2023年福建省高考数学试卷(解析卷)

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

新课标I卷数学

本试卷共4页，22小题，满分150分,考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右

上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合八卜2，-皿2},'={#2*6叫则（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合"中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为"二卜,一A6N0}=（-8,-2]D[3,+8）,而知={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,T,0,l,2},将一2,-1,0,1,2代入不等式丁7_620,只有一2使不等式成立,

所以McN={-2}.

故选：C.

1_i

2.已知z=----,则z-z=（）

2+2i7

A.-iB.iC.OD.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共物复数的概念得到I，从而解出.

1-i-2i1-]

【详解】因为z=G=2（l+i）（l—i）=才二一1'所以2=3'即Z—Z=-i.

故选：A.

3.已知向量4=（11）/=（1,一1）,若（£+间则（）

A.2+〃=1B.2+//=-!

C.2//=1D.4〃=-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出a+a+曲，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为a=（U）,〃=（l,-l）,所以〃+/6=（1+41-义），4+/而=（1+〃/一〃），

由（a+/tZ?）_L（a+可得，（a+劝）•（a+〃匕）=0,

即（1+为（1+〃）+（1_乃（1一〃）=0,整理得：沏=—1.

故选：D.

4.设函数/（力=28引在区间（0,1）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（口,一2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2*在R上单调递增，而函数/（x）=2#-“）在区间（0,1）上单调递减,

则有函数y=x(x-tz)=(x--)2-在区间（0,1）上单调递减，因此121,解得。22,

2

所以”的取值范围是［2,+8）.

故选：D

22

5.设椭网。1：「+），2=1（〃〉1）,。,：三+）」=1的离心率分别为％6.若e=J5q,则。=（）

a~"4

A.述B.V2C.V3D.几

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由6=及1，得4=3。；，因此?=3X3?,而。>1,所以〃=竽.

故选：A

6.过点（0,-2）马圆/+./-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

AIn而「屈V6

A.IB.----C.---nD.

444

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解：方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解：方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得公+弘+1=0,利用韦达定理结

合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为》2+>2_41一1=0,即（x—2『+y2=5,可得圆心。（2,0）,半径;•=6,

过点P（0,-2）作圆C的切线，切点为A5,

因为1Pq="2+（-2）2=20,则|尸4|=-尸=6,

-J-ZQ-/Anr石Vio/Anr6显

可得sinZ.APC=-f==---,cosZAPC=—产=——，

WJsinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x-x—=—,

444

cos/APB=cos2ZAPC=cos2NAPC-sin2ZAPC=--<0

4

即N'A尸3为钝角,

所以sina=sin(兀一NAP8)sinZAPB

4

法二：圆V।),24％1・。的圆心。(2,0),半径一6，

过点P((),-2)作圆C的切线，切点、为A,B,连接A8，

可得附|=商+臼」=2及,则=|P8|=-户=6

因为|PA|2+|PB|2-2|PA|-|P7?|COSZAPB=|G4|2+\C^-2|C4|-|CB|cosZACB

且ZACB=n-ZAPB,则3+3-6COSZA/'8=5+5-1()COS(7T-Z4/'3),

即3-cosZAPB=5+5cos/APB，解得cosNAPB=--<(),

4

即NAP5为钝角，则cosa=cos(兀一ZAPB)=-cos/.APB=—,

且a为锐角，所以sina=­71-cos2a=15；

4

方法三：圆Y+V-4x-l=0的圆心C(2,0),半径「二百，

若切线斜率不存在，则切线方程为)，=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为〉="一2,即去一)，-2=0,

则中-2|二逐,整理得公+8k+i=。，且△=64-4=60>0

W+T

设两切线斜率分别为勺,&，则K+&=-8就自=1，

可得%-Bl=1(Am)—"?=2厉，

所以tana=妁——=Vl5,即包区=Ji5,可得cosa=,

1+桃2cosaV15

mn.,2.,sin2a

则sin'a+cos-a=sin-a+-------

15

后

,n.(7G[0,—，则sina>0,解得sina=----

4

7.记S”为数列｛4｝的前〃项和，设日：｛可｝为等差数列；乙：｛§｝为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判断

