2023-2024学年上海重点大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023・2024学年上海重点大学附中高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知双曲线r：x2-y2=4,直线］过（0,2）.“直线，平行于双曲线r的渐近线”是“直线/与双曲线/合有

一个公共点”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

2.空间中，设P是直线矽卜一点，a是一个平面，则以下列命题中，错误的是（）

A.过点P有且仅有一条直线平行于LB.过点P有且仅有一条直线垂直于！

C.过点P有且仅有一条直线垂直于QD.过点P有且仅有一个平面垂直于！

3.已知M（x（）,yo）是圆/+y2=M（r>0）内异于圆心的一点，则此直线%（）x+y（）y=N与该圆（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

4.在长方体一4/iGOi中，AAt=AD.AB：AD=A（A>0）,£是棱必用的中点，点P是线段0/卜

的动点，给出以下两个命题：①无论入取何值，都存在点P,使得PC1BD：②无论入取何值，都不存在点

P，使得直线4G1平面巴?。则（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.抛物线*=8%的焦点坐标为.

6.空间直角坐标系中，三个坐标平面将空间分为个部分.

7.设点。椭圆八5+1=1上异于长轴端点的一点，居、尸2分别为椭房r的左右焦点，则△居PF2的周长为

8.一个球体的表面积是4TT,则这个球体的体积是___.

9.若直线1：y=kx+3平分圆M-2x+/-4y-1=0的面积，则直线，的倾斜角的大小为____.

10.在正方体力8C。一481。1。1中，二面角4-80-4平面角的正切值为____.

11.已知直线A：mx-2y+1=0,直线%：x-（m-l）y-1=（）,若I"/%，则巾=.

12.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为____.

13.斜率为1的直线，被椭圆4+y2=1截得的弦长为华，则直线/的方程为____.

*O

14.如图所示，在棱长为1的正方体/18CD-4BiCiD］中，设MN分别是线段DA、

aDi上的动点，若MN〃平面CG2D,则线段MN长的最小值为.

15.过抛物线C：y2=2p*p>o)的焦点?的直线交该抛物线于4、8两点，若仍F|=5|8/|,。为坐标原

点，则爵｝=

16.在xOy平面上，将一段圆弧C：/+丫2=1(会0)和一段椭圆弧八L.+y2=

0^^^也,•

1(x20)围成的封闭图形记为。，如图中阴影部分所示，记。绕y轴旋转一周而成

的封闭几何体为。，过(O,y)(|y|V1)作。的水平截面，利用祖咂原理和一个球，

得出旋转体。的体积值为______.

三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

在空间直角坐标系中，设4(0,2,3)、矶-2,1,6)、C(l,-1,5)、D(3,3,4).

(1)设立=(一2,0,—8),b=AB+AD,求族的坐标，并判断方、3是否平行;

(2)求而、前的夹角8,以及而、前为相邻两边的三角形面积S.

18.体小题14分)

如图，在棱长为2的正方体ABCO-&BiGDi中，M为BC的中点，N为AB的中点,P为BB1中点、.

(1)求证:BD11平面MNP；

(2)求异面直线与GM所成角的余弦值.

19.(本小题14分)

在如图所示的圆锥中，P是顶点，。是底面的圆心，A、B是圆周上两点，R0A10B,OA=OB=2.

(1)若圆锥侧面积为6兀，求圆锥的体积:

(2)设圆锥的高为2,M是线段A3上一点，且满足PMJ.718,求直线PM与平面POB所成角的正切值.

20.(本小题18分)

已知双曲线八怖一丫？=1的左右顶点分别为公、Az

(1)求以4、4为焦点，离心率为标的椭圆的标准方程：

(2)直线，过点C(l,l)与双曲线「交于4、B两点，若点。恰为弦的中点，求出直线I的方程；

(3)动直线九4=抽、+71恒过2(4,0),且与双曲线「的交于M、N两点(异于42)，点Q«，0)(常数t£R)是无

轴上的一个定点，岩恒有乙MQP=^NQP成立,求实数t的值.

