2025-2026年山东省济南章丘区九年级中考数学一模考试试题（原卷版+答案版）

章丘区2026年初中学业水平考试数学模拟试题（一）本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分。本试题共8页，满分为150分。考试时间120分钟。本考试不允许使用计算器。选择题部分共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.−2026的相反数是（）A.2026B.±2026C.−2026D.12.斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形。如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（）（第2题图）3.章丘墨泉丰水年全年出水量约15570000立方米～37840000立方米，素有“一泉成河”的美誉。其中数字15570000用科学记数法可表示为（）A.1557×104B.155.7×105C.1.557×107D.15.57×1064.下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是()5.下列计算正确的是（）A.x2+x2=x4B.(−x)2·x3=x5C.(x2y)3=x6yD.(x−y)2=x2−y26.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（）A.−a<−bB.2a<2bC.a−3>b−3D.a4>7.化简(1+1x−1)÷xx2A.x+1B.x−1C.1−xD.x+18.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（）A.12B.14C.269.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB=OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于点M，交AC于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF。若DF=37，则线段CF的长为（A.14B.4C.26D.610.我们称函数y′=y(x≤m)−y(x>m)为函数y的m分函数（其中m为常数）。例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x>3)。若y′是二次函数y=x2−2x−4关于x的m分函数（其中m为常数）。则下列结论中①当m≥1时，y′的最小值为−5；②当m=1时，若点P(a,b)（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q(2−a,−b)也在函数y′的图象上；③当m=−1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是−1，则x2−x1的最大值为6+10。描述中正确的是（A.②B.①②C.①③D.②③非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.因式分解4x2−4y2=。12.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球有个。13.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，则实数m的取值范围是。14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在100m的直线跑道上进行过障碍测试。甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离甲，乙与甲、乙出发时间t(s)的函数图象如图所示。出发10秒后，乙出现失误摔倒，在经过8秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点。则甲乙第二次相遇时的时间是秒。（第15题图）（第16题图）15.如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(4,6)，D是线段OA上的动点，连接BD，过点D作DE⊥BD与x轴相交于E。将△DOE沿DE翻折，使点O落在点O′处，连接BO′，当△BDO′为以BD为腰的等腰三角形时，点D的坐标为。三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：12−(3.14−π)0+(−12)−1−∣1−217.（本小题满分7分）解不等式组：2（18.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE=∠CBF。求证：∠BEF=∠BFE。19.（本小题满分8分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30∘，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60∘再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45∘，已知A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30∘，且B、C、D三点在同一直线上。（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度。20.（本小题满分8分）如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，∠ABC=2∠A。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，AB=5BD，求AE的长。21.（本小题满分9分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2。请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______。（2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；（3）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；（4）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？22.（本小题满分10分）2026年央视春晚上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展。某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览。经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元。（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？（2）学校准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？23.（本小题满分10分）已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点P在y轴上，且满足S△AOB=23S△BPC（3）我们将有一个内角为45∘的三角形称为“半直角三角形”，这个45∘角所对的边为“半直角边”。反比例函数y=k224.（本小题满分12分）二次函数y=ax2+bx+6的图象的对称轴为直线x=1，与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，直线l经过B，C两点。（1）如图1，求二次函数的表达式；（2）如图2，点P为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接AP与直线l相交于点D，连接FB，若S△ABD=2S△PBD，求点P的坐标；（3）定义：若点M(x,y)满足x+y=t，则称点M为“t阶融合点”。例如：M(2,3)满足2+3=5，则称点M为一个“5阶融合点”。如图3，将二次函数y=ax2+bx+6的图象y轴左侧部分沿过点C且垂直于y轴的直线翻折，将二次函数y=ax2+bx+6的图象第四象限内部分沿x轴向上翻折，与二次函数y=ax2+bx+6在第一象限内的图象组成新的函数图象T（如图中实线部分），若函数图象T上有且只有2个“t阶融合点”，请直接写出t的取值范围。25.（本小题满分12分）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法。为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究。（1）【知识技能】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，连接BE、BF、EF，且∠EBF=45∘。将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90∘至△BAM，则点M在DA的延长线上。①证明△BFM≌△BFE，并判断AF+EC=EF是否成立；②若DF=5，DE=12，请计算正方形ABCD的周长。（2）【教学理解】如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF。连接AF、CE，M、N分别是线段AF、CE上的点，连接BM、BN、MN，且∠MBN=45∘（点E、F、M、N均不与端点重合）。请猜想线段AM、MN、NC的数量关系，并说明理由。（3）【拓展研究】如图3，BD是正方形ABCD的对角线，P、Q分别为线段BD、BC上的点，且∠PQB=45∘。将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45∘）至△BMN。连接ND，取线段ND的中点E，连接CE、CM，求CMCE答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.−2026的相反数是（A）A.2026B.±2026C.−2026D.12.斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形。如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（D）（第2题图）3.章丘墨泉丰水年全年出水量约15570000立方米～37840000立方米，素有“一泉成河”的美誉。其中数字15570000用科学记数法可表示为（C）A.1557×104B.155.7×105C.1.557×107D.15.57×1064.下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是(C)5.下列计算正确的是（B）A.x2+x2=x4B.(−x)2·x3=x5C.(x2y)3=x6yD.(x−y)2=x2−y26.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（B）A.−a<−bB.2a<2bC.a−3>b−3D.a4>7.化简(1+1x−1)÷xx2A.x+1B.x−1C.1−xD.x+18.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（C）A.12B.14C.269.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB=OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于点M，交AC于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF。若DF=37，则线段CF的长为（DA.14B.4C.26D.610.我们称函数y′=y(x≤m)−y(x>m)为函数y的m分函数（其中m为常数）。例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x>3)。若y′是二次函数y=x2−2x−4关于x的m分函数（其中m为常数）。则下列结论中①当m≥1时，y′的最小值为−5；②当m=1时，若点P(a,b)（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q(2−a,−b)也在函数y′的图象上；③当m=−1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是−1，则x2−x1的最大值为6+10。描述中正确的是（A.②B.①②C.①③D.②③非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.因式分解4x2−4y2=_____4(x+y)(x－y)_____。12.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球有15个。13.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，则实数m的取值范围是m＜－4。14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在100m的直线跑道上进行过障碍测试。甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离甲，乙与甲、乙出发时间t(s)的函数图象如图所示。出发10秒后，乙出现失误摔倒，在经过8秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点。则甲乙第二次相遇时的时间是___40___秒。（第15题图）（第16题图）15.如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(4,6)，D是线段OA上的动点，连接BD，过点D作DE⊥BD与x轴相交于E。将△DOE沿DE翻折，使点O落在点O′处，连接BO′，当△BDO′为以BD为腰的等腰三角形时，点D的坐标为____（0，4）或（0，133）三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：12−(3.14−π)0+(−12)−1−∣1−2=23－1－2+1−2+2=23－217.（本小题满分7分）解不等式组：2（解不等式①得x＜3解不等式②得x≥－2原不等式组解集为－2≤x＜3整数解为－2，－1，0，1，218.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE=∠CBF。求证：∠BEF=∠BFE。∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∠A=∠C在△ABE和△CBF中∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF

(ASA)∴BE=BF∴∠BEF=∠BFE19.（本小题满分8分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30∘，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60∘再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45∘，已知A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30∘，且B、C、D三点在同一直线上。（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度。(1)在Rt△ABC中，AB=4，∠BCA=30∘∴AC=2AB=8，BC=43过A作AF⊥DE于F，则DF=AB=4，AF=BD设EF=x，则DE=x+4在Rt△AEF中，∠EAF=30∘∴AF=EFtan30∘=3在Rt△CDE中，∠ECD=60∘∴CD=DEtan60∘=∵BD=BC+CD，且BD=AF∴3x=43+x+4两边同乘3：3x=12+x+4解得：x=8∴DE=8+4=12

米(2)∵BD=AF=3x=83∵AM=6，MB=AM=63∴MD=MB+BD=6+8在Rt△MND中，∠NDM=45∘∴MN=MD=（6+83）米20.（本小题满分8分）如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，∠ABC=2∠A。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，AB=5BD，求AE的长。(1)连接OE∵OA=OE∴∠A=∠OEA∴∠BOE=2∠A∵∠ABC=2∠A∴∠BOE=∠ABC∴OE∥BC∵CD⊥DE，即BC⊥DE∴OE⊥DE∵OE是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线(2)∵⊙O半径为5∴AB=25∵AB=5BD∴BD=5AB=2∴AD=AB+BD=12由切割线定理：DE2=BD·AD∴DE2=255×12在Rt△BDE中：BE=BD2+DE∵AB是直径∴∠AEB=90∘∴AE=AB2－21.（本小题满分9分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2。请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______。（2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；（3）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；（4）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？(1)∵6h的人数为3，占比6%∴a=36%∵8h的人数为17∴m=1750(2)∵8h的人数最多（17人）∴众数为8h∵共50个数据，中位数为第25、26个数据的平均数，且第25、26个数据均为8h∴中位数为8h(3)平均数x=6×3+7×7+8×17+9×15+10×850(4)∵9h的人数占比为1550∴500人中9h的人数约为：500×30%=150