作答.，

【详解】方法1,甲：｛q｝为等差数列，设其首项为外,公差为d,

...„71（/7-1）,S../?-1,dclSn+,Snd

2n222〃+ln2

因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛4｝为等差数列，即■=2+i：（〃：1电,二为常数,设为人

〃〃十In〃（"十1）〃（〃+1）

即^7^=乙则s-便〃+1）,有Sz=（"i）『•心心"

两式相减得：an=nan+l-(n-l)an-2tn,即%—4=2/,对〃=1也成立,

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛4｝为等差数列，设数列M”｝的首项《,公差为d，即

则£■=%+"2/=4〃+%-1，因此｛邑｝为等差数列，即甲是乙的充分条件：

n222n

qSSS

反之，乙：{3}等差数列，即2-3L=O,2L=S|+(〃-1)Q,

n〃+1〃n

即S「=nSi+n(n-\)DtSn_{=(〃-1)S1+(n—V)(n—2)D,

当〃22时，上两式相减得：S“-S,i=，+2(〃一1)。，当〃=1时，上式成立，

于是4=q+2(〃-1)£),又一《=q+2〃£＞一［q+2(〃-1)0=2。为常数，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8.已知5访(二一万)=」,85(75111/=，,则cos(2a+2£)=().

36

7117

A.-B.-C.——D.一一

9999

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+〃)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为sin(a-〃)=sinacos乃一CQsasin/7='，而cosasin/?=、，因此sinacos/7=g,

•cc.c2

则sin(a+/?)=sinacosp+cosasin,,

21

所以85(2。+2/7)=852(。+尸)=1-2$而(。+/?)=1-2乂(一)2=-.

39

故选:B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关

系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.有一组样本数据芭，&，…,人，其中巧是最小值，血是最大值，则()

A.々,芍％4，&的平均数等于西,看，…，4的平均数

B.上，王/4，天的中位数等于内，工2产.，工6的中位数

C.%，X3"*4»“5的标准差不小于%，%，,,,，%的标准差

D.刍，工3,Z，&的极差不大于4，々，…，尤的极差

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项人：设七，七，七，天的平均数为相，%|，工2,…，工6的平均数为〃，

hIll%+工，+占+七+/+工6X,+X3+X4+X52(X,+X6)-(X5+X2+X34-X4)

火Jn-HI=-------=---------------------------------=---------------------------9

6412

因为没有确定2(玉+4),七+9+七+儿的大小关系，所以无法判断明〃的大小，

例如：12,3,4,5,6,可得桃=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得〃2=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得〃?=2,〃=j：故A错误：

对于选项B：不妨设占工々4工3«七4当4々，

可知工2，七，匕，占的中位数等于内，工2,…，4的中位数均为：:"，故B正确：

对于选项C：因为不是最小值，4是最大值，

则劣,七，七，/的波动性不大于N，F，…，々的波动性，即工2，七，34，工5的标准差不大于演，公「一，/6的标准

差,

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃='(2+4+6+8+10+12)=7,

6

标准差*(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=-^^,

4,6,8,10,则平均数〃?=；(4+6+8+10)=7,

标准差&=J；[(4_7)2+(6—7)2+(8—7)2+(10-7)2]=逐，

显然避叵＞5,即邑＞5,；故C错误；

3

时于选项D：不妨设内＜与＜刍＜当＜4，

则4一玉2&-七，当且仅当％=8，&=4时，等号成立，故D正确：

故选：BD.

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级人,二20x1g2

,其中常数

〃0

%(%＞°)是听觉下限阈值，〃是实际声压•下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为四，外,〃3,则().

