第三章 中值定理与导数的应用

第3章中值定理与导数的应用

中值定理第一节洛必达法则

第二节函数单调性的判别法

第三节

函数的极值及其求法第四节2026/4/22

函数的最大值与最小值第五节曲线的凹凸性与拐点

第六节函数图形的描绘

第七节第一节中值定理

微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.一、罗尔定理罗尔定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零：f′(ξ)=0.在证明这个定理之前,先考察一下定理的几何意义.在图3-1中,设曲线弧AB的方程为y=f(x)(a≤x≤b).罗尔定理的条件在几何上表示:AB是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且两个端点的纵坐标相等.定理的结论表达了这样一个几何事实:

在曲线弧AB至少有一点C,在该点处曲线的切线是水平的.从图中看到,在曲线的最高点或最低点处,切线是水平的,这就启发了我们证明这个定理的思路.证明

由于f(x)在闭区间［a,b］上连续,根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在闭区间［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.这样只有两种可能情形:(1)M=m.这时f(x)在区间［a,b］上必然取相同的数值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)内任意一点作为ξ而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因为f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在区间［a,b］的端点处的函数值.为确定起见,不妨设M≠f(a)(如果设m≠f(a),证法完全类似),那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M.下面证明f(x)在点ξ处的导数等于零,即f′(ξ)=0.因为ξ是开区间(a,b)内的点,根据假设可知f′(ξ)存在,即极限limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx存在.而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此f′(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx.由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不论Δx是正的还是负的，只要ξ+Δx在［a，b］上，总有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.二、拉格朗日中值定理

罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(3-1)成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把(3-1)式改写成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，由图3-2可看出，f(b)-f(a)b-a为弦AB的斜率，而f′(ξ)为曲线在点C处的切线的斜率.因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB.从罗尔定理的几何意义中(见图3-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB.由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x)上，证得所要的结果.

由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论：

推论1设函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，那么在区间I内函数f(x)=C，其中C为常数.

推论2设f(x)、g(x)是在I内的可导函数，若f′(x)=g′(x)，则f(x)-g(x)=C，其中C为常数.

证明

在区间I内任取两个点x1，x2，不妨设x1＜x2，应用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，则f′(ξ)=0，故等式右端为零，即f(x1)=f(x2)，这表明在区间I内任意两点处的函数值都相等，所以函数f(x)在区间I内是一个常数.

它在微分学中占有重要地位，有时也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.三、柯西中值定理

前面已经指出，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.设AB由参数方程X=F(x)，Y=f(x)(a≤x≤b)表示，其中x为参数.那么曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为dY/dX=f′(x)F′(x)，弦AB的斜率为f(b)-f(a)F(b)-F(a).

假定点C对应于参数x=ξ，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可表示为f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ).与这一事实相应的是柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且F′(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立.第二节洛必达法则

如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)和g(x)都趋向于零，或都趋向于无穷大，那么此时极限limx→x0(或x→∞)f(x)g(x)可能存在，也可能不存在.通常把这种形式的极限叫做未定式，并分别简称为0/0型或∞/∞型不定式.对于未定式，不能直接用极限运算法则求得.下面介绍洛必达法则，它是求这类极限的简便而有效的方法.一、0/0型未定式第三节函数单调性的判定法

如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，

它们的斜率f′(x)都是负的，即f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的定理.第四节函数的极值及其求法一、函数极值的定义

在图3-10中我们可以看出，函数y=f(x)在c1,c4的函数值f(c1),f(c4)比它们两旁各点的函数值都大,而在点c2,c5的函数值f(c2),f(c5)比它们两旁各点的函数值都小.对于这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义.定义

设函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0∈(a,b).如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0称为f(x)的一个极大值点；如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的极小值点.

函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.（1）极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不应混淆.(2)函数的极值概念是局部性的，它只是在与极值点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.因此，函数的极大值不一定比极小值大.如在图3-10中，极大值f(c1)就比极小值f(c5)还小.(3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间内部，也可能是区间的端点.二、函数极值的判定和求法

如图3-10所示，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但曲线上有水平切线的地方，函数却不一定取得极值.例如，在点c3处，曲线具有水平切线，这时f′(c3)=0，但f(c3)并不是极值.下面我们讨论函数取得极值的必要条件和充分条件.定理1设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′(x0)=0.

使导数为零的点(即方程f′(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点(又叫稳定点).

定理1说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点，例如x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点.

