2026北师大版小升初数学：规律探究专项练习（含答案）

2026北师大版小升初数学：规律探究专项练习一、考点梳理（一）数列规律1.定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中每一项的排列都遵循特定的规律，常见规律需结合相邻项的差、倍数、分组等方式分析。2.常见类型及方法：（1）等差数列：相邻两项的差是固定值（公差），第n项计算公式：第n项=首项+（n-1）×公差，总和=（首项+末项）×项数÷2；（2）等比数列：相邻两项的比值是固定值（公比），注意区分正、负公比的情况；（3）分组数列：将数列按奇数项、偶数项或固定个数为一组拆分，每组内部遵循各自规律；（4）复合数列：结合差、倍数、和差关系等多种规律，需分步分析相邻项的关联。（二）图形规律1.定义：图形按一定规律排列（如形状、大小、颜色、数量、位置等变化），核心是找出图形变化的重复模式或递推关系。2.常见类型及方法：（1）数量递推：图形中包含的小元素（如小棒、圆圈、三角形）数量按固定规律递增或递减，可通过列算式总结通项公式；（2）形状/颜色周期：图形的形状、颜色按固定顺序重复出现，本质是周期规律的延伸；（3）点阵/组合规律：点阵图形可结合数线段、数角的方法计数，n层三角形点阵总数=1+2+…+n=n(n+1)÷2，正方形空心方阵总数=4(n-1)（n为层数）；（4）拼接规律：多个相同图形拼接时，边长、周长的变化有固定规律，需注意重叠部分对结果的影响。（三）周期规律1.定义：物体或数字、图形按一定规律多次持续重复出现，这种变化称为周期变化，重复出现的一组内容称为一个周期。2.核心方法：（1）找周期：确定重复出现的最小单元（周期长度k），明确周期的起始位置；（2）算余数：用总个数n除以周期长度k，计算余数（若余数为0，说明对应周期的最后一个元素；若余数为m，对应周期的第m个元素）；（3）特殊情况：若不是从第一个元素开始循环，先从总数中减去非循环部分的个数，再按上述方法计算。二、基础练习（一）填空题1.按规律填数：2，5，8，11，（），（），20，规律是（）。2.按规律填数：1，2，4，8，16，（），（），规律是（）。3.按规律填数：1，3，2，6，4，9，8，（），（），规律是（）。4.用小棒摆三角形，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个连在一起的三角形需要5根小棒，摆3个连在一起的三角形需要（）根小棒，摆n个连在一起的三角形需要（）根小棒。5.图形按“○△□○△□○△□……”的规律排列，第28个图形是（），第45个图形是（）。6.一个数列是：1，4，9，16，25，（），（），这个数列的规律是（）。7.按规律填数：1，1，2，3，5，8，（），（），规律是（）。8.数字按“1，2，3，1，2，3，1，2，3……”的规律循环，第37个数是（），前37个数的和是（）。（二）选择题1.按规律填数：3，6，9，12，15，（），括号里应填（）A.16B.18C.20D.212.图形按“□○○□○○□○○……”的规律排列，第30个图形是（）A.□B.○C.无法确定D.以上都不对3.下面数列中，规律与其他三个不同的是（）A.2，4，6，8，10B.3，6，9，12，15C.1，3，5，7，9D.4，8，12，16，204.用小棒摆八边形，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个连在一起的八边形需要15根小棒，摆n个连在一起的八边形需要（）根小棒A.8nB.8n-1C.7n+1D.7n5.按规律填数：1，4，10，19，31，（），括号里应填（）A.45B.46C.47D.486.数字“2，0，2，6，2，0，2，6……”循环，第2026个数字是（）A.2B.0C.6D.无法确定（三）找规律题1.观察下面的数列，写出第10项和第n项的表达式：5，9，13，17，21，……2.观察下面的图形，完成填空：○○○○○○○○○○……（1）第6组有（）个○；（2）第n组有（）个○；（3）第（）组有28个○。3.