2023-2024学年北京首某中学中考数学四模试卷含解析

2023-2024学年北京首师大附中中考数学四模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图,△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得4ABF,连接EF交AB于H,有如下五个结论①AE_LAF；

®EF：AF=叵:1；@AF2=FH*FE；®ZAFE=ZDAE+ZCFE（5）FB：FC=HB：EC.贝！1正确的结论有（）

AD

n

FBC

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.如图，在平囿直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0,4）,将△ABO绕点B逆时针旋转60。

后得到若函数（x>0）的图象经过点6,则k的值为（）

X

y八

\Af

B登一7

Ax

A.273B.4C.473D.8

3.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题,

大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设

有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（）

8y+3=x8x+3=y

A.<B.,

7y-4=x7x-4=y

Sx-3=y8y=x

C.D.v

7x+4=y7y+4=x

4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点（不含端点B,C）.若线段AD长为正整数，则点

D的个数共有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

5.某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在

()

A.50.5〜60.5分B.60.5—70.5分C.70.5—80.5分D.80.5—90.5分

6.等腰三角形的两边长分别为5和11,则它的周长为（）

A.21B.21或27C.27D.25

7.下列四个实数中，比5小的是（)

A.5/30-1B.2手C.V37-1D.V17+1

8.下列运算正确的是（)

-3a+a=-4a

C.D.(2*3)2^.2X2=2X4

9.下列计算正确的是（)

A.a3*a3=ayB.(a+b)2=a2+b2C.a2-i-a2=0D.(a2)5=a6

10.施工队要铺设1000米的管道,因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原

计划每天施工x米，所列方程正确的是（)

1(X)0100010001000

A.-------------------=2--------------------=2

xx+30x+30x

1000100010001000

-------------------=2D.--------------------=2

xx-30x-30x

若2<7^2<3,则a的值可以是（）

16

-7B.—D.12

3

12.某商品价格为。元，降价10%后，又降价10%,因销售量猛增，商店决定再提价20%,提价后这种商品的价格

为（）

A.0.96〃元B.0.9724元C.1.08〃元D・。元

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图,若N如N2=180°,Z3=110°,则N4=,

14.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若NDBC=56。，则N1:

\Z56°

-------B~C

15.观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端/点处观测观光塔顶端。处的

仰角是6。。，然后爬到该楼房顶端3点处观测观光塔底部。处的俯角是30。，己知楼房高约是45m,根据以上观

测数据可求观光塔的高CD是______m.

16.用半径为6cm,圆心角为120。的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为cm.

17.甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是____.

18.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点

(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是_______.

O(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)%

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)路边路灯的灯柱3C垂直于地面，灯杆胡的长为2米，灯杆与灯柱成120。角，锥形灯罩的轴线A3

与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线(。在中心线上).已知点C与点。之间的距离为12米,

求灯柱8C的高.（结果保留根号）

20.（6分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽

样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计.绘制了下面的两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信

息解答下列问题：

扇嗾榴翱统十图

（1）接受问卷调查的学生共有人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为°;

⑵请补全条形统计图；

⑶若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3,现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞

赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.

21.（6分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4个班（用A,B,C,D表

示），对征集到的作品的数量进行了统讦，制作了两幅不完整的统计图.请根据相关信息，回答下列问题：

（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了____件作品；

作品数量美松统计图作品数量扇形统计出

（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者

中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率.

22.（8分）如图，已知是AA3C的外接圆，圆心。在AA3c的外部，AB=AC=4,BC=46，求0。的半

径.

23.（8分）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平

行，60。角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？

小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究.

下面是小林的探究过程，请补充完整：

（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；

如图2,在RtAABC中，ZC=90",AC=BC=6cm,D是线段AB上一动点，射线DE_LBC于点E,ZEDF=60°,射

线DF与射线AC交于点F.设B,E两点间的距离为xcm,E,F两点间的距离为ycm.

（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm0123456

y/cm6.95.34.03.34.56

（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当ADEF为等边三角形时，BE的长度约为cm.

24.（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.在图中画出以

线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB为一腰,

底边长为2加的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上，连接CE,请直接写出线段CE的长.

25.（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，

使其由45。改为30。.已知原传送带AB长为4米.

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理

由.（说明：UX2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：J2»1.41,4H.73,75-2.24,&=2.45）

26.（12分）如图，在。ABCD中，过点A作AE_LBC于点E,AF_LDC于点F,AE=AF.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若/EAF=60。，CF=2,求AF的长.

27.（12分）荷泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩

的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元.

（1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？

（2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件?

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

由旋转性质得到△AFBgZkAED,再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.

【详解】

解：由题意知，AAFBgZXAED

/.AF=AE,ZFAB=ZEAD,ZFAB+ZBAE=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90°.

