2026春专题02 排列组合中的必考六类问题（举一反三专项训练）（高二数学人教A版选择性必修第三册）

专题02排列组合中的必考六类问题 (举一反三专项训练)(高二数学人教A版选择性必修第三册)排列组合是高二数学人教A版选择性必修第三册的核心内容，也是高考数学的必考题一、知识点前置梳理在解决排列组合的各类问题前，需熟练掌握核心概念、公式及解题(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n,n、m∈N*)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数记为Am,强调(2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n,n、m∈N*)个元素合成一组，叫做从(1)排列数公(规定0!=1);(2)组合数公式：(3)组合数性质：①Cm=Cn-m(互补性质);②Cn+1=Cm+Cm-1(组合数递推性质);③Cn=2n(二项式定理推论)。3.解题核心原则(1)先选后排：对于排列组合混合问题，先通过组合选出符合条件的元素，再对选出的元素进行排列；(2)特殊优先：优先处理有特殊限制(如位置限制、元素限制)的元素或位置，再处理普通元素和位置；(3)分类讨论：当问题存在多种情况，无法一次性求解时，按不同条件分类，最后利用分类加法计数原理求和；(4)正难则反：当直接求解困难时，可先求其对立事件的结果，再用总结果减去对立事件的结果，简化计算；(5)等价转化：将复杂问题转化为熟悉的基础题型(如相邻问题、相间问题),利用二、排列组合必考六类问题详解(含举一反三)第一类：排列数、组合数的计算与证明【考情分析】此类问题是排列组合的基础题型，高考中多以选择题、填空题形式出现，考查排列数、组合数公式的直接应用、性质应用，以及简单的(一)典型例题例1:(1)计算A3、C₀的值；(2)证明：Cm+Cm-1=Cn+1;(3【解析】(1)根据排列数和组合数公式直接计算：(2)证明：通分后提取公因与右边相等，故(3)根据组合数性质Cm=Cn-m,可知方程Ci3=C²x+1有两种情况：①x=2x+1,解得X=-1(舍去，因为x∈N*,且组合数中x≤13,2x+1≤13);②x+(2x+1)=13,解得3x=12,X=4,满足x∈N*且x≤13,2x+1=9≤13,故x=4。【答案】(1)A³=336,Co=210;(2)证明见解析；(3)x=4。(二)举一反三变式训练变式1:计算A+C₈的值；变式2:证明：Am=nAm-1;变式3:求解不等式3A³≤2A+1+6A(x∈N*)。变式2:证明：右与左边相等，故变式3:首先明确排列数的适用条件，x≥3(因为A³要求x≥3),且x∈N*。将排列数公式代入不等式：3x(x-1)(x-2)≤2(x+1)x+6x(x-1),两边同时除以x(x≥3,x≠0),得：3(x-1)(x-2第二类：元素(位置)有限制的排列问题(一)典型例题例2:现有5名同学(甲、乙、丙、丁、戊),安排他们站成一排拍照，满足以下条件，分别有多少种不同的排法?(1)甲不能站在两端；(2)甲必须站在中间，乙不能站在两端；(3)甲、乙两人不【解析】(1)方法一：特殊元素优先法。甲是特甲有3个位置可选(中间3个位置),再安排其余4名同学，有A4种排法，根据分步方法二：特殊位置优先法。两端是特殊位置，先安排两端的同学，从除甲以外的4名同学中选2人，有A种排法，再安排中间3个位置的同学，有A3种排法，总排法数为(2)甲必须站在中间，位置固定，只需安排其余4名同学，且乙不能站在两端。先安排乙，乙不能站在两端和中间(甲已占中间),有2个位置可选，再安排丙、丁、戊3人，有A3种排法，总排法数为2×A³=2×6=12种。(3)方法一：间接法。先计算5名同学全排列的排法数A5=120种，再计算甲、乙相邻的排法数(将甲、乙捆绑为一个整体，与其余3人全排列，同时甲、乙内部排列),即A2×A⁴=2×24=48种，故甲、乙不相邻的排法数为120-48=72种。方法二：插空法。