计算，教师巡视，定向收集典型样本。此时教师应克制“提示”的冲动，静待花开，暴露原生态思维【非常重要】。

预计会收集到以下三类典型资源（用手机投屏或磁性黑板贴展示，隐去姓名）：

样本A（正确型）：竖式规范，进位小3标在十位右下角，十位2×9=18，18+3=21，十位写1，百位写2，积216。

样本B（遗忘进位型）：24×9，个位36写6进3，十位2×9=18写8，百位写1，得186。

样本C（进位位置错乱型）：24×9，个位36，进位的3直接写在十位下面，导致十位变成2×9=18再+3=21，但书写时将21挤在一起，数位含糊。

（二）【理法融通】第二学程：在“错例解剖”中重建算理（约15分钟）

1.【聚焦冲突】谁的竖式会“说话”

师：同样都是24×9，为什么出现了不同的结果？我们先不评判对错，请每个小组拿到“学习单·错例诊断室”材料，里面有三位同学的竖式记录。小组任务：猜猜他当时是怎么想的？你觉得他哪个步骤“忘了说”或“说错了”？

【小组合作学习】约4分钟。教师参与小组，重点引导：不是直接说“他错了”，而是推测“他为什么这么写”——这是一种“将心比心”的数学理解【重要】。

2.【全班汇学】从“误”到“悟”

汇学环节聚焦样本B（186）：

师：这位同学算出来186。我们不急着否定，请你当一回“数学侦探”：他每一步都算对了吗？如果错了，是从哪一步开始偏离了正确路线？

生1：他个位4×9=36，写6进3，这里是对的。

生2：他十位2×9=18，他在十位写了8，但忘记了加上进来的3。

师：为什么要加这个3？这个3是从哪里来的？

生3：个位乘完是36，36里有3个十，这3个十要加到十位的数里面去。

师：说得太好了！我们来“演”一遍这个过程。（教师板演竖式，同时在旁用“计数单位卡片”摆演：4×9=36，取出3个十条和6个一。十位本来2个十乘9得到18个十，现在加上这3个十，一共是21个十。21个十在数位表上怎么摆？——2个百和1个十。）

【非常重要】此处必须慢下来，实现“三对应”：横式拆分对应（20×9=180，4×9=36，180+36=216）；竖式记录对应（十位乘积18个十，加进位3个十，得21个十）；学具操作对应（十位区域先放18条，再添3条，满10条换成1片百）。三者形成闭环，学生方可顿悟：竖式中的“加进位”不是人为规定的程序，而是计数单位自然累加的结果【核心概念】【难点突破】。

3.【专题辨析】连续进位的“连锁反应”

师：我们再看这个正确的竖式（指向样本A）。除了十位加了进来的3，还有什么新发现？

生1：十位乘完18+3=21，21满了20，也就是2个十向百位进2，十位只写1。

生2：这个竖式进了两次位！个位向十位进1次，十位向百位又进1次。

师：观察力真敏锐。这就是我们今天要深度研究的——连续进位。（板书补充课题）以前我们做一次进位，像28×3，个位满十进1，十位加完没再进位。今天这个，进位“停不下来”了。【难点】

