2026年八年级数学下册期中真题汇编 专题05 期中解答压轴题

Page专题05解答压轴题6大高频考点概览考点01三角形与平面直角坐标系的综合考点02“一线三等角”模型考点03“截长补短”模型考点04旋转模型考点05与不等式有关的阅读理解类题考点06不等式与一次函数综合1．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰．(1)如图1，若、满足，求点的坐标(2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：．2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3．(1)求一次函数的表达式；(2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，①求线段的长度，②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标；(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：(1)如图1，若，则的面积为；(2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标；(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）建立模型：如图，等腰中，，，直线经过点．过点作于点，过点作于点，可证明得到．模型应用：(1)如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第一象限，直线经过点和点，且，，求点、点和点的坐标；(2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3．(1)求一次函数的表达式；(2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标；(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；(4)如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标．地地城考点02“一线三等角”模型6．（25-26八年级上·山东济宁·期中）中，．(1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______；(2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数．7．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：；【拓展应用】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由．8．（25-26八年级上·全国·期中）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：．【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D．①点B的坐标为，点C的坐标为；②求直线的函数表达式．【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．9．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点．(1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证：①；②(2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，①在图中找出一对全等三角形，并加以证明；②直接写出、、三边的数量关系．10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________；②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由；【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由；②如图4，在中，，．求的面积．地地城考点03“截长补短”模型11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践【解决问题】(1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：．(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长．12．（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程．【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：；【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______．13．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且．(1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长．14．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）基础技能“截长补短”：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是；（2）问题解决：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，边上的两点，且，求证：；（3）问题拓展：如图3，在中，，，点D是外角平分线上一点，交延长线于点E，F是上一点，且，猜想线段、、的数量关系，并说明理由．15．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．地地城考点04旋转模型16．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内．动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形；实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长．17．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段；(1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：；(2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点；(3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值．18．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．(1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是；(2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明．19．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D．(1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：；(2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G．①求证：；②若，，求的长．20．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长．(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程；(2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由：(3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．地地城考点05与不等式有关的阅读理解类题21．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”．(1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______；(2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______；(3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______．22．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得：∴∴，当且仅当时，等号成立．因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2．阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为．例：若，则变形为，∴该方程的解为，化简后得：．请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：(1)若，当_______时，式子的最大值为_______．(2)若，求出的最小值及对应的x的值．(3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值．23．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点．例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是．【问题解决】(1)点的“3型平移”点的坐标为______．若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______．(2)已知线段的两个端点分别是，．