A.P；〃2B.P2＞10/?3

C.Py=100/?()D.Pl4100”2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可知4,G[60,9()].目5(),60]，4=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：Lpe[60,90].G[50,60],=40,

对于选项A：可得4=20xlg£L_20xlg^=20xlg且,

〃。〃。〃2

因为3%则4-4=2。，喷河即喋s

所以且21且由，〃2>0,可得月之小，故A正确;

Pi

对于选项B：可得4,=2°xlg△-20xlgB=20xlgH,

Pn%P3

因为4,一乙八=4，_40210,则20xlg&?10,即吆上之:，

%Pa2

所以△2人口〃2,〃3>0，可得P，之八］)39

Pi

当且仅当=5。时，等号成立，故B错误:

对于选项C：因为乙次二20xlg&.=40,即怆旦=2,

〃o〃0

可得m=100,即凸=1。0%,故C正确:

Po

时于选项D：由选项A可知：L一人、=20x电且，

Pi

且LPi-Ll）：<90-50=40,Ijiij20xlgA<40,

即Iga42,可得且4100,且p「p2>0,所以〃陷100〃2,故D正确；

PiPi

故选：ACD.

II.已知函数/(戈)的定义域为R，/(-n1)=y2/(-v)+x2/(y),则().

A./(0)=0B./(1)=0

c.f(x)是偶函数D.x=0为/(x)的极小值点

【答案】ABC

【解析】

【分析】方法■：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例/*)=()即可排除选项

D.

121n\x\t工0

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(心=(进行判断即可.

0,x—0

【详解】方法一：

因为/(个)=/7*)+//()，)，

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=)，=l,/(1)=1/(1)-1/(1),则/(1)=。，故B1E确.

对于C,令x=y=-1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=。，

令)，=T,/(-A)=/(x)+x2/(-D=f(x),

又函数/*)的定义域为R,所以"X)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/*)=0,显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误

方法二：

因为/⑸)=y2f(x)+x2f(y),

对于A,令1=〉=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

时于B,令x=)，=l,/(1)=1/(1)-1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=。，

令)，=-1,/(-x)=/(x)+x2/(-D=/(工)，

又函数"X)的定义域为R,所以"X)为偶函数，故C正确，

对于D,当工2)，2/0时，对/(肛)=)，2/(X)+r7(y)两边同时除以炉),2,得到幺平=绰+驾，

xyxy

故可以设幺2=1巾|(工。0),则/(x)=F皿乂'"°,

x[0,x=0

当x>0肘，/(幻=/Inx,则/'(x)=2xlnx+x2,=M21nx+l),

X

令/0)<()，得o<x<eT令/中)>。，得]〉/；

故/（X）在0,e"上单调递减，在e-2,+00上单调递增,

故选：ABC.

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99ni的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为（）.01m的圆柱体

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为Jim，且血>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确：

对于选项C：因为正方体的体对角线长为J5m，且6<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内,故CiF确：

对于选项D：因为正方体的体对角线长为6m，且百>1.2，

设正方体A8CO-A4GA的中心为。，以AC】为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心。।到正方体的表

面的最近的距离为"m,

如图，结合对称性可知：OG=；GA=¥，GQ=OG—o0=乎一。-6,

则£=即一°.6,解得〃=:一竿>°.34>°.01,

MY-273

所以能够被整体放入正方体内，故D正确;

【点睛】关键点睛：对于c、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合

正方体以及圆柱的性质分析判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每

类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【解析】

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修诛的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有16种:

（2）当从8门课中选修3门,

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C：=24种；

②若体ff类选修课2门，则不同的选课方案共有C；C；=24种：

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案：64.

14.在正四棱台qGR中，44=2,4片=1,AA=0，则该棱台的体积为

【答案】亥##?"

66

【解析】

【分析】结合图像，依次求得AQ，AO，AM,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作4MJLAC,垂足为M,易知4历为四棱台的高,

则AG=，AG=—,AO=-AC=-xy/2AB=y/2>

2222

故AM=g(AC-AG)=#，则4用=〃14-八加2

所以所求体积为V=1x(4+l+/^)x^=Z^.

326

故答案为：还

6

15.已知函数/(x)=cos5-l(o>0)在区间[0,2可有且仅有3个零点，则切的取值范围是

【答案】23)

【解析】

【分析】令/。)=。，得COS3=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】因为0W_rW2〃，所以0W@rW2说，

令/W=cosd)x-l=0,则cos3r=1有3个根,

令，=5,则cosr=l有3个根，其中，e[0.2s],

结合余弦函数y=cosr的图像性质可得4兀<v6兀，故2<0<3,

故答案为：12,3).