21.(本小题16分)

类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面(含平面)S的方程，若曲面5和三

元方程F(>,y,z)=0之间满足：

①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F(%,y,z)=0的解：

②以三元方程F(x,y,z)=0的任意解(右,九,2。)为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F(x,y,z)=

0,方程尸(x,y,z)=0的曲而为S.已知曲面。的方程为91.

(1)写出坐标平面xOy的方程(无需说明理由)，指出xOy平面截曲面。所得交线是什么曲线，说明理由；

(2)已知直线I过曲面C上一点Q(l,l,2),以2=(-2。-4)为方向量，求证：直线I在曲面。上(即I上任意一点

均在曲面C上)：

(3)已知曲面C可视为平面xOz中某双山线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面：同时，过曲面C上任意一

点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C匕设直线厂在曲面C匕且过点7(/1,0,2),求异面直线1与1

所成角的余弦值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由点(0,2)不在双曲线「x2-y2=4±,且渐近线方程为、=±心

若宜线，平行于双曲线r的渐近线，可得直线，与双曲线仅有一个交点；

若直线，与双曲线「恰有一个公共点，可得直线I与双曲线相切，或与渐近线平行，

则“直线!平行于双曲线「的渐近线”是“直线1与双曲线/'恰有一个公共点”的充分不必要条件.

故选：A.

由双曲线的渐近线、直线和双曲线的位置关系和充分必要条件的定义，可得结论.

本题考查双曲线的方程和性质，以及充分必要条件的定义，考查方程思想和推理能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解:对4选项，•••空间中,P是直线I外一点,

••・过点P有日仅有一条百线平行于，，4选项正确：

对B选项，•.•空间中，P是直线矽卜一点，

••・过点P有且仅有一个平面垂直于，，

而在该垂面内过P有无数条直线，这些直线都垂直!，••.B选项错误；

对C选项，•••空间中，P是直线矽卜一点，a是一个平面，

••・过点P有且仅有一条直线垂直于a,，C选项正确；

对。选项，由B选项分析知：过点P有旦仅有一个平面垂直于h・•・/)选项正确.

故选：B.

根据空间中线线关系，线面关系，即可分别判断.

本题考查空间中线线关系，线面关系，属基础题.

3.【答案】C

【解析】解：圆心到直线的距离d=/=,

q帝中

•.•点M在圆内，且异于圆心，

•••J/+光<r,

:.d>r,

故宜线与圆相离.

故选C.

表示出圆心到直线的距离，比较与半径的大小的比较.

本题主要考查了直线与圆的位置关系.主要是看圆心到直线的距离与圆的半径大小关系来判断.

4.【答案】C

【解析】解：如图所示，假设在长方形中必存在；I使得PGiBiD],又易知Cqi平面/liG，u平面

所以CG1BlD],A/:

因为PGcCG=C「PC]、CC]U平面PCC],所以々£>1_L平面PCC「：'卜、

又B\DJ/BD,则BD1平面PCC「'、'、、'/

因为PCu平面PCG，所以BD1PC,即存在a使得BDJ.PC,

但若4=2,如下图所示，不妨设4口=1.5%,过G作GP_LaDi交直线D遂于P,

过P作PN1D1G，易得力亚=力道1，乙力*/入=4EQN=45。，

所以DiN=NP,又4&B]D[=4PGBi=乙3PN,

可得2GN=PN,则C1N二力,DXN=NP=2x>DXE=/2x.

则P在Di9延长线上，此时①不成立：

易知4G与&G不垂直，BGUBC,

所以4G与BC不垂直，又BCu平面PEC,所以/G不垂直于平面PBC,即②成立.

故选：C.

根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可.

本题考查长方体的性质的应用，用平面图形解决问题的方法，属于中档题.

5.【答案】（2,0）

【解析】解：抛物线V=8x的焦点在力正半轴匕开口向右，p=4,所以抛物线的焦点坐标（2,0）.

故答案为：（2,0）.

利用抛物线方程，判断焦点坐标所在轴，求解即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，判断抛物线的类型的解题的关键.