先安排丙、丁、戊3人，有A³=6种排法，3人排好后产生4个空隙 (包括两端),从4个空隙中选2个安排甲、乙，有A2=12种排法，总排法数为6×12=72种。【答案】(1)72种；(2)12种；(3)72种。变式1:6名同学站成一排，其中甲不能站在第1位，乙不能站在第6位，有多少种不同的排法?变式2:7名演员排成一排表演，要求甲、乙、丙三人必须站在一起，且甲在乙、丙中间，有多少种不同的排法?变式3:8名同学站成一排，其中3名女生不能站在两端，且3名女生互不相邻，有多少种不同的排法?【变式解析】变式1:方法一：分类讨论。①甲站在第6位，此时乙无限制，其余4人全排列，排法数为A5=120种；②甲不站在第1位和第6位，甲有4个位置可选，乙不能站在第6位，乙有4个位置可选(除第6位和甲的位置),其余4人全排列，排法数为4×4×A=16×24=384种；总排法数为120+384=504种。方法二：间接法。全排列排法数A₆=720种，甲站在第1位的排法数A5=120种，乙站在第6位的排法数A5=120种，甲站在第1位且乙站在第6位的排法数A4=24种，故符合条件的排法数为720-120-120+24=504种。变式2:将甲、乙、丙捆绑为一个整体，甲在乙、丙中间，乙、丙内部有A2=2种排法，将这个整体与其余4名演员全排列，有A5=120种排法，总排法数为2×120=240种。变式3:先安排5名男生，有A5=120种排法，5名男生排好后产生4个空隙(不包括两端，因为女生不能站在两端),从4个空隙中选3个安排3名女生，有A=24种排法，总排法数为120×24=2880种。第三类：相邻、相间问题【考情分析】相邻问题和相间问题是排列组合的经典题(一)典型例题例3:(1)有8个不同的节目，其中4个歌舞节目，4个语言类节目，要求4个歌舞节目必须相邻，有多少种不同的节目编排顺序?(2)有8个不同的节目，其中4个歌舞节目，4个语言类节目，要求歌舞节目和语言类节目相间排列，有多少种不同的节目编排顺序?【解析】(1)相邻问题——捆绑法。将4个歌舞节目捆绑为一个整体，内部进行排列，有A4种排法；将这个整体与4个语言类节目看作5个元素，进行全排列，有A5种排法；根据分步乘法计数原理，总编排顺序数为A⁴×A5(2)相间问题——插空法。相间排列分两种情况：①歌舞节目在前，语言类节目在后；①歌舞节目在前：先排列4个歌舞节目，有A4种排法，4个歌舞节目排好后产生5个空隙，从中选4个空隙安排4个语言类节目，有A种排法，排法数为A4×A=24×120=2880种；②语言类节目在前：先排列4个语言类节目，有A种排法，4个语言类节目排好后产生5个空隙，从中选4个空隙安排4个歌舞节目，有A种排法，排法数为A⁴×A=2880种；总编排顺序数为2880+2880=5760种。【答案】(1)2880种；(2)5760种。变式1:有5名男生和3名女生，排成一排，要求3名女生必须相邻，且女生不能站在两端，有多少种不同的排法?变式2:有6名学生，其中3名男生、3名女生，排成一排，要求男生和女生相间排列，有多少种不同的排法?变式3:有7个不同的小球，放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且其中2个特定小球必须放入同一个盒子，有多少种不同的放法?【变式解析】变式1:捆绑法+特殊位置优先。将3名女生捆绑为一个整体，内部排列有A³=6种排法；女生不能站在两端，故这个整体只能放在中间5个位置中的1个，有5种选择；再安排5名男生，有A5=120种排法；总排法数为6×5×120=3600种。变式2:插空法。相间排列分两种情况：①男生在前，女生在后；②女生在前，男生①男生在前：3名男生全排列有A³=6种排法，产生4个空隙，选3个安排女生，有A³=6种排法，排法数为6×6=36种；②女生在前：3名女生全排列有A3=6种排法，产生4个空隙，选3个安排男生，有A3=6种排法，排法数为6×6=36种；总排法数为36+36=72种。变式3:捆绑法+分组分配。