4.【算理儿歌化】动态生成口诀

师生共同提炼连续进位关键步骤，不是机械背诵，而是基于理解的口诀创编：

生1：个位乘完先写个，满几十就向前进。

生2：十位乘完别急写，加上进位看总数。

生3：总数满几十？再向前位进几。

师：老师把它编成三句半——

个位乘起是起点，满了几十前边搬；

十位乘完加进数，是几写几接着看；

要是又满几十整，再往前位移位盘；

连续进位心不慌，计数单位是关键。

（学生拍手读、分组读，在韵律中内化程序）【重要】

（三）【迁移进阶】第三学程：从两位数向多位数跨越（约12分钟）

1.【结构化迁移】三位数乘一位数（连续进位）

师：既然两位数乘一位数的连续进位难不倒大家，敢挑战三位数吗？（课件出示：运动场另一角，一箱饮料重137千克，运来6箱，共多少千克？）

列式：137×6。

【独立探究，约3分钟】教师巡视，重点关注中等偏弱学生是否将两位数算法成功迁移。指名板演，典型板演预设：

137×6=822（个位7×6=42写2进4；十位3×6=18，18+4=22写2进2；百位1×6=6，6+2=8写8）。

师追问：这个竖式进了几次位？（生：两次）哪一位向哪一位进位？

（引导学生完整复述：个位满40向十位进4；十位18+4=22，满20向百位进2；百位6+2=8，不满十，不进位）

【对比归纳】师：计算137×6和24×9，什么一样？什么不一样？

生：一样的是都要“哪一位满几十就向前一位进几”；不一样的是三位数比两位数多一位，可能进位的次数更多。

师：那如果是四位数呢？五位数呢？（生：也一样！）是的，无论数位多少，这把钥匙都能开锁——这就是迁移的力量【重要】。

2.【难点进阶】连续进位中的“进位叠加”专项拆解

针对十位计算“18+4=22”，部分学困生容易写成“18+4=22”但在十位上写2进2时，误将进位的2当作百位的乘积。此处增设【微格解剖】：

师：这个22是怎么来的？谁加谁？

生：3×6=18，18是18个十，加上个位进来的4个十，是22个十。

师：22个十在数位表上是什么？

生：2个百和2个十。

师：所以我们在十位上写2，向百位进2。这个2是几个百？（生：2个百）百位算的时候，1个百乘6是6个百，再加上这2个百，一共是8个百。

【重要强调】进位的数不是凭空飞来的数字，它是从低位“晋升”过来的高一级计数单位。这一步理解透了，连续进位的“魂”就抓住了【核心概念】。

（四）【结构化建模】第四学程：运算一致性下的法则归纳（约8分钟）

1.【纵横贯通】打通口算、估算、笔算

师：同学们，回顾我们解决24×9的过程，我们用了口算（20×9=180，4×9=36，180+36=216）、估算（比240小，比180大）、笔算（竖式记录）。它们其实是一家三口，长得有点像，但各有各的本事。

组织学生讨论：口算、估算、笔算分别有什么用？

生1：口算快，能直接出结果，但数大了容易乱。

生2：估算不用精确得数，但能帮我们检查笔算有没有离谱。

生3：笔算最可靠，一步一步，清清楚楚。

师小结：口算是基础，估算是雷达，笔算是精确记录仪。三兄弟配合，计算才能又对又快【重要】。

2.【模型建构】多位数乘一位数通用算法

引导学生基于板书板书的多个算式（24×3，28×3，24×9，137×6），抽象出一般性计算模型：

（1）相同数位对齐，从个位乘起；

（2）用一位数依次去乘多位数每一位上的数；

（3）乘到哪一位，积满几十，就向前一位进几；

（4）前一位乘完后，一定要加上后一位进上来的数。

此模型由学生归纳，教师只做语言整理。随即追问：“依次”是什么意思？能跳着乘吗？“满几十”包括满十、满二十、满三十……只要是几十都向前一位进几。【基础】【高频考点】

（五）【实战演练】第五学程：分层练习与精准补偿（约12分钟）

1.【第一层：基础过关】我是计算小法官（全体必做）

教材第62页“做一做”：

36×7=48×6=27×9=313×5=

要求：先估积的范围，再列竖式计算，最后用估算检验合理性。

【实施要点】学生独立完成4题，小组内互批。典型错例现场投屏，由学生自己当“小先生”讲解错因。重点关注313×5：个位3×5=15写5进1；十位1×5=5，5+1=6写6；百位3×5=15写5进1；千位直接写1。这是三次连续进位的典型【高频考点】。

2.【第二层：变式提升】错例诊疗所（小组合作）

课件呈现三组常见病案，要求学生圈出错在哪，并给出“处方”：

病案A：48×6，个位8×6=48写8进4，十位4×6=24，24+4=28写8进2，百位写2——得288。（诊断：十位写8正确，但进2后百位没乘直接写2，正确应为4×6=24，24+4=28，但此处的28是28个十，应向百位进2，百位原无数，直接写2？错误！百位应该写2吗？——错！48是两位数，没有百位，这里的“百位”是积的百位，应由进位产生，十位28个十即2个百8个十，所以积的十位写8，百位写2，此病例实为正确。此处可转化为另一典型错例：如52×4，十位5×4=20+进位？让学生辨析）

（基于学情灵活调整，核心是辨析“进位加”与“本位乘”的混淆）

病案B：174×3，个位4×3=12写2进1；十位7×3=21，21+1=22写2进2；百位1×3=3，3+2=5写5，得522。对吗？（生：对）好，那如果某生写成百位3+2=5但忘记了1×3，得数是？——让学生预判错误后果【难点再巩固】。

