4-1 微分中值定理

2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系1微分中值定理函数的极值Fermat定理Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系2函数极值的定义2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系3函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系4函数极值的必要条件Fermat定理定理１定义2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系5Fermat定理的几何意义2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系6注１：Fermat定理的逆不一定成立。例如,2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系7注２：注３：2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系8达布(Darboux)定理

(导函数的介值定理)Fermat定理的重要推论——2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系9罗尔(Rolle)定理例如,2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系10物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系11证2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系122026/4/21南京航空航天大学理学院数学系13两点注注1：2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系14注2：12026/4/21南京航空航天大学理学院数学系15例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系16例2结论：可微函数的任意两个零点之间至少有一个导函数的零点！2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系17例32026/4/21南京航空航天大学理学院数学系18拉格朗日(Lagrange)中值定理2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系19几何解释:2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系20分析:弦AB方程为2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系21证明：作辅助函数拉格朗日中值公式2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系22注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系23拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系24Lagrange公式的几种形式①

②

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2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系25例4证2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系26例5证由上式得2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系27导数极限定理应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系28例62026/4/21南京航空航天大学理学院数学系29柯西(Cauchy)中值定理2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系30几何解释:2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系31证作辅助函数2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系32Cauchy定理是Lagrange定理的推广2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系33例7分析：结论可变形为2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系34

小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系35思考题

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系36思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.2026/4/21南京航空航天大学理学院数学系