16.三知双曲线C:=-与=1(4>0/>0)的左、右焦点分别为耳，尺.点A在C上，点8在3'轴上,

a~b~

•2

则的离心率为.

^ALF.B,F2A=--F2B,c

【答案】独##-75

55

【解析】

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到|A可，忸用，忸/*|A周关于4,〃7的表达式,

从而利用勾股定理求得。=〃?，进而利用余弦定理得到4C的齐次方程，从而得解.

52

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得.“=三。,%=一三，，t2=4c\符点A代入双曲

JJ

线C得到关于。力河的齐次方程，从而得解：

【详解】方法一：

依题意,设|你|=2m,则忸段=3m=忸昂,|人"|=加+2〃7,

222

在RuABF1中，9m+(2a+2m)=25m,则(a+3m)(a-m)=0,故a="或a=-3m(舍去)，

所以|A耳|=4a,|A闾=幼，忸周=%|=3a,则|明=5a,

故8yL舄\AF.\女4aF4

16/+4〃？—4，,4

所以在△AF；鸟中，cosZF/\F,=———-———整理得5c2=9/，

2x4ax2a5

方法二:

依题意，得£(一。,0),6(c,0),令4%,先)向0八

2—952

因为玛A=_Q玛8,所以(/_c,)b)=_Q(_c/),则与=QC,%,

。JJJ

/8282

/亿2

n-a-----z-o

又CALEB,所以月儿片吕V3333

±l2-t225c24f225?16c2

又点AC上，则9c91整理得空一二=1,则竺一半=1,

—2----才=19/9/9a.9b2

ab

所以25c2力2_16c2a2=9a2b2，即25c2(c2-a2)-l6a2c2=9/(c2-a2),

22222

整理得25/-50c+9/=0,则(Sc?-9a)(5c-a)=0,解得5C=9/或5c2=/,

又e>l,所以e—地或e—更(舍去)，故地.

555

故答案为：坡.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理

得到关于aAc的齐次方程，从而得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17,已知在中，A+8=3C,2sin(A—C)=sin8.

(I)求sinA:

(2)设43=5,求A8边上的高.

【答案】(1)宣@

10

(2)6

【解析】

【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB再由正弦定理求出匕，根据等面积法

求解即可.

【小问I详解】

,/A+13=3C，

...兀-C=3C,即。=二,

4

乂2sin(/l-C)=sinB=sin(A+C),

2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

即tan4=3,所以

二.sin-=幽

Mio

【小问2详解】

由(1)知，cosA=—,

Mio

由sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

<2>/5

.5x----

由正弦定理，」一=」一,可得〃=——一=2加，

sinCsinBV2

T

:.-ABh=-ABACsinA

22t

:.h=bsinA=2>/Wx^^-=6.

10

18.如图，在正四棱柱A8CO-4BGR中，48=2,AA=4.点&，刍,。?,/)2分别在棱AA，881,CG，

。"上，AA2=\,=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A2D2；

（2）点P在棱BBj上，当二面角~一人。2-2为150。时，求82P.

【答案】（1）证明见解析:

(2)1

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明：

(2)设P(O,2,/l)(OVOW4),利用向量法求二面角,建立方程求出/即可得解.

【小问I详解】

以c为坐标原点，CDCRCG所在直线为xy，z轴处立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0),C2(U,0,3),4(0,2,2),Dz(2,0,2),4(2,2,1),

/.BC2=(0,-2,1),A2D2=(0,-2,1),

/.BC^/AyD^，

又与G，不在同一条直线上，

:.BC2//A2D2.