AAE1AF,故此选项①正确；

AZAFE=ZAEF=ZDAE+ZCFE,故④正确；

•••△AEF是等腰直角三角形，有EF:AF=及：1,故此选项②正确；

VAAEF与AAHF不相似，

.\AF2=FHFE不正确.故此选项③错误，

VHB//EC,

/.△FBH^AFCE,

.\FB:FC=HB:EC,故此选项⑤正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以

及相似三角形的性质是解决问题的关键.

2、C

【解析】

根据题意可以求得点O,的坐标，从而可以求得k的值.

【详解】

•点B的坐标为（0,4）,

.*.OB=4,

作(TC_LOB于点c,

:△ABO绕点B逆时针旋转60。后得到△ABO*,

，O，B=OB=4,

.••O'C=4xsin600=26，BC=4xCos60°=2,

AOC=2,

，点。的坐标为：（26,2）,

:函数y=-(x>0)的图象经过点

x

k

:・2=^J^，1#k=4V3,

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的

性质解答.

3、C

【解析】

根据题意相等关系：①8x人数・3:物品价值，②7x人数+4=物品价值，可列方程组：|

7x4-4=y

故选C.

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.

4、C

【解析】

试题分析：过A作AEJLBC于E,VAB=AC=5,BC=8,，BE=EC=4,・・.AE=3,;口是线段BC上的动点（不含端

点B,C）,.\AE<AD<AB,即30ADV5,丁AD为正整数，工AD=3或AD=4,当AD=4时，E的左右两边各有一个

点D满足条件，，点D的个数共有3个.故选C.

考点；等腰三角形的性质；勾股定理.

5、C

【解析】

分析：由频数分布直方图知这组数据共有40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在

70.5〜80.5分这一分组内，据此可得.

详解：由频数分布直方图知，这组数据共有3+6+8+8+9+6=40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、

21个数据均落在70.5〜80.5分这一分组内，所以中位数落在70.5〜80.5分.故选C.

点睛：本题主要考查了频数（率）分布直方图和中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）

的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则

中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

6、C

【解析】

试题分析:分类讨论：当腰取5,则底边为11,但5+5V11,不符合三角形三边的关系；当腰取11,则底边为5,根据

等腰三角形的性质得到另外一边为11,然后计算周长.

解：当腰取5,则底边为11,但5+5V1L不符合三角形三边的关系，所以这种情况不存在；

当腰取U,则底边为5,则三角形的周长=11+11+5=1.

故选C.

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.

7、A

【解析】

首先确定无理数的取值范围，然后再确定是实数的大小，进而可得答案.

【详解】

解：A、・・・5V同V6,

A5-1<V30-1<6-1,

，病-1<5,故此选项正确；

B、V2>/7=V28>V25.

・・・2j7>5,故此选项错误;

C、V6<V37<7,

A5<V37-1<6,故此选项错误;

D、V4<VT7<5,

，5<J万+1<6,故此选项错误;

故选A.

【点睛】

考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键.通常使用夹逼法.

8、D

【解析】

根据合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法逐项计算，结合排除法即可得出答案.

【详解】

A.-3a+a=-2a,故不正确；

2i

B.3x*2x=（>xf故不正确；

C.4a2-5a2=-a2,故不正确；

322624

D.（Zr）-r2x=4x-i-2x=2xf故正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.

9、D.

【解析】

试题分析：A、原式二a6,不符合题意；B、原式=a2+2ab+b?,不符合题意;

C、原式=1,不符合题意；D、原式=a6,符合题意，

故选D

考点：整式的混合运算

10、A

【解析】

分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间■实际所用时间=2,列出方程即

可.

详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米,

10001000

根据题意，可列方程:------------=2,

xA+30

故选A.

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

11、C

【解析】

根据己知条件得到4Va・2V9,由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项.

【详解】

解：・・・2<心工V3,

A4<a-2<9,

A6<a<l.

又a・2K）,即吟2.

Aa的取值范围是6VaVl.

观察选项，只有选项C符合题意.

故选C.

【点睛】

考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法.

12、B

【解析】

提价后这种商品的价格=原价x（1•降低的百分比）（1•百分比）x（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可.

【详解】

第一次降价后的价格为ax（1-10%）=0.9a元，

第二次降价后的价格为0.9ax（1-10%）=0.81a元，

，提价20%的价格为0.81ax（1+20%）=0.972a元，

故选B.

【点睛】

本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商

品的价格的等量关系是解决本题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、110°.

【解析】

解：VZ1+Z2=18O°,

.•・a〃b,.\Z3=Z4,

又丁/3=110。,・・・N4=110°.

故答案为110°.

14、62

【解析】

根据折叠的性质得出N2=NABD,利用平角的定义解答即可.

