运用基本不等式处理多元变量最值问题

微专题：运用基本不等式处理多元变量最值问题【热点导语】

基本不等式是高中数学中一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于熟练掌握要求.高考经常考查运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.试题既能考查同学们的“四基”即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，还能考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.

本微专题侧重对运用基本不等式求多元变量最值问题进行探讨与研究,望对同学们的学习有所帮助.【典例精析】【问题1】

已知

，且

，则

的最小值为

分析：我们注意到这是一道含有二元变量的求最值问题，解决这类问题的途径至少有两条：

一是通过消元减少变量，将目标式转化为一元变量处理；

二是将已知等式中分母看作整体通过换元处理，将所求的目标式用新元表示，再寻求目标式与题设条件之间的联系，进而运用基本不等式求解.解答：方法1（消元法）因为,,所以

从而当且仅当

时取等号,所以

的最小值为.方法2（换元法）令,则,所以如何求其最值？当且仅当时，等号成立.【评注】方法1由已知条件将用

加以表示，代入

得到关于

表达式，即将二元变量化为一元变量，再运用基本不等式求最值.方法2通过换元寻找所求目标式与题设条件之间的联系，再利用“1”的代换创造条件运用基本不等式求解.【变式】已知,若

，则

的最小值为

。分析：本题是一道二元变量求最值问题，若运用消元法，发现比较难以解决；但我们注意到已知等式可以通过移项分解可转化为

，通过换元将二元变量化为一元变量加以解决.解答：（换元法）由

得

，设

，,则

,从而【评注】对于多变量问题，常用的方法为消元或换元，其目的是化二元为一元,创造条件运用基本不等式求解.,当且仅当取等号【借题发挥】【问题2】已知,且,则函数

的最大值与最小值

分析：本题仍然是一道含有二元变量的求最值问题，如果用消元法比较困难，但我们注意到所求函数

是题设条件等式左边中某两项和，可以运用整体处理的思想即通过换元来处理.解答：设,则

，如何得到关于

的不等式？,所以即

，解得

，当且仅当等号成立【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一个整体,通过把两个整体相乘和换元，由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体现了整体处理的思想与构造的方法.经检验：当，时，；函数的最大值为25，最小值为1.当,时，【变式】已知,且,则

的最大值如何生成？思路1：注意到已知等式的右边为定值，联想到“和是定值，积有最大值”,于是思考把等式左边看作哪两项和，且它们乘积得到关于的表达式，是解决本题的关键.不难发现看成与和，由基本不等式得到关于

的不等式进而求解.分析：本题的目标是求

的最大值，如何得到关于

的不等式是解决此问题的难点。思路2:（换元）设，则代入已知等式整理，再由基本不等式得到关于k的不等式进而求解。解答：方法1：

因为

，所以即解得,当且仅当时等号成立.所以当时，有最大值为4

方法2：令，则代入已知并整理得【评注】方法1是根据所求目标需要，将已知条件中等式的左边通过合理分组把看成两个整体；方法2是将目标式看作一个整体通过换元来处理，最后都是由基本不等式得到关于

的不等式,再解不等式得出结果。解得,当且仅当时等号成立.所以的最大值为4.

【思维拓展】【问题3】(1)已知,且,则

的最小值为解答:(1)由

积为定值当且仅当,即时,取等号.

分析：本题是一道三元变量求最值问题，要求和的最小值，根据最值定理“积为定值,和有最小值”，考虑积为定值，于是对已知等式进行分解处理。(2)已知,且,则

的最大值为

解答:由

和为定值当且仅当,即时,取等号.

【评注】最值定理“积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值.”是我们求最值问题的理论依据。为此，需要对已知等式或者将所求目标式因式分解，进行“和”与“积”合理转化.【变式1】已知,且

，则的最大值为

分析：本题是一道含有二元变量的二次式求最值问题，由以往经验是通过消元转化为一元问题，本题直接消元比较困难.方法1：通过“1”的代换将目标式转化为齐次式，将分子分母同除以

，再通过换元转化为一元问题解决.方法2：由平方和联想到圆的方程知识，将

看作半径平方即

，利用圆的参数方程或三角代换加以处理.解答:方法1（化为齐次式）令

，

当且仅当时取等号.【评注】方法1利用“1”的代换将目标式化为齐次式，通过变形、换元、分离常数等，再利用基本不等式求解.方法2通过三角代换，三角函数范围最值.方法2(三角代换)令,设,则当时,取等号。【变式2】已知函数

的最大值为

，最小值为

，则

的值为

分析：本题实质是一道无理函数求最值问题，对于无理函数，我们的常用的策略是化无理为有理，方法是换元或平方.解法1：令

，则

，又可知.由①当时，；②当时，，由得，即综上可得，即.解法2：因为,所以

又

，

，所以

，.解法3：令，则

，所以

，.【评注】本题解决的方法比较多，解法1通过换元化无理为有理，运用基本不等式求其最值；解法2是通过平方、配方求最值；解法3是通过三角代换(参数方程），利用三角函数范围求最值。1.本微专题中问题及变式的成功解决,其策略体现在两个关键字是“元”和“转”.“元”即通过消元或换元减少变量、化非齐次为齐次式，体现了整体处理的思想；“转”即通过因式分解将“和”与“积”进行互相转换