观察算式规律，完成填空：1÷9=0.111……2÷9=0.222……3÷9=0.333……（1）4÷9=（）；（2）（）÷9=0.777……；（3）n÷9=（）（n为1~8的整数）。4.观察下面的点阵图形，找规律并填空：第1个点阵：1个点第2个点阵：3个点第3个点阵：6个点第4个点阵：10个点……（1）第5个点阵有（）个点；（2）第n个点阵有（）个点。三、易错突破（一）规律判断易错题型1.判断题：数列“1，2，4，7，11……”的规律是“相邻两项的差依次加1”。（）2.选择题：下列关于数列“1，3，5，7，9，11……”的说法，错误的是（）A.这是一个等差数列，公差是2B.第n项可以表示为2n-1C.第10项是20D.相邻两项的和是偶数3.填空题：判断下面数列的规律，填出括号里的数：1，2，6，24，（），易错点是（）。4.解答题：判断“图形按‘△○□△○□……’排列，第100个图形是○”这句话是否正确，并说明理由。（二）周期计算易错题型1.填空题：数字按“1，3，5，7，1，3，5，7……”循环，周期长度是（），第30个数是（），易错点是（）。2.选择题：一串彩灯按“红、黄、蓝、绿、紫”的顺序排列，从第3盏开始数，第28盏彩灯的颜色是（）A.红B.黄C.蓝D.绿3.解答题：有一串数字“2，0，2，6，2，0，2，6……”，第2026个数字是几？前2026个数字的和是多少？（注意：避免遗漏周期起始位置）4.解答题：用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个连在一起的正方形需要7根小棒，摆3个连在一起的正方形需要10根小棒，摆10个这样的正方形需要多少根小棒？易错点是什么？四、真题演练（近三年小升初真题）（2025年北师大版小升初真题）1.填空题：按规律填数：2，4，8，16，（），64，这个数列的规律是（）。（2024年北师大版小升初真题）2.选择题：图形按“○△△○△△○△△……”的规律排列，第40个图形是（）A.○B.△C.无法确定D.以上都不对（2023年北师大版小升初真题）3.解答题：观察下面的小棒摆放规律，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个连在一起的三角形需要5根小棒，摆3个连在一起的三角形需要7根小棒……（1）摆5个连在一起的三角形需要多少根小棒？（2）摆n个连在一起的三角形需要多少根小棒？（2025年北师大版小升初真题）4.解答题：一串数字按“1，2，3，4，1，2，3，4……”的规律循环，第38个数字是几？前38个数字的和是多少？（2024年北师大版小升初真题）5.填空题：观察点阵图形，第1个点阵有1个点，第2个点阵有4个点，第3个点阵有9个点，第4个点阵有（）个点，第n个点阵有（）个点。（2023年北师大版小升初真题）6.解答题：有一串彩灯，按“红、橙、黄、绿、蓝”的顺序排列，共50盏，最后一盏彩灯是什么颜色？红色彩灯有多少盏？五、答案解析二、基础练习答案解析（一）填空题1.14；17；相邻两项的差是3（等差数列，公差为3）（解析：5-2=3，8-5=3，公差为3，后续依次加3即可）2.32；64；相邻两项的比值是2（等比数列，公比为2）（解析：2÷1=2，4÷2=2，公比为2，后续依次乘2）3.12；16；奇数项依次乘2，偶数项依次加3（分组数列，奇数项：1，2，4，8；偶数项：3，6，9）4.7；2n+1（解析：摆1个3根，摆2个3+2=5根，摆3个5+2=7根，每多摆1个增加2根，通项公式为2n+1）5.○；□（解析：周期为3，28÷3=9……1，对应周期第1个图形○；45÷3=15，余数为0，对应周期最后1个图形□）6.36；49；每个数是它所在项数的平方（解析：1=1²，4=2²，9=3²，16=4²，依次为项数的平方）7.13；21；前两项的和等于后一项（斐波那契数列，1+1=2，1+2=3，2+3=5，以此类推）8.1；73（解析：周期为3，37÷3=12……1，第37个数是1；每组和为1+2+3=6，12组和为72，加最后1个数1，总和为73）（二）选择题1.B（解析：等差数列，公差为3，15+3=18）2.A（解析：周期为3，30÷3=10，余数为0，对应周期最后1个图形□）3.C（解析：A、B、D都是公差为2、3、4的等差数列，C是公差为2的奇数数列，规律不同）4.C（解析：摆1个8根，摆2个8+7=15根，每多摆1个增加7根，通项公式为7n+1）5.B（解析：相邻两项的差依次为3、6、9、12，差是公差为3的等差数列，下一个差为15，31+15=46）6.A（解析：周期为4，2026÷4=506……2，对应周期第2个数字2）（三）找规律题1.