【详解】

VZDBC=56°,

/.Z2+ZABD+56°=180°,

解得：Z2=62°,

VAE//BC,

.*.Z1=Z2=62O,

故答案为62.

【点睛】

本题考查了折叠变换的知识以及平行线的性质的运用，根据折叠的性质得出N2=NABD是关键.

15、135

【解析】

试题分析:根据题意可得:ZBDA=30°,ZDAC=60。,在RtAABD中，因为AB=45m,所以AD=45>/3m,所以在RtAACD

中，CD=-y3AD=45>/3x5/3=135m.

考点：解直角三角形的应用.

16、1.

【解析】

解：设圆锥的底面圆半径为r,

120^x6

根据题意得1仃=

18()

解得r=l,

即圆锥的底面圆半径为1cm.

故答案为：L

【点睛】

本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键.

17、」

3

【解析】

列举出所有情况，看甲排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率.

根据题意，列出甲、乙、丙三个同学排成一排拍照的所有可能：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，

只有2种甲在中间，所以甲排在中间的概率是，=§.

故答案为!；

点睛：本题主要考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是列举出同等可

能的所有情况.

18、(2019,2)

【解析】

分析点P的运动规律，找到循环次数即可.

【详解】

分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次.每循环一次向右移动四个单位.

.,.2019=4x504+3

当第504循环结束时，点P位置在(2016,0),在此基础之上运动三次到(2019,2)

故答案为(2019,2).

【点睛】

本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、12>/3-4

【解析】

设灯柱BC的长为h米，过点A作AH_LCD于点H,过点B作BE_LAH于点E,构造出矩形BCHE,RtAAEB,然

后解直角三角形求解.

【详解】

解；设灯柱的长为〃米，过点A作AHLCD于点H,过点3做BELAH于点E,

A

・•・四边形BCHE为短形,

VZABC=120°,AZABE=30°,

又V/BAD=NBCD=90。，,ZADC=60°,

在RJAEB中，

，4石=4/访30。=1,

BF=ABcos30°=>/3,

:.CH=g又CD=12,：・DH=\2-6，

在中，

____AHh4-1/r

tanZ.4ADH=---=-----产=J3,

HD12-6

解得，〃=12e-4（米）

・•・灯柱的高为（1一4）米.

3

20、（1）60,1°.（2）补图见解析；（3）-

5

【解析】

（D根据了解很少的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360。，即可求出“基

本了解“部分所对应扇形的圆心角的度数；

（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；

（3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】

⑴接受问卷调食的学生共有304-50%=60（人）,

扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360。xl1=r,

60

故答案为60,1.

⑵了解的人数有：60・15・30・10=5（人），补图如下:

狱统十图

男

里

・・•共有20种等可能的结果,恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况,

・••恰好抽到1个男生和1个女生的概率为1三2=，3

【点睛】

此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键;

概率=所求情况数与总情况数之比.

21、（1）图形见解析，216件；（2）

2

【解析】

（1）由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数，再求得D班级的数量，可补全条形图，再用36

乘四个班的平均数即估计全校的作品数;

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得.

【详解】

（1）4个班作品总数为：12+/=36件，所以D班级作品数量为：36-6-12-10=8;

・.・估计全校共征集作品券363件.

条形图如图所示,

作品数*条形统计图

(2)男生有3名，分别记为Ai,Az,A3,女生记为B,

列表如下:

AiA2A3B

Ai(Ai,A2)(Ai,A3)(A),B)

A2(A2>Ai)(A2,A3)(A2,B)

A3(A3,Ai)(A3,Az)(A3,B)

B(B,Ai)(B,A2)(B,A3)

由列表可知，共有12种等可能情况，其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种.

所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为二二!.

122

【点睛】

考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到

的知识点为：概率;所求情况数与总情况数之比.

22、4

【解析】

己知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点”，则直线A”为8C的中垂线，直线A”过

。点，在RtAOBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长.

【详解】

作AH，BC于点〃,则直线A〃为2c的中垂线，直线A〃过。点,

OH=OA-AH=r-2tBH=2瓜

OH2+BH2=OB\

即(一2)2+(2百『二’，

r=4.

【点睛】

考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

23、(1)见解析；(1)3.5；(3)见解析；(4)3.1

【解析】

根据题意作图测量即可.

【详解】

(1)取点、圆图、测量，得到数据为3・5

故答案为：3.5

(3)由数据得

(4)当ADEF为等边三角形是，EF=DE,由NB=45。，射线DEJ_BC于点E,贝ljBE=EF.即y=x

所以，当(1)中图象与直线y=x相交时，交点横坐标即为BE的长，由作图、测量可知x约为3.L

【点睛】

本题为动点问题的函数图象探究题，解得关键是按照题意画图测量，并将条件转