既然函数的驻点不一定是它的极值点,那么,当我们求出函数的驻点后,怎样判别它们是否为极值点呢?如果是极值点,又怎样进一步判定是极大值点还是极小值点呢?为了解决这些问题,我们先借助图形来分析一下函数f(x)在点x0取得极值时,点x0左右两侧导数f′(x)的符号变化的情况.如图3-11所示,函数f(x)在点x0取得极大值,在点x0的左侧单调增加,有f′(x)＞0;在点x0的右侧单调减少,有f′(x)＜0.对于函数在点x0取得极小值的情形,读者可结合图3-12类似地进行讨论.

由此可给出函数在某点处取得极值的充分条件.定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0某空心邻域内可导.(1)如果当x取x0左侧邻域的值时,恒有f′(x)＞0;当x取x0右侧邻域的值时,恒有f′(x)＜0,那么函数f(x)在点x0处取得极大值f(x0).(2)如果当x取x0左侧邻域的值时,恒有f′(x)＜0;当x取x0右侧邻域的值时,恒有f′(x)＞0,那么函数f(x)在点x0处取得极小值f(x0).(3)如果在x0的两侧,函数的导数符号相同,那么函数f(x)在点x0处没有极值.当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,也可以利用下列定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值.定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)f″(x0)＜0时,函数f(x)在x0处取得极大值;(2)f″(x0)＞0时,函数f(x)在x0处取得极小值.根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和极值:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导数f′(x);(3)求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；(4)用上述所求得的点把函数的定义域划分为若干个部分区间,考察每个部分区间内f′(x)的符号,以确定该驻点是否为极值点.如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；(5)求出各极值点处的函数值,就得到了函数f(x)的全部极值.第五节函数的最大值与最小值一、函数的最大值和最小值的求法

我们知道,闭区间［a,b］上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值存在.显然,这个最大值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点或者区间的端点处取得.因此,求闭区间上的连续函数的最大值和最小值时,只要把可能取得极值的点(驻点和不可导的点)与区间端点的函数值比较大小,最大的就是f(x)在［a,b］上的最大值,最小的就是f(x)在［a,b］上的最小值.二、最大值和最小值的应用问题

在实际问题中,常要遇到在一定条件下,怎样使产量最多、用料最省、成本最低等问题，这类问题常可归结为求函数的最大值或最小值问题.【例3】铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB(见图3

18)，为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3∶5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处?

在求实际问题的最大值或最小值时，如果由实际问题所建立的函数f(x)在定义区间上连续，在区间内可导，往往根据题意可以肯定f(x)在区间内部确有最大值或最小值存在.这时如果f(x)在区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论x0是否为极值点，就可判定f(x0)就是函数f(x)在该区间上的最大值或最小值.【例4】制造一个体积为V的有盖圆柱形铁筒，怎样选取圆柱形筒的半径和高，才能使用料最省.第六节曲线的凹凸性与拐点

我们研究了函数的单调性和极值，这对描绘函数的图形有很大的作用，但仅仅知道这些，还不能较准确地描绘函数的图形.例如,函数y=x2和y=x,它们在[0,1]上,虽然都是单调增的,但是,它们的图形却有完全不同的弯曲状态:OBA是向上凹的曲线弧,OCA是向上凸的曲线弧(见图3-19),它们的凹凸性不同.下面我们就来研究曲线的凹凸性及拐点.一、曲线的凹凸性及其判别法定义1若在开区间(a,b)内,曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的下方,则称此曲线在(a,b)内是凹的;若曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的上方,则称此曲线在(a,b)内是凸的.如图3-20所示，曲线y=f(x)在区间(a,c)内是凸的,在区间(c,b)内是凹的.再观察曲线段上各点处的斜率的变化我们会发现,曲线y=f(x)在区间(a,c)内从左至右切线的斜率是递减的;在区间(c,b)内从左至右切线的斜率是递增的.联系函数增减性的判别方法,我们便有如下的曲线凹凸性的判别定理.定理

设函数y=f(x)在开区间(a,b)内具有二阶导数,则(1)如果在区间(a,b)内f″(x)＞0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;(2)如果在区间(a,b)内f″(x)＜0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.第一节导数的概念一、引例

为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题.1变速直线运动的瞬时速度

我们知道在物理学中，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s/t来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速直线运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得

二、曲线的拐点定义2若连续曲线y=f(x)上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,则称该点是曲线y=f(x)的拐点.

例如,在例2中的点(0,0)就是曲线y=x3的拐点.因为拐点是曲线凹向的分界点,所以拐点左右两侧近旁f″(x)的符号必然异号.因此曲线y=f(x)拐点的横坐标x0只可能是