河南省洛阳市2026届高三下学期适应性模拟测试卷数学试题（一）+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省洛阳市2026届高三下学期适应性模拟测试卷数学试题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|=（A．2 B．22 C．4 2．已知集合A=xx−2x−4≤0，B=1,2,3,4A．1,2,3 B．2,3,4 C．1,2,4 D．1,3,43．设a>0，则a+4a+1a的最小值为（A．2a+1 B．24a+1 C．64．圆x2+y2=20A．2 B．45 C．255．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（

）A．8π7 B．16π7 C．32π76．如图，设AB=xAD，AC=yAE，线段DE与BC交于点F，且BF=A．3 B．4 C．52 7．《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（

）A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元8．在四棱锥P−ABCD中，棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面α分别与侧棱PA、PC相交于点E、F，当PE=PF时，截面MEBF的面积为（

）A．2 B．3 C．33 D．二、多选题9．已知函数fx=9A．若fx是偶函数，则a=1 B．若fxC．若fx>0，则a的取值范围为0,+∞ D．若a>0，则10．已知数列an是首项为1，公差为d的等差数列，数列bn是首项为2的等比数列，且a2=bA．d=5B．∃m∈N∗C．数列anbD．数列an+bn11．已知O为坐标原点，M1,2，P是抛物线C：y2=2px上的一点，F为其焦点，若F与椭圆xA．该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为3B．若PF=6，则点P的横坐标为C．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9D．△PMF周长的最小值为3+三、填空题12．已知角α为第二象限角，sinα=35，角β为第四象限角，cosβ=513．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为23，向右移动的概率为13．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)=

14．已知对任意的x>0，不等式xex−lnx−ax≥1四、解答题15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c=2a(1)求角A的大小；(2)若c=22，BM=2MC，AM=216．已知点P2,3是离心率为32的椭圆C：x(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为32的直线l交椭圆C于A，B两点，求△PAB面积的最大值，并求此时直线l17．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为0.7，且不同对阵的结果相互独立．(1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁．（ⅰ）求甲获得第四名的概率；（ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望．(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．18．将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体OO′，点O'和O分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长AB=6，短轴长为42，AA′，BB′均垂直于椭圆面，且AA′=3，过下底面椭圆的右焦点F的动直线交椭圆于M(1)求BPP(2)求点O′到平面MNP(3)若∠AFM=π4，求二面角19．已知函数fx的定义域为R，记集合A=(1)若k=1,m=−1,fx=x2+ax(2)若fx=−xex(3)若函数fx的图象是一条连续不间断的曲线，且fx的导函数f′x是R上的减函数，证明：“A=t”是“y=f答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省洛阳市2026届高三下学期适应性模拟测试卷数学试题（一）》参考答案题号12345678910答案BBCDCBADABDCD题号11答案BCD1．B【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出．【详解】由i⋅z+2=2i可得，z=−2+2故选：B.2．B【详解】∵x−2x−4≤0∵B=1,2,3,4∴A∩B=2,3,43．C【分析】先化简4a+1a【详解】a+4a+1当且仅当a=1a，即故a+4a+1a的最小值为4．D【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长.【详解】已知两圆方程：圆C1:x2+y2将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程x2化简得：3x+4y−20=0.根据点到直线的距离公式，圆心O10,0到公共弦的距离：根据垂径定理，公共弦长l=2r【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法.5．C【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．【详解】球的体积为V1=4则正四棱台的体积为V2由V1=V2，可得6．B【分析】用两种方式表示点F的位置，然后利用向量基AD，AE底不共线，对应系数相等，得到3x+y=4.【详解】依题意，AF=所以AF=AB+又因为AF=AD+所以AF=即AF=(1−λ)AD+λAE，因为AD，AE不共线，所以所以3x+y=4.7．A【分析】根据题意设出“衰分比”和甲所获得的奖金，列出方程求解即可.【详解】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为x，甲所获得的奖金为a元则乙、丙、丁所获得的奖金分别为a1−x元、a1−x2由题意可知a+a1−x由①得a+a②代入③得2−x×16400=29520，解得x=20%，即“衰分比”为把x=20%代入②，得a+a1−20%从而丁所获得的奖金为10000×1−208．D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.【详解】由题意，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，如图，建立空间直角坐标系D−xyz，则C0,2,0，P0,0,2，A2,0,0，M0,0,1，B设PE=tPA=2t,0,−2t，又PE=PF，PA=PC，所以PF=tPC=由题意，M、E、B、F四点共面，所以BM=x所以−2=2t−2x−2y−2=−2x+所以E43,0,23所以cosBE,BF所以sin∠EBF=所以S△EBF又ME=所以cosME即cos∠EMF=所以sin∠EMF=所以S△EMF所以截面MEBF的面积为S=S故选：D9．ABD【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出a判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D.【详解】对于A，因为fx=9所以a⋅9x+1=因为a−19x−1=0对对于B，因为fx=9所以a⋅9x+1=−因为a+19x+1=0对对于C，由fx=9x+a又易知9x∈0,+对于D，令3x=t>0，由fx当且仅当t=at，即10．CD【详解】由题意，an=1+(n−1)d，由a2=b2得1+d=2q，由联立解得d=3，q=2，故an=3n−2，A：根据以上分析得d=3，错误；B：b5=25=32C：设{anbn}前nSn2S两式相减得−Sn=2+3(22+2故Sn=(3n−5)2n+1+10D：数列an+bn的前n项和即数列an的前n即k=1n11．BCD【分析】由椭圆方程求得抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义和焦半径公式，可判定B正确；联立方程组，求得交点的坐标，可判定A错误；求出外接圆的半径，求得圆的面积，可判定C正确；利用抛物线的定义转化，结合三角形两边之和大于第三边，可判定D正确.【详解】椭圆x29+y25=1