6.【答案】8

【解析】解：根据题意，空间直角坐标系中，三个坐标平面两两相交，且交于一点，

将空间分8部分.

故答案为：8.

根据题意，由坐标平面的关系，分析可得答案.

本题考查平面的基本性质，涉及空间直角坐标系，属于基础题.

7.【答案】6

【解析】解:点P椭圆厂9+9=1上异于长轴端点的一点，Fi、F2分别为椭圆厂的左右焦点，2Q=4,

2c=2,

PF/2的周长为2a+2c=6.

故答案为：6.

求解a,c,结合椭圆的定义，求解三免形的周长即可.

本题考杳椭圆的简单性质的应用，椭圆定义的应用，是基础题.

8.【答案】为

【解析】解：设球的半径为R,则

•••一个球体的表面积是4zr,

:.R=1»

•••球体的体积是[心

故答案为打

利用球体的表面积是4m求出R,再利用球的体积公式，求出这个球体的体积

本题考查球的表面积、体积，考查学生的计算能力，比较基础.

9.【答案】.

【解析】解：圆一2x+y?-4y—1=0的圆心C(l,2),

由题意可知圆心C在直线1上，所以2=k♦1+3=0,

解得k=-l,

设直线的倾斜角为a,aG[0,7T),

所以tana=k=-1,可得Q=Y-

故答案为：引.

由圆的方程可得圆心C的坐标，再由题意可得直线，过圆心，将圆心的坐标代入直线的方程，可得k的值,

再求出直线的倾斜角的大小.

本题考查直线平分圆的面积的性质及直线的倾斜角的求法，属于基础题.

10.【答案】/2

【解析】解：连接4C、BD、4夙/11D,ACnBD=

E,再连接&E,

设正方体ABCD-AiBiGD］的棱长为c,因为四边形

A8CD为正方形，

所以BDJ.E4

又因为/IE是4E在平面/18CD内的身影，所以BD1

AXE,

所以乙41E4是二面角4-BD-4的平面角，

因为4/，平面48CD,所以4141

AC,

因为41BQD1是正方体，所以力遇=。，AE=1(1，

于是tanz&EA=冬=至二，！

故答案为

先证明比4是二面角4一8。一人的平面角，再用解直角三角形方法求解.

本题考查了正方体的特性，考查了二面角的平面角概念，属于基础题.

11.【答案】2

【解析】解：直线，1：mx-2y+l=0,直线%：x-(m-l)y-1=0,I"/%，

则-加(m—1)=-2,解得m=2或—1,

经检验，当m=-l时，两直线重合，不符合题意，舍去，

m=2两直线不重合，符合题意，

综上所述，m=2.

故答案为：2.

根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题.

12.【答案】6n

【解析】解：•••圆柱的轴截面是边长为2的正方形，

•••圆柱底面圆的直径长为2,高为2.

则圆柱的表面积S=2-7r-2+2-7r-l2=67r.

故答案为67r.

由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2,高为2.

考查了学生的空间想象力.

13.【答案】x-y±2=0

【解析】解：设直线，的方程为y=x+m.

色-X+

立

联

+y2可得53+8mx+4m2-4=0.

•••所得弦长为Vl+My=.J64m2-80(m，l)=42，

5-mz=1,：•m=+2,

二直线，的方程为y=x±2,即％-y±2=0.

故答案为：x-y±2=0.

设直线［的方程为y=x+m,联立直线与椭圆的方程，通过弦长公式建立方程，即可求解.

本题考有直线与椭圆的位置关系，属中档题.

14.【答案】苧

【解析】解：过点M,N分别作MG〃45，交DD［于点G,

NP〃A［Di，交Cmi于点P,连接PG,

要想MN〃平面CCi。］。,则四边形MGPN为平行四边形，故

NP=MG,

设=TH6(0,1)>则PC1=m,故PD］=1-7/1,

由勾股定理得MN=PG=《D©+Dp=

J病+(1―血产

2

其中7彦+(1-771)2=27n2_2m+1=2(m-^)+1

当且仅当m=：时，等号成立，

故MN>苧，

所以线段MN长的最小值为亨.