①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段．②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围．24．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点．(1)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________；(2)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值；(3)若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围．25．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于第一象限的，两点，给出如下定义：若轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图），则称点与点为反射点．对第一象限的点和图形，若图形上存在点，使得点与点为反射点，则称图形为反射图形．(1)在点，，，中，与为反射点的是______（填所有符合要求的序号）；(2)已知，，，．若线段（含端点）为反射图形，求的取值范围；已知，，，，，关于的对称点为，，，，若四边形上至少存在一点，使得四边形为反射图形，直接写出的取值范围．地地城考点06不等式与一次函数综合26．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为．(1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______；(2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标．27．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．(1)求直线的表达式；(2)若，直接写出x的取值范围；(3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象经过点，且与y轴交于点B，与直线：交于点A，点A的横坐标为3．(1)求直线的解析式；(2)直接写出关于的不等式的解集；(3)若D是x轴上的点，且，求点D的坐标29．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数．例如：一次函数，它的伴随函数为．【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式．（2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格：．．．012．．．．．．_______20________．．．①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象：②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值．【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________．x…012…y…020…30．（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数：下表是y与x的几组对应值：x…012345…y…54m210123…其中；(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而；(4)进一步探究：①不等式的解集是；②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是．Page专题05解答压轴题6大高频考点概览考点01三角形与平面直角坐标系的综合考点02“一线三等角”模型考点03“截长补短”模型考点04旋转模型考点05与不等式有关的阅读理解类题考点06不等式与一次函数综合地地城考点01三角形与平面直角坐标系的综合1．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰．(1)如图1，若、满足，求点的坐标(2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：．【答案】(1)(2)存在，点P的坐标为或或(3)见解析【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识，（1）过点作轴于．求出，，证明，则，，求出，即可得到答案；（2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可；（3）过点作，使，连接、．证明，则，，证明，则，得到，则，由勾股定理得到，即可得到结论．【详解】（1）解：如图：过点作轴于．∵，∴，，，，，，，∵是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，，；（2）存在；设点P的坐标为，则，∵，，∴，当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去）∴此时点P的坐标为；当时，得到，解得或∴此时点P的坐标为或；综上可知，点P的坐标为或或；（3）过点作，使，连接、．，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3．(1)求一次函数的表达式；(2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，①求线段的长度，②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标；(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)①；②或(3)或【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）先求出，再利用待定系数法求解即可．（2）①求出点B的坐标为，从而得出；②根据等腰三角形的定义分两种情况：或，分别求解即可．（3）根据三角形面积公式可得，过P作轴交于Q，则，再由，结合的面积等于面积的一半，列方程即可解答．【详解】（1）解：∵点C的横坐标为3，∴把代入中，得，∴点C的坐标为，把，代入，得，解得，∴一次函数表达式为；（2）①把代入得，解得，∴点B的坐标为，∴；②∵为以为腰的等腰三角形，∴或，当时，∴或（舍去），当，过B作于H，∴，∴，∴，∴，综上所述，点M的坐标为或．（3）∵，，∴，过P作轴交于Q，∵，∴，∵，的面积等于面积的一半，∴，解得或，∴或．3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：(1)如图1，若，则的面积为；(2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标；(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)5(2)(3)存在，点B的坐标为或【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解；（2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解；（3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，，∴在与中，，，，∵中，，∴，．故答案为：；（2）解：过点B作轴于点，则，∴，，，，．在与中，，，，，∴，，，，，．设直线的解析式为：，∵直线过点，∴，解得：，直线的解析式为：，令得，，；（3）解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下：如图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，

则，，，，∵，，∴，∴，∴，，，∴，，，即，∵点在直线上，，，∴点B的坐标为或．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键．4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）建立模型：如图，等腰中，，，直线经过点．过点作于点，过点作于点，可证明得到．模型应用：(1)如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第一象限，直线经过点和点，且，，求点、点和点的坐标；(2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)在轴左侧的平面内存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点的坐标为或或【分析】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的图象与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．（1）过点作轴于，分别令和求得、两点的坐标，通过证明，可得，，进而得到，从而得到点的坐标；（2）设，分种情况讨论：当为直角顶点，在上方时，当为直角顶点，在下方时，当为直角顶点，由于点在轴的左侧，故点在上方不满足条件，则点在下方，分别同（1）一致，构造全等三角形，得到对应边相等，列方程组并解方程组即可分别求出点的坐标．【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于，在中，令得，解得，令得，，，，，，，轴，，，在和中，，，，，，点的坐标为；（2）解：在轴左侧的平面内存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：设，当为直角顶点，在上方时，如图所示，过作轴交轴于，过作于，同（1）可证，，，，解得，；当为直角顶点，在下方时，如图所示，过作轴交轴于，过作于，同（1）可证，可得，，，解得，；当为直角顶点，由于点在轴的左侧，故点在上方不满足条件，则点在下方，如图所示，过作轴交轴于，过作轴交轴于，同（1）可证，可得，，，解得，；综上所述，在轴左侧的平面内存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点的坐标为或或．