2026年26届希望杯试题及答案

2026年26届希望杯试题及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若一个数的绝对值是5，这个数是（）A.5B.-5C.±5D.以上都不对2.下列运算正确的是（）A.2a+3b=5abB.a³·a²=a⁶C.(a³)²=a⁵D.a³÷a²=a3.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而增大，则这个一次函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.数据1，2，3，4，5的中位数是（）A.2B.3C.4D.55.若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＜1B.m＞1C.m≤1D.m≥16.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形7.化简\(\frac{x²-1}{x+1}\)的结果是（）A.x-1B.x+1C.\(\frac{1}{x-1}\)D.\(\frac{1}{x+1}\)8.已知点A（-2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）都在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（k＞0）的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（）A.y₁＜y₂＜y₃B.y₃＜y₂＜y₁C.y₁＜y₃＜y₂D.y₂＜y₃＜y₁9.如图，在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，OC=3，则⊙O的半径为（）A.5B.10C.8D.610.某商场为促销商品，开展抽奖活动，准备了1000张奖券，其中一等奖10张，二等奖20张，三等奖30张，小明抽奖一次，中奖的概率是（）A.\(\frac{1}{10}\)B.\(\frac{1}{20}\)C.\(\frac{3}{50}\)D.\(\frac{3}{100}\)二、填空题（总共10题，每题2分）1.-3的相反数是______。2.分解因式：x³-4x=______。3.函数\(y=\frac{1}{x-2}\)中，自变量x的取值范围是______。4.若\(\sqrt{x-1}\)+(y+2)²=0，则x-y的值为______。5.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长为______。6.若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是______。7.已知一组数据2，3，x，5，7的平均数是5，则这组数据的中位数是______。8.若二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，-2），则b=______，c=______。9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA=______。10.某工厂去年的产值是a万元，今年比去年增长10%，则今年的产值是______万元。三、判断题（总共10题，每题2分）1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。（）2.若a＞b，则ac²＞bc²。（）3.三角形的三条高一定都在三角形的内部。（）4.平行四边形的对角线互相平分且相等。（）5.若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等。（）6.方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)的解是x=2。（）7.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（）8.数据1，2，3，4，5的方差是2。（）9.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象一定与x轴有交点。（）10.必然事件发生的概率是1。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.计算：\((-2)²-(\frac{1}{3})^{-1}+2sin30°\)。2.解不等式组\(\begin{cases}2x-1＞x+1\\x+8＜4x-1\end{cases}\)，并把解集在数轴上表示出来。3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，求证：BE=DF。4.先化简，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x²-1})\div\frac{x²+x}{x²-2x+1}\)，其中x=\(\sqrt{2}\)。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与k，b的关系。2.讨论一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况与判别式\(\Delta=b²-4ac\)的关系。3.讨论反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（k≠0）的图象性质。4.讨论二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口方向、对称轴和顶点坐标与a，b，c的关系。答案：一、单项选择题1.C2.D3.D4.B5.A6.C7.A8.C9.A10.C二、填空题1.32.x(x+2)(x-2)3.x≠24.35.2π6.87.58.-4，19.\(\frac{4}{5}\)10.1.1a三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.原式=4-3+2×\(\frac{1}{2}\)=4-3+1=2。2.解不等式2x-1＞x+1，得x＞2；解不等式x+8＜4x-1，得x＞3。所以不等式组的解集为x＞3。在数轴上表示为：从3处向右的射线，3处为空心点。3.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AD∥BC。又因为E，F分别是边AD，BC的中点，所以DE=\(\frac{1}{2}\)AD，BF=\(\frac{1}{2}\)BC，所以DE=BF，且DE∥BF，所以四边形BEDF是平行四边形，所以BE=DF。4.原式=\([\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x-1)²}\)=\(\frac{x²+x-1}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x-1)²}{x(x+1)}\)=\(\frac{x²+x-1}{x(x+1)}\)。当x=\(\sqrt{2}\)时，原式=\(\frac{2+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}\)=\(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}\)=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。五、讨论题1.当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点位置，当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b=0时，直线过原点；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴。2.当\(\Delta＞0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；当\(\Delta＜0\)时，方程没有实数根。3.当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。图