故答案为：苧.

作出辅助线，得到要使MN〃平面CGDi。，则四边形MGPN为平行四边形，故NP=MG,设。=m6

(0,1),得出MN=Jm2+(l—m)2,求出最小值即可.

本题考查空间几何体的应用，属于中档题.

15.【答案】6

【解析】解:设|BF|=%.

•••过抛物线C：y2=2px(p>0)

的焦点F的直线交该抛物线于4、8两点，

〃F|=5|BF|,。为坐标原点,

A\AF\=5x.

如图，作出准线CD,AC1CD,BD1CD,

过B作交AC于M,交FO于N,

则更=空，

A1ABAM

•••由抛物线的性质得：忌=段三，

解得x=?p,•••M/q=5%=3p,

.曳[—生=6

故答案为：6.

设|8F|=%，则|AF|=5乂由抛物线的性质得：/=惠三解得x=[P，M/l=5x=3p,由此能求出

XiOXDA.x3

踹的值•

本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数

与方程思想，是中档题.

16.【答案】标

*3

【解析】解：椭圆圣+5=1(。>8〉0)所围成的椭圆面绕其长轴旋转一周后得到椭球体,

椭圆的长半轴为如短半轴为6,构造一个底面半径为b,高为a的圆柱,

把半椭球与圆柱放在同一个平面a上，如图，

在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，

即挖去的圆锥底面半径为山高为Q,在半椭球截面圆的面积为TT.(S?—/),

在圆柱内圆环的面积为兀/—乃.4.《2=江.-2(a2-d2)»

・•・距离平面a为d的平面截取两个几何体的平面面积取等，

根据祖随原理得出椭球体的体积为：

V=2(%庄-W=2(〃•炉•0一》.炉.B=与加，

同理，椭圆务*1(Q>A>0)所围成的椭圆绕其短轴旋转•周后得到的椭球体的体积为展竽Q7,

••・椭圆弧r：5+y2=i(x>0)旋转而成的球的体积为1乃x2x1=

而圆弧C：x2+y2=1(%>0)旋转而成的球的体积为gwxI3=

由题意，旋转体。的体积是椭球体的体积减去球的体积，

・•・旋转体。的体积值为27r—：兀二:小

OOO

4

-

3

先根据祖地原理得出椭球的体积，结合球的体积公式求旋转体的体积.

本题考查祖阿定理、圆柱、圆锥、体枳割补法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：⑴设4(0,2,3)、8(-2,1,6)、。(1,一1,5)、D(3,3,4),

故石=近+而=(-2,-1,3)+(3,1,1)=(1,0,4),

故五=一2式故6、B平行.

(2)由于力(0,2,3)、8(—2,1,6)、。(1,一1,5)、D(3,3,4),

所以而=(-2,-1,3),而二(1,一3,2),且肉、前的夹角6

故cos。=cos<AB,AC>==£=p

由于06[0,同，所以。=1

所以s。访=sing=苧.

^S=hAB\\AC\sind=|x/14x/14x

【解析】(1)直接利用向量的坐标运算判断向量间的共线：

(2)首先利用向量的夹角公式求出cos。=宏进•步利用三角形的面积公式求出结果.

本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的数量积运算，三角形的面积公式，主要

考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

18.【答案】(1)证明：以。为原点，DA.DC、0仇所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标

系，

可得8(2,2,0),01(0,0,2),M(l,2,0),N(2,l,0),P(2,2,l),

西=(-2,-2,2)，丽=(1,-1,0)，丽=(1,0,1)，

设平面MNP的法向量五=(x,y,z),则伊.竺="7=°.

In・MP=x+z=0

取％=1,得y=Lz=-1,故五=(1,1,-1)为平面MNP的一，卜法向量，

因为瓯=一2五，所以西与济平行，可得BAL平面MNP；

(2)解:连接GM,求得a(2,2,2),G©2,2),M(l,2,0),

所以西=(2,2,2),QM=(1,0,-2)»|西|='4+4+4=2C,|QM|=Vl+0+4=/5,函.