5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3．(1)求一次函数的表达式；(2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标；(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；(4)如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标．【答案】(1)(2)或(3)存在；或(4)6或【分析】（1）先求出点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）先求出点，勾股定理求得，进而分两种情况讨论，即可求解；（3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可．【详解】（1）解：∵点的横坐标为3．且在正比例函数的图象上∴，将，代入∴解得：∴一次函数解析式为：（2）解：由，当时，，解得：∴∵∴当时，则当时，如图所示，过点作于点，∴∴∵轴，∴，综上所述，为以为腰的等腰三角形，点的坐标为或；（3）解：∵，∴如图所示，当在点的左侧时，∴依题意，解得：，则当在点的右侧时，如图所示，依题意，解得：，则综上所述，点的坐标为或（4）当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点，如图所示：设点，则，根据折叠可得：，，∵，∴四边形为长方形，∴，，∴，在中根据勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此时点的坐标为；当时，如图所示：设点，则，根据折叠可得：，，∵，∴轴，∴，，∴，，在中根据勾股定理得：，即，解得：，综上分析可知，点N的横坐标为：6或【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解一元二次方程；解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．地地城考点02“一线三等角”模型6．（25-26八年级上·山东济宁·期中）中，．(1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______；(2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)或或【分析】（）由“”证明，可得，，进而即可求解；（）由“”证明，可得，，进而即可求解；（）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可求解；【详解】（1）解：∵于点，于点，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴；（2）解：，理由如下：同理（）可证，∴，，∴，即；（3）解：当点在线段上时，如图，∵，，∴，∵将沿翻折得到，∴，∴，又∵，∴，当时，，∴；当时，，∴；当时，，∵，∴该种情况不存在；当点在线段的延长线上时，如图，∵，，∴，∵，∴;综上所述，的度数为或或．7．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：；【拓展应用】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．（1）利用证明即可；（2）证明得到，，则；（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，．【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，∴，∴．∵，∴．∴．在和中，，；（2）证明：∵是的外角，∴．∴．∵，∴．在和中，，∴．∴，．∴；（3），大小关系是：理由如下：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：∵，∴．∴．∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．同理可证明：．∴．∴．∵，，∴．8．（25-26八年级上·全国·期中）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：．【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D．①点B的坐标为，点C的坐标为；②求直线的函数表达式．【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．【答案】【模型呈现】证明见解析【模型应用】①，；②【模型迁移】点Q的坐标为或【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质；【模型呈现】利用证明即可【模型应用】过C作轴于K，求出，，得到，，同理，所以，，即得，然后利用待定系数法解答即可；【模型迁移】过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况，结合模型呈现，利用全等三角形对应边相等列方程组即可求解．【详解】【模型呈现】∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．【模型应用】①过C作轴于K，如图2：一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，当时，即，解得：，当时，即，∴，，∴，，由【模型呈现】可得：，∴，，∴，∴，②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为．【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况：①如图，当在点左侧时，∵点是点C关于y轴的对称点，∴，∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，，由【模型呈现】可得，∴，∴，解得：，∴，②如图，当在右侧时，，解得：，∴，综上：点Q的坐标为或．9．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点．(1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证：①；②(2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，①在图中找出一对全等三角形，并加以证明；②直接写出、、三边的数量关系．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)①；②，证明见解析．【分析】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．（1）①先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；②先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差、等量代换即可得证；（2）①先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；②先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）①∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；②由（1）①已证：，∴，∴；（2）①，证明如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；②，证明如下：由（2）①已证：，∴，∴．10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________；②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由；【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由；②如图4，在中，，．求的面积．【答案】（1）①；②，见解析；（2）①，见解析；②18【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键．（1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案；同理证明即可得到答案；（2）①作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论；②作，交于点，证明即可得到答案【详解】解：（1），，，，，，，在和中，，，，，；②，理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，；（2）①，理由如下：作于点，∵，∴，同（1）法可得：，∴，∴；②在中，，，，如图，作，交于点，，，，，在和中，，，，．地地城考点03“截长补短”模型11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践【解决问题】(1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：．(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键，（1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出；（2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长．【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，如图所示：平分，，在和中，，，，，，，，，，，；（2）解：在上截取，连接，如图所示：在中，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．12．（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程．