抛物线y2=2px焦点为p2,0，与F重合得因此抛物线方程为y2=8x，准线选项A，将准线x=−2代入椭圆方程得49+y截得线段长度为53−−选项B，由抛物线定义PF=xp+p选项C，△POF中，O0,0,F2,0，外接圆圆心在OF的垂直平分线x=1圆与准线x=−2相切，半径r=1−−2=3，圆面积S=π选项D，△PMF周长=PM先计算定值MF2由抛物线定义，PF为点P到准线x=−2的距离d，因此PM+最小值为M1,2到准线x=−2距离，即1−−2=3.因此周长最小值为3+12．63【分析】结合角α、β所在象限与同角三角函数基本关系可得tanα，tan【详解】由角α为第二象限角，则cosα=−由角β为第四象限角，则sinβ=−故tanα=−34则tanα+β故答案为：631613．17【分析】首先设该质点向右移动的次数为Y，则Y~B5,13【详解】设该质点向右移动的次数为Y，则Y~B5,13若X=Y−(5−Y)=2Y−5>0，则满足条件的Y的值为3,4,5，对应X的取值分别为1,3,5.所以P(X>0)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=C故答案为：178114．a≤1【分析】由不等式恒成立构造f(x)=xex−lnx−ax−1，只需f(x)min≥0成立：利用导函数研究f′(x)单调性知∃x0∈(0,+∞)使f【详解】由题意，对任意的x>0不等式xe令f(x)=xex−lnx−ax−1∴f′(x)在(0,+∞)上单调增，且x→0时，f'(x)→−∞，所以∃x0∈(0,+∞)使f∴f(x)在(0,x0)故：f(x)min=f(而h(x)=xex在(0,+∞)上单调增，又∴h(x0)≤h(ln1∴a=(1+x故答案为：a≤1.【点睛】关键点点睛：1、构造f(x)=xex−lnx−ax−12、由导数知∃x0∈(0,+∞)使f3、由上得x0ex0≤−15．(1)A=(2)无解.【分析】（1）利用正弦定理，边角互化求解即可；（2）利用AM的长建立方程求出△ABC的边AC，利用面积公式S△ABC【详解】（1）由正弦定理可得2sin因为sinC≠0，所以sin由△ABC为锐角三角形，从而A∈0,所以A=π（2）由BM=2MC从而AM=两边平方可得：|AM又AB=c=22，AC=b，AM=2，即∴2=19×∴b=14从而a2由a2+从而C为钝角，不合题意，满足题意中的三角形不存在.16．(1)x(2)4，y=【分析】（1）根据离心率得到a,b的关系,再将已知点代入椭圆方程,联立解得a2（2）设出直线方程并与椭圆联立,利用韦达定理和距离公式表示出弦长和点到直线的距离,写出三角形面积表达式,用均值不等式求出最大值及对应的直线方程.【详解】（1）由题意得ca=32，且将P2,3代入椭圆方程得4a2+3b所以椭圆C的方程为x2（2）设直线l的方程为y=32x+t，A、B两点的坐标分别为x由y=32x+tx2由Δ=3t2−4t2−4AB=点P到直线l的距离为d=3S△PAB=1当且仅当t2=16−t2，即即△PAB面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为y=317．(1)（ⅰ）0.09；（ⅱ）3.204(2)“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由见解析【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解；（2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论．【详解】（1）（ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则PA（ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4．连败两局：PX=2X=3可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负，PX=3PX=4=1−0.7X234P0.090.6160.294∴数学期望EX（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率：P=0.7在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：0.72∵0.5488>0.49，∴“双败淘汰制”对甲夺冠有利．18．(1)BP(2)2(3)557【分析】(1)建系设点，由AO'//平面MNP推出AO'(2)设点M，列平面MNP的法向量方程组，写出法向量；代入点到平面距离公式，将距离表达式化简后用不等式放缩，求出最大值.(3)由∠AFM=π4得出MN方向向量，分别求平面MNP、平面【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则F1,0,0，A−3,0,0，O′所以AO′=由AO'//平面MNP，得A（2）设Mx0,y0设平面MNP的法向量为n=则FM⃗⋅n又因为FO所以d=FO′即点O′到平面MNP的距离的最大值为2（3）因为∠AFM=π4，所以直线MF的方向向量直线FP的方向向量e2设平面MNP的法向量为m1m1⋅又FO′=−1,0,3，直线设平面MNO′的法向量为FO'所以cosm由图可知二面角O′−MN−P的平面角为锐角，故二面角O′19．(1)−1≤a≤3(2)存在(3)证明见解析【分析】（1）根据给定