将2个特定小球捆绑为一个整体，此时共有6个“元素”(5个普通小球+1个捆绑整体),要求每个盒子至少放1个，先分组：6个元素分成4组，每组至少1个，分组方式为“2,1,1,1”(只有1组2个元素，其余3组各1个),分组数为C6=15(因为捆绑整体本身是2个元素，无需再选);再将4组元素分配到4个不同的盒子，有A₄=24种分配方法；同时，捆绑的2个特定小球内部无需排列(因为是特定小球，位置无区别),总放法数为15×24=360种。第四类：定序问题(一)典型例题例4:(1)有6名同学，排成一排，要求甲必须在乙的前面，丙必须在丁的前面，有多少种不同的排法?(2)有8名运动员，其中3名短跑运动员、2名长跑运动员、3名跳远运动员，排成一排，要求同类运动员的顺序固定(短跑运动员按成绩从快到慢，长跑运动员按成绩从快到慢，跳远运动员按成绩从快到慢),有多少种不同的排法?【解析】(1)方法一：定序倍除法。6名同学全排列的排法数为A₆=720种；对于甲和乙，甲在乙前面与乙在甲前面的排法数相等，各占一半；方法二：定序排他法。先从6个位置中选2个位置安排甲和乙，甲在乙前面，只有1种排法，有C哈种选法；再从剩下的4个位置中选2个位置安排丙和丁，丙在丁前面，只有1种排法，有C2种选法；最后安排剩下的2名同学，有A2种排法；总排法数为(2)定序倍除法。8名运动员全排列的排法数为A种；3名短跑运动员顺序固定，需除以A3;2名长跑运动员顺序固定，需除以A2;3因此，符合条件的排法数【答案】(1)180种；(2)560种。(二)举一反三变式训练变式1:有5名同学，排成一排，要求甲、乙、丙三人的顺序固定(甲在乙前，乙在丙前),有多少种不同的排法?变式2:有7个不同的数字，分别是1、2、3、4、5、6、7,排成一个7位数，要求奇数数字(1、3、5、7)的顺序固定，有多少种不同的7位数?变式3:有4名男生和2名女生，排成一排，要求2名女生的顺序固定，且男生甲必须在女生前面，有多少种不同的排法?变式1:定序倍除法。5名同学全排列有A5=120种排法，甲、乙、丙三人顺序固定，变式2:定序倍除法。7个数字全排列有A7=5040种排法，4个奇数数字顺序固定，0需除以A4=24,故符合条件的7位数0变式3:分步求解。先处理2名女生，顺序固定，有1种排法；再安排男生甲，要求甲在女生前面，从女生前面的5个位置(7个位置中，女生占2个，前面有5个)中选1个，有5种选择；最后安排其余3名男生，在剩下的4个位置中全排列，有A=24种排法；总排法数为1×5×24=120种。第五类：分组、分配问题【考情分析】分组、分配问题是排列组合的综合题型，也是高考的重(一)典型例题例5:(1)将6本不同的书，分成3组，每组2本，有多少种不同的分组方法?(2)将6本不同的书，分给3名同学，每人2本，有多少种不同的分配方法?(3)将6本相同的书，分给3名同学，每人至少1本，有多少种不同的分配方法?(4)将6本不同的书，分给3名同学，每人至少1本，有多少种不同的分配方法?【解析】(1)均匀分组(无序)。先从6本书中选2本，有C2种选法；再从剩下的4本书中选2本，有C种选法；最后剩下的2本为一组，有C2种选法；由于3组之间无顺序，会出现重复计数(如ABCDEF,先选AB、再选CD、最后选EF,与先选CD、再选AB、最后选EF是同一种分组),需除以A³,故分组方法数(2)均匀分配(有序)。方法一：先分组，再分配。由(1)知，分组方法有15种，再将3组书分给3名同学，有A³=6种分配方法，总分配方法数为15×6=90种。方法二：直接分配。分给第一名同学2本，有C2种选法；分给第二名同学2本，有C2种选法；分给第三名同学2本，有C2种选法，总分配方法数为C6×C2×C²=15×6×1=90种。(3)相同元素分配(挡板法)。6本相同的书，分给3名同学，每人至少1本，相当于在6本书之间的5个空隙中插入2个挡板，将书分成3组，挡板的插入方法数为C弓=10种，故分配方法数为10种。(4)不同元素分配(分类讨论+分组分配)。每人至少1本，分两种分组方式：A³=6种分配方法，共15×6=90种；无需除以阶乘),再分配给3名同学，有A³=6种分配方法，共60×6=360种；总分配方法数为90+360=450种。【答案】(1)15种；(2)90种；(3)10种；(4)450种。