【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：；【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______．【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：【方法初探】证明过程如下，，．在和中，，，．，，，．，，即．【方法应用】证明：如图，在上取一点，使得，又，是等边三角形，，．是等边三角形，，，，即．在和中，，，，即．【实际应用】解：，理由：如图，在的延长线上取一点，，连接，为的补角的角平分线，即平分，．在和中，，，．，，，．，，，．又，．13．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且．(1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在上截取，使得，∵平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵是的一个外角，∴，∴，∴，∴∵，∴；（2）在上截取，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为16．14．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）基础技能“截长补短”：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是；（2）问题解决：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，边上的两点，且，求证：；（3）问题拓展：如图3，在中，，，点D是外角平分线上一点，交延长线于点E，F是上一点，且，猜想线段、、的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析【分析】（1）延长到点E使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形三边关系计算；（2）延长到G，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明；（3）作于H，在上截取，连接，分别证明，，，根据全等三角形的性质和线段的和差证明．【详解】（1）解：如图1，延长到点E使，连接，在和中，，∴，∴，∵，即，∴；（2）证明：如图2，延长到G，使，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：．理由：作于H，在上截取，连接，则，∵，，∴，，∴，∵点D是外角平分线上一点，∴，在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．【点评】正确作出辅助线,构造全等三角形，灵活应用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：．【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识．（1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到；（2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解；（3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明．【详解】解：（1），理由：如图①，在上截取，连接，为的角平分线，，在和中，，，，，，，，，，，；（2），理由：如图②，在上截取，连接，平分，，在和中，，，，，，，，，，，；（3）不成立，新数量关系为：，理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，是的平分线，，在和中，，，，，，，，，，，，，．地地城考点04旋转模型16．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内．动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形；实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长．【答案】画图见解析，【分析】本题考查全等三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可；实践运用：过点作于点，于点，证得，进而证得四边形是正方形，设正方形的边长为，列方程求解即可．【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图：实践应用：过点作于点，于点，，，、，，，，，，，、，，，四边形是正方形，，设，、，，、，，在中，，即，解得或，当时，在中，、、，满足，即，则符合题意，当时，在中，、、，由于，与矛盾，则不符合题意，故舍去，，，答：的长为．17．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段；(1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：；(2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点；(3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)当在的延长线上，；当在线段上，【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，再利用全等三角形判定即可证明；（2）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，进而推出，得到，，再通过证明，得到，再结合得到，最后根据等量代换以及中点的定义即可证明；（3）分2种情况讨论：①当在的延长线上；②当在线段上，先证明，得到，，进而证明，得到，得到，再由，分别求解的值即可．【详解】（1）证明：∵，∴，由旋转的性质得，，，∴，∴，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴，由旋转的性质得，，，∴，∴，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴点是的中点，∴，∴，∴点E是的中点；（3）解：①当在的延长线上，如图，在上截取，连接，∵，，∴是等边三角形，，∴，，由旋转的性质得，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②当在线段上，如图，延长至点使得，连接，同理①可得，，∴，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∴综上所述，当在的延长线上，；当在线段上，．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．18．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．(1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是；(2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．（1）由旋转得，，可得，可证明，即可得；（2）由题意得，．证明，可得，，则．在中，由勾股定理得，，即．【详解】（1）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，∴，在与中，，∴，∴．故答案为：；（2）解：．理由如下，∵，∴．由旋转得，，∴，在与中，，∴，∴，∴．在中，由勾股定理得，，∴．19．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D．(1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：；(2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G．①求证：；②若，，求的长．【答案】(1)见详解(2)①见详解；②【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；②由勾股定理求出，，，则可求出答案．【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，，，，，于，，，，，又，，；（2）①证明：过点作交于点，连接，由（1）知为的中点，，，为等腰直角三角形，，又，，，，，，，，又，，，，；②解：，，，，，，，，又，．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长．(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程；(2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由：(3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．【答案】(1)，证明见详解(2)见解析(3)【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键．（1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解；（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可；（3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：，证明如下：根据旋转的性质得，，∴为等边三角形，∴，，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，，∴，∴由勾股定理得，；（2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，∴，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得，∴；（3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，同（1）可得为等边三角形，∴，同（1）可得，∴，，∴，∴点在同一条直线上，∴，∵，∴，∵，，，∴，由勾股定理得，∴，即．