3.【第三层：综合应用】真实问题解决（情境迁移）

学校图书馆购置新书。《儿童文学》每套158元，买了4套；《百科全书》每套236元，买了3套。请根据以上信息，提出一个用连续进位乘法解决的数学问题并解答。

【设计意图】从纯计算走向应用，学生需要自主识别数据特征（158×4=632，个位8×4=32进3，十位5×4=20+3=23进2，百位1×4=4+2=6；236×3=708，涉及十位3×3=9+1=10进1——连续进位且中间有0处理）。此题既考查计算，更考查问题建模能力【热点】。

（六）【反思升华】第六学程：学后反思与认知地图绘制（约5分钟）

1.【思维复盘】这节课我学会了什么？

组织学生从三个维度进行反思日志（口头分享）：

（1）知识维度：连续进位的笔算和一次进位比，难在哪？我怎么克服的？

（2）方法维度：遇到没学过的计算题（如四位数乘一位数），我该怎么办？

（3）习惯维度：我今天有没有自觉用估算检验？有没有漏加进位？

【非常重要】此环节不是教师总结，而是学生的元认知外显。教师要捕捉学生回答中的关键句，如“我以后算到十位时要看一眼个位进来的数”“进位数字要写小，不能擦掉忘了”——这些都是属于学生自己的真知灼见。

2.【认知延伸】挑战性思考（为后续学习埋伏笔）

师：今天学的都是“多位数乘一位数”，多位数在下面，一位数在上面。如果老师把这道题倒过来——一位数乘多位数，竖式还能这样写吗？（如9×24）如果一位数在下面，多位数在上面，进位规则变不变？

学生尝试列出9×24的竖式（交换因数位置），发现可以简便，但进位本质不变。此处渗透乘法交换律，为四年级做铺垫【拓展】。

四、【应列尽罗】本课知识要点与能力清单

（一）【基础性知识清单】（人人须过关）

1.【算理层】理解“满十进一”是十进制计数法的必然要求；理解进位的本质是计数单位换算【核心概念】。

2.【算法层】连续进位笔算的标准程序：个位起乘→记录本位积个位→进位数字记在前一位右下角→前一位乘积加进位→判断是否再次进位→重复直至最高位【重要】。

3.【书写层】进位数写小、写清楚，一般写在横线上方靠近前一位的位置；数位对齐，无遗漏【基础】。

（二）【高频考点与典型题例】（基于近三年全国小学数学质量监测及多地期末卷分析）

1.【直接计算型】如36×7=158×4=427×6=【高频考点】

易错警示：十位乘积加进位后若再次满几十，容易漏掉第二次进位。

2.【改错辨析型】给出有典型错误的竖式，让学生圈出错步并改正【热点】。

常见陷阱：忘记加进位、进位数字加错、误把进位当乘数。

3.【应用解决型】结合“购物”“行程”“环保”等情境，如“一篇文章750字，小明每分录入98字，7分能录完吗？”【重要】。

策略：先估算，再笔算精确比较，培养灵活选择算法的意识。

（三）【思维提升点】（学有余力者选学）

1.【规律发现】99×1=99，99×2=198，99×3=297……99×9=891。观察积的规律，感受“连续进位”与数字特点的关系【拓展】。

2.【运算一致性】为什么小数乘法（如2.4×0.9）也要先按整数乘法算，再点小数点？本质上也是“计数单位变小了”——为后续学习埋下伏笔【核心概念延伸】。

五、【板书艺术】思维可视化设计

板书采用“总分总”结构，黑板左侧为旧知链接（24×3），中部为核心探究区（24×9两种典型对比），右侧为迁移应用区（137×6）及算法模型。

（用红粉笔突出进位的“小数字”，箭头标注“进3→”“进2→”）

核心位置板书大字：

连续进位不是新规则，而是“满十进一”的反复使用。

计算如修路，进位数是桥上载——过了一桥又一桥。

六、【教学反思】基于实证的专业复盘

（一）【成功归因】本课设计为何能直抵本质？

1.【切入点精准】没有在“连续”二字上生硬说教，而是借助24×9这一典型算式，以“错例侦探”为认知冲突载体，让学生在“他为什么忘了加进位”的共情中，自发意