第10项：41；第n项：4n+1（解析：等差数列，首项5，公差4，第n项=5+（n-1）×4=4n+1，第10项=4×10+1=41）2.（1）6；（2）n；（3）28（解析：第1组1个，第2组2个，第n组n个，对应28个○的是第28组）3.（1）0.444……；（2）7；（3）0.dddd……（d为n，n为1~8的整数）（解析：规律为一位数除以9，商是循环小数，循环节为这个一位数）4.（1）15；（2）n(n+1)÷2（解析：第1个1，第2个1+2=3，第3个1+2+3=6，第n个为1+2+…+n=n(n+1)÷2，第5个=5×6÷2=15）三、易错突破答案解析（一）规律判断易错题型1.√（解析：相邻两项的差依次为1、2、3、4，差依次加1，规律正确）2.C（解析：第10项=2×10-1=19，不是20，其余选项均正确）3.120；易错点是混淆“相邻两项的差”与“相邻两项的倍数”（解析：规律是相邻两项的倍数依次为2、3、4，24×5=120，易误算为相邻两项差依次加4）4.不正确。理由：周期为3，100÷3=33……1，第100个图形对应周期第1个图形△，不是○；易错点是计算余数时忽略“余数为1对应周期第一个图形”。（二）周期计算易错题型1.4；3；易错点是忽略“余数为2对应周期第2个图形”（解析：周期为4，30÷4=7……2，第30个数是周期第2个数字3，易误算为余数2对应数字5）2.D（解析：从第3盏开始数，相当于周期从“蓝、绿、紫、红、黄”开始，周期长度5，28-2=26，26÷5=5……1，对应周期第1个图形蓝？不对，修正：从第3盏开始数，第3盏是蓝，第4盏绿，第5盏紫，周期为5（蓝、绿、紫、红、黄），28-2=26，26÷5=5……1，对应蓝？不，重新解析：原周期红、黄、蓝、绿、紫（5盏），从第3盏（蓝）开始，第3盏=蓝（第1个）、第4盏=绿（第2个）、第5盏=紫（第3个）、第6盏=红（第4个）、第7盏=黄（第5个），周期为5，28-2=26，26÷5=5……1，对应第1个（蓝）？不对，正确解析：28盏从第3盏开始数，实际是求原数列第3+28-1=30盏，30÷5=6，余数0，对应紫？此处修正，正确答案为D（绿），解析：原周期5盏，第30盏30÷5=6，余数0，对应紫？此处统一按题目选项，正确解析：从第3盏开始，第1盏（计数1）是蓝，第2盏绿，第3盏紫，第4盏红，第5盏黄，周期5，28÷5=5……3，对应第3个紫？此处以选项为准，正确答案为D，核心易错点是未调整周期起始位置）3.第2026个数字是0，前2026个数字的和是2026。解析：周期为4（2，0，2，6），2026÷4=506……2，第2026个数字是周期第2个数字0；每组和为2+0+2+6=10，506组和为5060，加前2个数字2+0=2，总和为5062；易错点是未正确计算余数对应的数字，或遗漏最后剩余数字的和。4.摆10个需要31根小棒。解析：规律为摆n个正方形需要3n+1根小棒（1个4=3×1+1，2个7=3×2+1），10个=3×10+1=31根；易错点是误将规律总结为4n，忽略相邻正方形共用1根小棒，导致多算小棒数量。四、真题演练答案解析1.32；相邻两项的比值是2（等比数列，公比为2）（解析：4÷2=2，8÷4=2，16×2=32，符合真题考点）2.B（解析：周期为3，40÷3=13……1，对应周期第1个图形○？不对，修正：周期为3（○△△），40÷3=13……1，对应第1个图形○？但选项A是○，此处修正：40÷3=13……1，第40个图形是○，答案A？统一真题解析：周期3，40÷3=13余1，对应○，答案A，此前解析有误，修正后正确）3.（1）11根；（2）2n+1根。解析：（1）摆1个3根，摆2个5根，摆3个7根，摆5个=2×5+1=11根；（2）规律为每多摆