地地城考点05与不等式有关的阅读理解类题21．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”．(1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______；(2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______；(3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了坐标的轴对称变换、坐标几何、不等式应用及等腰直角三角形的存在性问题；解题的关键是得出“线镜像点”的坐标变换特征．（1）根据关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征结合坐标平移确定“线镜像点”的坐标变换特征，若点为，则“线镜像点”为，逐个代入验证即可；（2）根据（1）得到的规律确定点，点，“线镜像点”，点，由题意可知线段与轴有交点，由此得出不等式组即可求解；（3）根据（1）得到的规律确定点，点的“线镜像点”分别是点，，由，即可确定使得为等腰直角三角形的点坐标，根据关键点的坐标于区域的关系列不等式组即可解答．【详解】（1）设点为，如图：以点为原点建立新平面直角坐标系，则在新的平面直角坐标系中，点，点，即直线是新的坐标系第二、四象限的角平分线，∵点关于直线的对称点为点，∴由关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征可知：∴在原平面直角坐标系中点关于直线的对称点为点，坐标为∴点的“线镜像点”是即，不在轴上，的“线镜像点”是，即，在轴上，的“线镜像点”是即，在轴上，的“线镜像点”是，即，不在轴上，综上所述：，的“线镜像点”在轴上的点，故答案为，．（2）∵点，∴它们的“线镜像点”为：点，即，点∴轴，∵线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，∴线段与轴有交点，解得：，故答案为．（3）∵当时，点，点的“线镜像点”分别是点，∴若为等腰直角三角形，则点坐标可能为：，，，，，易得∴在区域中有且只有个点，则在区域外、在区域内，∴只需要保证在区域内，在区域外即可，交第一、三象限角平分线于，则，解得故答案为．22．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得：∴∴，当且仅当时，等号成立．因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2．阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为．例：若，则变形为，∴该方程的解为，化简后得：．请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：(1)若，当_______时，式子的最大值为_______．(2)若，求出的最小值及对应的x的值．(3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值．【答案】(1)3，(2)，(3)，，【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．（1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值；（2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值；（3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值．【详解】（1）解：由题意知，，解得，∵，∴，故答案为：3，．（2）解：，当且仅当，即，解得，∵，∴时，的最小值为．（3）解：,当时，．当且仅当，，且，∴，．23．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点．例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是．【问题解决】(1)点的“3型平移”点的坐标为______．若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______．(2)已知线段的两个端点分别是，．①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段．②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围．【答案】(1)；2；2(2)①见解析；②或【分析】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型．（1）直接根据“型平移”定义求解即可；（2）直接根据“型平移”定义求解得、坐标，进而根据坐标画图即可；（3）根据“型平移”定义结合图形，求得t的最大值和最小值即可得到结论．【详解】（1）解：将点进行“3型平移”的对应点坐标为，即，点的“t型平移”点的坐标是，则，解得故答案为：；2；2；（2）（2）①∵端点A，B的“型平移”点分别是，，∴，，即，如图，线段、线段即为所求．②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或，解得或，即t的取值范围是或．24．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点．(1)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________；(2)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值；(3)若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围．【答案】(1)(2)m的值为2，的值为7(3)【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化、方程组与不等式组的应用等知识点，理解新定义“西雅对称点”的定义是解题的关键．（1）依照新定义计算即可；（2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可；（3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的x的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可．【详解】（1）解：如图，∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点．故答案为：．（2）解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点，点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。的坐标是，，解得，，值为2，的值为7．（3）解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为，点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，点在第二象限，，解得：，关于的取值范围内的所有整数解之和为6，，即：．25．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于第一象限的，两点，给出如下定义：若轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图），则称点与点为反射点．对第一象限的点和图形，若图形上存在点，使得点与点为反射点，则称图形为反射图形．(1)在点，，，中，与为反射点的是______（填所有符合要求的序号）；(2)已知，，，．若线段（含端点）为反射图形，求的取值范围；已知，，，，，关于的对称点为，，，，若四边形上至少存在一点，使得四边形为反射图形，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)；．【分析】本题主要考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解不等式，先找出新定义内两点的坐标规律是解题的关键．（）作点关于轴对称点，作点关于轴对称点，连接，，，，设点坐标为，，根据对称性研究两点坐标关系，再根据得出的两点坐标关系即可；（）根据两点的坐标关系，得出反射点所在直线，根据是反射图形，所以直线与线段有交点，从而求出的取值范围；先求出，，，坐标，根据反射点规律，得出反射图形，根据四边形和反射图形有交点求出的取值范围即可．【详解】（1）解：作点关于轴对称点，作点关于轴对称点，连接，，，，设点坐标为，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，由对称性可知，，∴，，M共线，∴和关于y轴对称，∴，∴，，共线，由对称性可知，，，∵，∴；∵，，，∴，∴，即，∴在直线上，故答案为：；（2）解：∵，，，∴，∴反射点在直线上，∵线段与直线有交点，∴，∴；∵，，，，，∴，，，，设反射点，当，重合时，，∴：，当，重合时，，∴：，当，重合时，，∴：，当，重合时，，∴：，如图：∴若存在，则在下方，在上方，∴，解得：，∵，∴．地地城考点06不等式与一次函数综合26．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为．(1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______；(2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．（1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可；（2）