Riemann可积的等价条件

题目：Riemann可积的等价条件目录摘要……………………4英文摘要………………51引言………………………62黎曼可积的定义………………………62.1黎曼可积的定义………………62.2函数黎曼可积的定义………62.3黎曼可积的应用………………72.4柯西-黎曼方程的来源和价值……………82.5黎曼和的定义………………93勒贝格积分………………………93.1勒贝格积分……………………103.2可测集…………103.3可测函数………………………104区别………………105致谢语……………11参考文献…………12 摘要：Riemann积分是大学数学分析中一类重要的积分，本文将从函数的黎曼可积性，柯西-黎曼方程的来源价值和如何求取定积分等几个方面来具体讲解黎曼可积的等价条件，先给出它们的定义，然后用具体实例来解释定义，讲述是如何求取的，并讲述它在大学数学课程中的重要应用和意义。关键字：黎曼可积；柯西-黎曼方程；黎曼和；勒贝格积分;可测集；可测函数;外测度；EquivalentconditionsforRiemannintegrabilityAbstract:Riemann

integral

is

a

kind

of

important

integrals

in

mathematic

analysis.

This

paper

discuss

the

equivalentconditions

of

Riemann

integrability

from

the

definition

of

Riemann

integrability,

Cauchy-Riemann

equations

and

methods

of

calculating

the

Riemann

integrals.

The

definitions

are

given

first.

Then

we

explain

how

to

calculate

from

the

examples.