物=2+0-4=-2，

设异面直线Bi。与GM所成角为8,则cos。=|cos<西，而>|=肾％=罕，

即界面直线为。与GM所成角的余弦值为誉.

【解析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，求出平面MNP的法向量，然后证明该向量与西平行，可得答

案：

(2)利用空间向量的夹角公式加以求解，可得异面直线当。与GM所成角的余弦值.

本题主要考查正方体的结构特征、利用空间坐标系证明空间位置关系、异面直线所成角的求法等知识，属

于中档题.

19.【答案】解：(1)设圆锥底面半径为r,母线长为，，r=2,

可得圆锥的侧面积S="包=2献=6亓，解得1=3,I员I锥的高P。=，32-22=，耳,

因此,圆锥的体积V=x22x=^Tr-7r：

JJ

(2)因为△「■/?中，PA=PB,PM1AB,所以点M是线段中点，

取08中点N,连接MN、PN,则MN为△ABO的中位线，可得MN〃04

又因为0410B,所以MN1OB,

因为P01平面408,MNu平面408,MN1PO,

因为P。、。8是平面POB内的相交直线，所以MN1平面POB,

因此直线PN是PM在平面POB内的射影，可知NMPN是直线PM与平面POB所成的角,

因为ON=：。3=1,PO=2,所以PN=y/PO2+ON2=后，

中，MN-\OA-1,可得tancMPN=雷=E

41JVD

即直线PM与平面P08所成的角的正比值为苧.

【解析】(1)根据圆锥的侧面积公式，算出母线，=3,然后利用勾股定理算出圆锥的高，进而求得圆锥内

体积；

(2)取。8中点N,连接MN、PN,可证出MN1平面P08,则NMPN是直线PM与平面P08所成的角，进而在

RtAMPN中利用锐角三角函数定义算出答案.

本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，考查了计算能力、图

形的理解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)双曲线厂3-俨=1的左右顶点分别为公、A2,

则&(-2,0),42(2,0),

则c=2,又e=彳=£,:.a=4,b2=a2-c2=12,

La

故椭圆的标准方程为W+W=l;

lo1Z

(2)设4(巧加,B(x2,y2)»

点C恰为弦48的中点，

则％i+x2=2,yi+y2=2,

又因为4,8两点在双曲线上，

I

r4d

叫

所一万一1，两式相减得亨-(y£-羽)=0,化简整理得号=辞箸=$即以8=；，

lyd

i_y2-J什"1"2十++

关于直线(的方程为y-1=^(x-1),即x-4y+3=0；

(3)由动直线1：％=my+九恒过点P(4,0),可得〃=4,即直线厂：x=my+4,

设M[X3，y3)，加。4，%)，

x=my+4

联立宜线？与双曲线r,m—消去X整理得(〃/-4)y2十8〃沙+12=0,

因为直线p与双曲线「的交于M、N两点,

所以m丰±2,A=64m2-4(?n2-4)x12=16?n2+192>0»

则丫3+%=一段，y3y4二点彳曰乙MQP=^NQP,得%Q+kNQ=0,即含+含=0,即力(无4-

£)+>4。3-£)=。，整理得2nly3y4+(4-t)(为+%)=。，即二:"=。，当m=。时，上式成立，

当mH0时，得t=1,

所以当t=lM，恒有4MQP=4NQP成立.

【解析】(1)根据已知条件，结合双曲线、椭圆的性质，即可求解：

(2)根据已知条件，结合点差法，以及中点坐标公式，即可求解；

(3)或立直线与双曲线方程，再结合韦达定理，以及直线的斜率公式，即可求解.

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)根据坐标平面％0y内点的坐标的特征可知，坐标平面xOy的方程为z=0.

222

已知曲面C的方程为；+亍一a=1,

当z=0时，xOy平面截曲面C所得交线上的点M(%,y,0)满足/+V=[,

从而%0y平面截曲面C所得交线是：平面%Oy匕以