【小问2详解】

设P(0,2,，)(044W4),

则AC?=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-2),D2C2=(-2J)J)，

设平面PA2G的法向量〃=U.v.Z),

"•AC=-2x-2y+2z=0

则〈.

n-PC2=-2y+(3-2)z=0

令z=2,得y=3-Z,x=/l-l,

/?=(2—1,3-2,2)>

设平面A2G4的法向量〃?=(a,b,c),

m-A,G=-2a-2Z;+2c=0

则〈.

m-D2C2=-2a+c=0

令a=\,得b=l,c=2,

/./n=(1,1,2),

叫_________6=|cos150°|=*,

x/6J4+(A-1)~+(3-4)“

化简可得，万一4/1+3=0,

解得4=1或义=3,

尸⑼2,1)或尸(0,2,3),

:.B2P=1.

19.已知函数f(x)=a(c'+a)-x.

(1)讨论了("的单调性：

(2)证明：当〃>0时，/(X)>21067+-.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求导，再分类讨论。40与。>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解：

(2)方法一：结合(I)中结论，将问题转化为/一,―防〃》。的恒成立问题，构造函数

2

g(a)=/ma(a>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数〃(x)=c'-x—l，证得e、x+l,从而得到/(x)2x+lna+l+/—x,进而将问题转

化为"一』—ln〃>0的恒成立问题，由此得证.

2

【小问I详解】

因为/(x)=a(e'+a)7,定义域为R,所以/'(刈=优'-1,

当时，由于e'>0,则ae'WO,故/'(同=讹、-1<0恒成立,

所以f(x)在R上单调递减：

当。>0时，令/'(x)=〃e'-1=0,解得x=-ln〃，

当xv—lna时，r(x)<0,则/(x)在(-8,-Ino)上单调递减：

当x>—Ina时，则〃刈在(一Ina,”)上单调递增；

综上：当时，/(文)在R上单调递减；

当〃>0时，/(x)在(-8,-hw)上单调递减，/(x)在(-Ina,+8)上单调递增.

【小问2详解】

方法一：

由(1)得，/(x)1nJ(一lna)=G(eE"+a)+lna=1+.2+ln〃，

33i

要证/(x)>21na+-,即证1+/+hia>2hia+-,即证/----lna>0恒成立,

222

令乳a)=a2>0),则=2a--=—,

2aa

令g’(a)v0,则0<〃<立；令g'(a)>0,则立:

2

上单调递减，在(4^

所以g(a)在0,,+8上单调递增,

所以g(%n=g---In—=lnV2>0,则g(o)>0恒成立,

22

3

所以当a>0时，f(x)>21na+Q恒成立，证毕.

方法二:

令"㈤=e'-x-1,则“(x)=e'-1,

由于.y=e'在R上单调递增，所以〃'(x)=e'-l在R上单调递增,

X//(0)=e°-l=0,

所以当x<0时，〃’(x)<0：当时，/f(x)>0：

所以〃(x)在(口,())上单调递减，在(O,TW)上单调递增，

故〃㈤2〃(0)=0,则e-x+1,当且仅当x=0时，等号成立,

因为f(x)=a(ev+67j-x=aex+a2-x=ex'ina+a2-x>x+ln«+l+«2-x,

当且仅当x+lna=O,即x=—hi。时，等号成立，

33I

所以要证/(x)>2lna+],即证x+Ina+l+々2一工>2hia+Q,即证/一^一也〃>0,

令以〃)=/_?_ln〃(4>0),则——-,

2aa

令g'(a)v0,则o<〃<也；令g'(a)>0,RiJa>—：

2

所以g(a)在(o，¥)上单调递减，在(*,+<«上单调递增，

所以屋叽=8图=闺-1-In^=lnV2>0,则g(a)>0恒成立，

3

所以当”>0时，/(x)>21na+5恒成立，证毕.

2

20.设等差数列｛〃〃｝的公差为d,且d>l.令勿=与吆.记S..7,分别为数列｛〃“｝,｛4｝的前〃项和.

(1)若3%=34+%，53+(=21,求｛2｝的通项公式：

⑵若也｝为等差数列，且右一分二乡以求心

【答案】(1)%=3〃

⑵人卫

50

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可：

(2)由｛，｝为等差数列得出q=d或g=2d,再由等差数列的性质可得见。一％)=1,分类讨论即可得解.