Finally

we

give

its

application

and

significance

in

the

courses

of

college

mathematics.Keywords:Riemannintegrability;CauchyRiemannequation;Lebesgueintegral;Measurablefunction;Outermeasure;1.引言在数学分析和高等数学中，定积分是最重要的内容之一，它在很多方面都有应用，例如：数学，自然科学，公程学，甚至商业也有很大的作用。本文从Riemann积分理论和Riemann在函数中的应用两个不同的侧面，对Riemann可积函数的本质特征作了一些有益的比较和探讨2.1黎曼可积的定义首先，先定于函数f(x)在闭区间[a,b]有意义，然后在（a,b）上任取一点x,按积分下限到积分上限的方向给点一个增量dx,dx的绝对值是要取非常小的正数，用f(x)dx表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号表示把闭区间[a,b]上小曲边的代数面积加起来的代数面积，的值存在，我们称函数f(x)在闭区间[a,b]上定积分（黎曼积分），黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近的方法来确定这个积分值。然而，我们需要注意的是，如f(x)取负值，那么，相应的面积S也要取负值。还有就是在利用定积分和二重积分，对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均匀分布物体质量问题的研究中，我们不难发现他们有以下共同点：（1）他们都是不均匀的变化问题，当把他们看成是均匀变化的时候，那么它们就可以表示成某两个未知量的乘积形式。（2）它们具有在上区域的可加性，设Q是一个与点X的变化区域Ω有关的量，将Ω分成n个无公内点的小区域Ωi：Ω=ΣΩi时，Q相应的也被分成n个部份量Qi(i=1,2,3,n)且Q=ΣQi.(3)运用“分割-近似-求和-取极限”的方法来处理问题，都出现同一种类型和式的极限.2.2函数的黎曼可积定义①初中的时候，我们称函数f(x),x的范围叫做取值范围，高中的时候叫做定义域，所以，我们在研究一个函数之前，必须给x定一个取值范围，如果不定一个x取值范围，那我们所研究的函数是没有意义的，当然，我们研究的这个定积分也是没有意义的。然后，我们假设在这个定义的区间内存在一个分割方法，现在假设是这样规定的，假设在个区间内存在一个点列，这些点列将这个区间分成了多等分，例如，点列a=x0<x1<x2<...<xn=b,每一个小的闭区间[xi,xi+1]叫做这个区间的子区间，例如：[X1,X2],这样一个个的子区间也有一个小的范围，在此，我们也定义一个β，这个β是这些子区间长度的最大值：β=max（xi+1-xi），其中0≤i≤n-1；②取样分割：除此之外，我们还需再定义一种分割，叫做取样分割，什么叫做取样分割呢？意思就是：在（1）中我们定义了一个点列，而这些点列将一开始定义的区间分割成了n+1个小区间，然后再从这些子区间里取出一点，这样的方法叫做取样分割xi≤ti≤xi+1,β的定义也如上所定义；于是我们可以在此区间的两种取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”,这是黎曼函数在求面积是所需要注意的步骤，最后我们需要注意的是，如果所求的图形面积在x轴上方，那么我们所求的面积不用改变，如果我们所求的图形面积处于x轴下方，那我们求的面积是负的，最终我们需要结果去绝对值，如果所求的图形部分在x轴上方，部分在x轴下方，那就需要我们用公式去解决它，，对于图像在x轴上方的我们可以直接引用公式；对于图形位于x轴下方，所以我们所求的最终结果，如果表示面积，需取绝对值，如果不表示任何意义，则取其本身；而对于图形有上有下的，我们需要将其运用公式将其化简：.这就表明，我们将上述各种积分抽象为同一数学类型，该数学模型通常称为函数的黎曼积分。2.3黎曼可积的应用有些特殊的函数也是可积的（黎曼可积[1]），只要满足下列的条件若f(x)∈C（Ω），则f（x）∈R（Ω）；若f(x)在Ω内有界，且除去Ω中有限个低于Ω所在空间维数的几何形体外连续，则f(x)∈R（Ω）；这是偏导数的定义式，二元函数中，如果要求某一个未知量的导数，但是由于含有两个未知数，此时我们需要将和所求的导数无关的未知量看为常数进行运算。实例：请问下列函数在哪里解析，何处可导：f(z)=ex(cosy+isiny）；解：令u=excosy,v=exsiny;u对x求导得到：=excosy;u对y求导得到：=-exsiny;v对x求导得到：=exsiny;u对y求导得到：=excosy;=;=;柯西黎曼方程成立，所以f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面内处处解析。W=zRe(z);W=zRe(z)=x2+xyi;令u=x2，v=xy,=2x,=0,=y,=x；因为≠,所以不满足柯西黎曼方程所以该复数在复平面内处处不解析；仅当x=y=0时，=,=-;柯西黎曼方程成立，所以函数w=zRe(z)=x2+xyi仅在z=0时可导，但在复平面内处处不解析。