人22.（本小题满分10分）2026年央视春晚上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展。某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览。经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元。（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？（2）学校准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？(1)设A型机器人单价为x元，B型机器人单价为y元根据题意得2x+y=2400解得x=650∴A型单价650元，B型单价1100元(2)求最低费用方案设采购A型机器人a台，则B型机器人(50−a)台∵50−a>12解得a<100∵a为整数∴a的最大值为33总费用W=650a+1100(50−a)=−450a+55000∵−450<0∴W随a的增大而减小∴当a=33时，W最小W=−450×33+55000=40150元∴方案：采购A型33台，B型17台，最低费用40150元23.（本小题满分10分）已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点P在y轴上，且满足S△AOB=23S△BPC（3）我们将有一个内角为45∘的三角形称为“半直角三角形”，这个45∘角所对的边为“半直角边”。反比例函数y=k2(1)∵反比例函数y=k2∴k2=1×(−3)=−3∴反比例函数表达式为y=−3∵A(−3,m)在反比例函数上∴m=−3－即A(−3,1)设一次函数为y=mx+n，将A(−3,1)、B(1,−3)代入y=mx+n得－解得m=∴一次函数表达式为y=−x−2(2)令y=0，则−x−2=0，解得x=−2，即C(−2,0)，OC=2S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×1+1∵S△AOB=23S∴S△BPC=23设P(0,t)，则S△BPC=12∴∣t+2∣=12解得：t=10或t=−14∴P(0,10)或P(0,−14)(3)设Q(t,−3t)（t>0），OB=要使△OBQ是“半直角三角形”且不以OB为“半直角边”，分两种情况：①若∠OQB=45∘，过O作OM⊥BQ于M，则OM=QM直线BQ的斜率为3t方程为y+3=3t点O到直线的距离OM=－3结合勾股定理解得t=3，即Q(3,−1)②若∠BOQ=45∘，同理可解得Q(1.5,−2)∴存在点Q，坐标为(3,−1)或(1.5,−2)24.（本小题满分12分）二次函数y=ax2+bx+6的图象的对称轴为直线x=1，与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，直线l经过B，C两点。（1）如图1，求二次函数的表达式；（2）如图2，点P为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接AP与直线l相交于点D，连接FB，若S△ABD=2S△PBD，求点P的坐标；（3）定义：若点M(x,y)满足x+y=t，则称点M为“t阶融合点”。例如：M(2,3)满足2+3=5，则称点M为一个“5阶融合点”。如图3，将二次函数y=ax2+bx+6的图象y轴左侧部分沿过点C且垂直于y轴的直线翻折，将二次函数y=ax2+bx+6的图象第四象限内部分沿x轴向上翻折，与二次函数y=ax2+bx+6在第一象限内的图象组成新的函数图象T（如图中实线部分），若函数图象T上有且只有2个“t阶融合点”，请直接写出t的取值范围。(1)∵二次函数y=ax2+bx+6对称轴为x=1，过A(−1,0)∴－解得a=−2由x=1得b=−2a，代入a−b+6=0得a+2a+6=0，∴二次函数表达式为y=−2x2+4x+6(2)令y=0，则−2x2+4x+6=0，解得x=−1或x=3，即B(3,0)令x=0，则y=6，即C(0,6)直线l过B(3,0)、C(0,6)，方程为y=−2x+6∵S△ABD=2S△PBD，且△ABD与△PBD同高∴AD:DP=2:1，即D为AP的三等分点（靠近P）设P(x,−2x2+4x+6)，A(−1,0)，则D的坐标为(2x−13,2∵D在直线l:y=−2x+6上∴2（－2x2+4x+6解得x=2（x=−1舍去）∴P(2,6)(3)由题意，新函数T的表达式为：第一象限部分：y=−2x2+4x+6

(0≤x≤3)翻折部分：y=2x2+4x+6

(x<0)第四象限翻折部分：y=2x2−4x−6

(x>3)t阶融合点即直线y=−x+t与T有且只有2个交点，解得t的取值范围为6<t<152或t=−25.（本小题满分12分）图形