高数积分与微分方程综合复习

高数期末考前辅导——积分与常微分方程主讲人：南航学习支持辅导中心教员井钦鹏——2018.7.2

第九章重积分——二重积分

积分思路：①确定被积函数；②确定积分区域（极坐标系需转化）；③降维并计算积分。第九章重积分——二重积分

第九章重积分——三重积分概念和性质（立体质量）三重积分的计算在直角坐标系中柱面坐标系中（例3、例4）（柱面区域、被积函数出现x^2+y^2）球面坐标系中（例5）（球面区域、被积函数出现x^2+y^2+z^2）对称性和轮换对称性先一后二/投影法（例1）先二后一/截面法（例2）积分思路：①确定被积函数；②确定积分区域；③将区域进行投影、截面或者转为及柱面、球面坐标系下的区域；④降维并计算积分。第九章重积分——三重积分

第九章重积分——重积分应用几何应用物理应用面积（平面和曲面）体积（曲顶柱体和立体）质量（平面薄片和空间物体）质心（平面薄片）形心（均匀平面薄片）重心（立体）转动惯量引力……确定投影区域第十章曲线积分与曲面积分——曲线积分第一类（对弧长）曲线积分1、概念和性质（细绳质量）2、计算（参数方程）（例1）第二类（对坐标）曲线积分1、概念和性质（做功）2、计算（参数方程）（例2）两类曲线积分之间的转化（方向余弦）第十章曲线积分与曲面积分——曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分——曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分——曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分——曲面积分第一类（对面积）曲面积分1、概念和性质（质量分布不均匀的薄片的质量）2、计算（确定投影区域并转化为二重积分）（例1）——另外别忘了对称性！3、面积元素重合的面不能投影！第二类（对坐标）曲面积分1、有向曲面（双侧曲面）2、概念（流量、通量）3、计算（确定投影区域并转化为二重积分）（例2）

第十章曲线积分与曲面积分——曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分——曲面积分高斯公式（例3）梯度、散度和旋度的联系（可以相互转化）第十章曲线积分与曲面积分——曲面积分

第十二章微分方程微分方程基本概念1、什么是常微分，什么是偏微分2、什么是通解，什么是特解（看清题目要求通解还是特解）常见微分方程类型1.可分离变量的微分方程（注意分母不为0）（例1）2.齐次方程（变量代换思想）（例2、例3）3.一阶线性微分方程（常数变易法（例4）+伯努利方程（例5））4.二阶线性微分方程（四个原理）5.全微分方程——四个等价条件/先求原函数/直接积分（例6）积分因子（例7）6.可降阶的微分方程7.二阶常系数齐次线性微分方程8.二阶常系数非齐次线性微分方程

第十二章微分方程二阶常系数齐次线性微分方程（核心是求解特征方程）N阶常系数齐次线性微分方程特征方程+q=0的两个根1和2微分方程y``+py`+qy=0的通解两个不相等的实根1和2Y=C1两个相等的实根1=2Y=(C1+C2x)一对共轭复根αY=（C1cosx+C2sinx)）特征方程的根微分方程通解中的对应项一个单根Y=C一对单复根αY=（C1cosx+C2sinx）一个k重实根Y=（C1+C2x+……+Ckx^(k-1)）一对k重复根αY=（C1+C2x+……+Ckx^(k-1)cosx+(C1+C2x+……+Ckx^(k-1)sinx]第十二章微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程非齐次项形式f(X)特征方程特解形式Pm(x)

u不是特征方程的根Y*=Qm(x)

U是特征方程的根Y*=xQm(x)

U是特征方程的重根Y*=x^2Qm(x)

P1(x)coswx+Pn(x)sinwx]U+i