2.4柯西-黎曼方程的来源和价值①研究历史：它又被称为C-R方程[2]，柯西黎曼方程并不是由一个人发展和建立的，它的发明者是柯西，然后由黎曼将其发扬光大，柯西--黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，因为它是由柯西和黎曼两个人发明和发展的，所以将其命名为柯西-黎曼方程。②价值：1.柯西黎曼方程在复变函数中有很重要的作用，例如，证明一个函数的解析性，用柯西黎曼方程去证明非常的简单，但是用解析性的定义去证明就会非常的麻烦，已知一个复变函数的实部或虚部，利用柯西黎曼方程还可以求出这个复变函数的虚部或实部，从而得到函数的表达式。2.5黎曼和的定义黎曼和[3]是由德国数学家一个叫做黎曼的人所发明的，他想到，平时我们所算的的面积都是规则图形，都固定的计算公式，比如说：长方形的面积公式：假设长方形的长为a,宽为b,那么长方形的面积计算公式为ab；正方形面积公式：假设边长为a，那么正方形面积计算公式为：a·a；菱形面积公式:×两条对角线的长度等。那如果我们碰到不规则的图形该如何计算它的面积呢？后来这个叫做黎曼的德国数学家想了一个办法，就是把这个不规则图形分割成一个个的长条，然后把这些长条看成是矩形，最后再将这些矩形的面积加起来，最终得到的总面积就是这个不规则图形的面积，这个算法成立的前提条件是无限的分割这个不规则图形即这些长条（矩形）的宽度趋于0，但是不等于0，即为面积的微分，定积分就是将这些无限宽度接近于0的面积加起来求和取极限即为定积分。虽然定积分在牛顿那个时候由牛顿所提出来的，但是现代的数学定积分定义确实用黎曼和的极限给出，可见黎曼所提出的黎曼和对现代定积分的发展有着多么重要的意义。定义如下：如果存在一个在闭区间有意义的实值函数，那么关于取样分割的黎曼和就可以定义为以下的和式：每一个子区间分割后都极限接近一个矩形，那么这个近似为矩形的图形都有一个面积设为：s1,s2sn,，和式中的每一项等于它右侧的值减去左侧的值也就是前面所说的xn+1-xn-1，s1=x1·y1,s2=(x2-x1)·y2...sn=(xn-xn-1)·yn黎曼和就等于s1+s2+...sn.3.勒贝格积分为了突出黎曼积分的实用性，我们可以和另外一个积分比较：勒贝格积分[4]。勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中，在一般的积分中，对于一个函数图像位于x轴上方，它的积分可以认为是图像两端点对应的两条垂直x轴的直线和x轴，还有图像所组成的不规则图形的面积，早期的积分所求取的是一条光滑的曲线与x轴所围成的图形面积，可随着积分的不断发展，所要求的图形面积越来越不规范，而勒贝格积分则是将积分扩展到这方面。3.1外测度外测度[5]有几个基本性质：①在Rn中，区间I的外测度等于它的体积|I|；②非负性：m*[E]≥0，m*[空集]=0；③单调性：若E1含于E2 ，则m*（E1）≤m*（E2）.因而集合外测度概念是实变函数心中的一个基本概念，目前实变函数中的各种教材中定义的集合外测度概念都是用开区间的长度（面积和体积）来定义的，因此我们首先给出勒贝格测度的定义。3.2可测集可测集[6]的定义：设E是实数中的点集，如果对于任意一点集都有M*T=m*(TE)+m*()3.3可测函数的定义设f(x)是定义在可测集E上的实函数，如果对于任意实数a，可测集E[f>a]恒可测，则称f(x)是在E上的可测函数[7].4区别定义比较：由以上对黎曼函数和勒贝格的定义可以看出仅从函数分割的角度来说，黎曼积分和勒贝格积分大体上是相似的。f(x)在[a,b]上有界，然后分割T={a=x0<,,<xn=b},将区间分成n等分，每个小区间范围[xi,xi+1]上任取一点Σi,i=1,2,3...,并求和。但不同的是，黎曼积分作用的是一个函数的定义域，它主要是将函数的定义域给分割成有限个小区间，而勒贝格积分作用的是函数的值域，而勒贝格积分是将函数的值域划分而成的。前者是△[a,b]的度量容易给出，但当分割细度充分小，函数f(x)在此区间上的振幅仍然较大，后者是函数f(x)在Ek上的振幅较小，但是Ek不是区间，是可测集。总的来说，一个是分割定义域，一个是分割值域，这才是黎曼积分和勒贝格积分的本质区别。说的直白一点黎曼积分的方法就是先把同类的放在一起，分别计算出结果，最后再相加，而勒贝格积分就是直接将每一个结果加起来。另外，黎曼积分的积分理论是在勒贝格测度理论的基础上建立的，测度是建立在平面的基础上，将度量推广而成的，这一理论的优点在于把有界和无界的情形都考虑到了，而被积函数可以定义在一般的点集上不局限于[a,b],可是就是这个不起眼的区别才是这两个积分的最大区别，勒贝格积分在经过不断的改进后才具有了黎曼积分所不具备的良好性质。可积条件的比较：黎曼积分可积的条件：定义域为[a,b]的函数f（x）,如果要使f(x)黎曼可积，那么它的充分必要条件为f(x)在[a,b]上的一切间断点构成一个零测度集；勒贝格积分可积条件：f（x）的定义域为E，其次还需要f(x)是有界函数，有了这两个条件，f（x）在E上才勒贝格可积。我们从函数的黎曼可积和勒贝格可积的充要条件就可以看出他们之间的不同，而且黎曼积分相对于勒贝格积分有明显的局限性，因此，勒贝格积分比黎曼积分的应用更为广泛，使用起来更加方便。从他们的充要条件可以得到如下结论勒贝格积分是正常的黎曼积分的推广，由此可见勒贝格积分比黎曼积分向前进了一大步。虽说黎曼积分没有勒贝格积分应用的广泛，但是，黎曼积分在我们所学的积分中占据着很重要的作用，我们不能因为他们的差别，优劣势来区分它