(二)举一反三变式训练变式1:将8本不同的书，分成3组，分别为3本、3本、2本，有多少种不同的分组方法?变式2:将8本不同的书，分给3名同学，分别为3本、3本、2本，有多少种不同的分配方法?变式3:将9本相同的书，分给4名同学，每人至少2本，有多少种不同的分配方法?变式1:部分均匀分组(无序)。先从8本书中选3本，有C3种选法；再从剩下的5本书中选3本，有C种选法；最后剩下的2本为一组，有C2种选法；由于有2组都是变式2:部分均匀分配(有序)。先分组，由变式1知分组方法有280种，再将3组书分给3名同学，有A³=6种分配方法，总分配方法数为280×6=1680种。变式3:相同元素分配(挡板法变形)。每人至少2本，先给每人分1本，此时还剩9-4=5本相同的书，再将这5本书分给4名同学，每人至少0本(相当于每人至少2本的原问题);将5本书和3个挡板(4名同学需3个挡板)共8个元素排列，挡板的位置数为C³=56种，故分配方法数为56种。第六类：涂色问题【考情分析】涂色问题是排列组合的创新题型，高考中常结合几何图形(如三角形、四边形、圆形)考查，核心是“相邻区域涂不同颜色”,解题方法是分类讨论(按颜色种类分类、按相邻区域分类),需注意不相邻区域可涂相同颜色，避免重复或遗漏，难(一)典型例题例6:(1)用5种不同的颜色给如图所示的4个区域(A、B、C、D)涂色，要求相邻区域涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法?(注：A与B、A与C、B与D相邻，(2)用4种不同的颜色给正六边形的6个顶点涂色，要求相邻顶点涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法?【解析】(1)分类讨论，按区域A的颜色选择，再依次分析相邻区域的颜色选择。①选择区域A的颜色：有5种选择；②选择区域B的颜色：B与A相邻，不能与A同色，有4种选择；③选择区域C的颜色：C与A相邻，不能与A同色，有4种选择；④选择区域D的颜色：D与B相邻，不能与B同色，与C不相邻，可与C同色，有4种选择(排除B的颜色);根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为5×4×4×4=320种。(2)分类讨论，按是否使用4种颜色分类(相邻顶点不同色，正六边形6个顶点，颜色最多4种)。①使用4种颜色：先从4种颜色中选1种颜色，涂2个不相邻的顶点(正六边形中，不相邻的顶点有3组：1与4、2与5、3与6),有C¹×3=12种选择；再将剩下的3种颜色涂剩下的4个顶点，相邻顶点不同色，有A³=6种涂法，共12×6=72种；②使用3种颜色：从4种颜色中选3种，有C=4种选择；将3种颜色循环涂6个顶点(相邻顶点不同色，3种颜色刚好循环),每种颜色涂2个不相邻的顶点，有2种循环方式(顺时针、逆时针),共4×2=8种；③使用2种颜色：从4种颜色中选2种，有C2=6种选择；将2种颜色交替涂6个顶点，只有1种涂法(相邻顶点不同色),共6种；总涂色方法数为72+8+6=86种。【答案】(1)320种；(2)86种。变式1:用3种不同的颜色给三角形的3个顶点涂色，要求相邻顶点涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法?变式2:用6种不同的颜色给如图所示的5个区域(A、B、C、D、E)涂色，要求相邻区域涂不同的颜色(A与B、A与C、B与D、C与E、D与E相邻),有多少种不同的涂色方法?变式3:用5种不同的颜色给正方体的6个面涂色，要求相邻的面涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法?【变式解析】变式1:分步求解。①涂顶点A,有3种颜色选择；②涂顶点B,与A相邻，有2种颜色选择；③涂顶点C,与A、B都相邻，有1种颜色选择；总涂色方法数为3×2×1=6种。变式2:分步求解。①涂区域A,有6种颜色选择；②涂区域B,与A相邻，有5种颜色选择；③涂区域C,与A相邻，有5种颜色选择；④涂区域D,与B相邻，有4种颜色选择；⑤涂区域E,与C、D相邻