【小问I详解】

•/3a2=3^+ay,3d=a1+2d,蟀得q=d,

Sy-3a2=3(q+d)=6d,

26129

又(=a+b+b—++=-

23d2d3dd

9

$3+1=61+=21,

1

即2d2-74+3=0,解得d=3或d=3（舍去），

/.aH=4+（〃-1）d=3〃.

【小问2详解】

出｝为等差数列,

〜，，12212

二.2"=4+"，即一=一+一,

ai4%

/,11、6d1e、__,

，6（----------）=------=—,RPa：—3a,d+2d~=0,解得或

1

a2aya2ayq

d>l,a”>0,

又S缈-q=99,由等差数列性质知，99%。―99%=99,即％0-%=1,

2550,.「

•,•%---------=1,即%-%o-2550=。，解得。so=51或％.=-50（舍去）

。50

当4二21时,4o=4+49d=51d=51.解得[=1.与d>l矛盾,无解：

当q=d时，6o=%+49d=501=51,解得

综上，d——.

50

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无

论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮

的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率：

（3）已知：若随机变量X,服从两点分布，且尸（X,=l）=l-P（Xj=0）=[,i=l,2,—则

.记前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y,求石（丫）.

\i=i）«=1

【答案】（1）0.6

【解析】

【分析】（1）根据全概率公式即可求出:

（2）设。（4）=/不由题意可得〃,+=0.4化+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出:

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【小问I详解】

记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件

所以，尸(5)=尸(A=)+P(4/)=P(A)P(与14)+尸(5)尸(叼4)

=0.5x(l-0.6)+().5x().8=0.6.

【小问2详解】

设尸(4)=月，依题可知，则

P(A.J=P(44U)+P(8A+J=尸(4)P(4+JA)+P(四)尸(A"片)，

即4।=().6〃j+(l_().8)x(l_〃J=0.4〃j+().2,

构造等比数列{p,+4},

设pwU+/l='|(Pj+2),解得/=—；,则Pi+i，

又回=:，〃==?，所以［化一!•是首项为，，公比为孑的等比数列,

2363J65

f/_|

12\1

即〃+-

,中;3

【小问3详解】

、j

21

因为P=­X—4—，/=1,2,•••,«,

6⑸3

所以当〃eN*时'E(y)=〃|+〃2+…+P“=：x-----L-+l=^-1-1+5'

O]_43Io\J)J3

~5

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两间的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数

列的基本知识求解.

22.在直角坐标系X。），中，点尸到x轴的距离等于点尸到点（0,；）的距离，记动点〃的轨迹为W.

（1）求W的方程：

（2）已知矩形ABCO有三个顶点在W上，证明：矩形ABC。的周长大于3石.

【答案】⑴）,=丁+1

4

（2）见解析

【解析】

【分析】⑴设尸（x,y）,根据题意列出方程f+0—=/,化符即可：

（2）法一：设矩形的三个顶点八（4/+；）,83,〃2+；），4"2+；）,^a<b<c,分别令

I/1\/

kAB=a+b=m<0,kRC=b+c=n>0,且"?〃=一1,利用放缩法得+7J1+”]，设函数

/（X）=（.Y+L）（1+x2）,利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线A8的方程为），=攵（工-。）+/+1，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得

4

卜4即卜4小卜f）,利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.

法三；利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.

【小问I详解】

设尸（筋y），则|y|=，两边同平方化简得y=父+：，

故W:y=V+L

4

【小问2详解】

法一：设矩形的三个顶点A\ad+0I1,B\b,b?C,C（c,c2+与在W上，且a<bvc,易知矩形四条边

I4JjI4J[4J

所在直线的斜率均存在，且不为0,

22

..ill/?+--ftZ+-1

则3噎+J令砥6=4I"="0,

同理令&8c=b+c=〃>。，且mn=-1，则m=--

n

设矩形周长为C,由对称性不妨设I，"以〃I,k-k,=c-a=n-m=n+-,

l)cwn

则,C=|AB|+1BC\=(b-a)，”2+(c-b)yji+n2>(c-a)Jl+JI12

〃+一xl\+n.n,易知

2