高中数学：1.4《函数的极值》教案（北师大版选修2-2）

高中数学：1.4《函数的极值》教案（北师大版选修2-2）科目Xx授课班级Xx年级授课教师Xx老师课时安排1授课题目Xx教学准备Xx教学内容分析：1.本节课的主要教学内容：函数的极值（北师大版选修2-2）。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容在学生已经掌握函数单调性的基础上进行，通过引入函数的极值概念，帮助学生理解函数在特定区间内的最大值和最小值，为后续学习导数和微分学打下基础。核心素养目标分析：本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过分析函数极值，学生能够抽象出数学概念，运用逻辑推理判断函数变化趋势，学会用数学语言描述实际问题，并提高在具体情境中进行数学运算的能力。学习者分析： 1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在此前已经学习了函数的单调性和导数的基本概念，具备了一定的函数分析和极限思维基础。他们能够理解函数单调性的定义和判断方法，以及导数的几何意义。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学有较高的兴趣，他们喜欢探索数学问题的本质，对数学思维和逻辑推理有较强的兴趣。在学习能力方面，学生的数学抽象和逻辑推理能力逐渐增强，但仍需在数学建模和数学运算方面提升。学习风格上，部分学生可能更倾向于通过图形直观理解数学概念，而另一部分学生则更倾向于通过公式和计算来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习函数极值时可能会遇到以下困难：一是对导数的理解不够深入，难以准确判断函数的增减性；二是缺乏对函数图像的直观感知，难以理解极值点的几何意义；三是数学建模能力不足，难以将实际问题转化为数学模型。此外，学生在解决具体问题时可能缺乏耐心和细心，导致计算错误。针对这些困难，教师需要引导学生逐步深入理解概念，通过实例分析提高学生的直观感知能力，并通过小组合作等方式提升学生的数学建模和问题解决能力。教学资源：-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、教学黑板或白板、教具（如函数图像卡纸模型）。

-课程平台：学校内部教学平台，用于发布教学资料和在线测试。

-信息化资源：函数极值相关的教学视频、在线互动软件、数学软件（如Mathematica、GeoGebra）。

-教学手段：PPT课件、教学案例、小组讨论、实际操作练习。教学过程：一、导入新课

（老师）同学们，今天我们要一起探讨一个新的数学概念——函数的极值。在过去的课程中，我们已经学习了函数的单调性和导数的基本概念，那么，今天我们就来深入探讨一下，函数在特定区间内的最大值和最小值是如何产生的。

（学生）好的，老师。

二、新课导入

1.引入概念

（老师）首先，我们来回顾一下函数的单调性。一个函数在某个区间内，如果它的值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在这个区间内是单调递增的；反之，如果它的值随着自变量的增大而减小，那么这个函数在这个区间内是单调递减的。

（学生）明白了，老师。

（老师）那么，现在我们来看一个函数，它在某个区间内是单调递增的，那么在这个区间内，函数的值有没有可能达到最大值呢？有没有可能达到最小值呢？

（学生）有可能，老师。

（老师）那么，我们如何找到这个最大值和最小值呢？这就需要我们引入一个新的概念——极值。

2.极值概念

（老师）极值是指函数在某个区间内的局部最大值或最小值。如果函数在某一点处的导数为0，那么这个点可能是极值点。我们称这个点为驻点。

（学生）老师，什么是驻点呢？

（老师）驻点是指函数在该点处的导数为0的点。简单来说，就是函数的斜率为0的点。

3.极值的判断

（老师）接下来，我们来看如何判断一个点是否是极值点。首先，我们需要计算函数的导数。如果导数在某一点处为0，那么这个点可能是极值点。但是，我们需要进一步判断这个点是不是极值点。

（学生）老师，如何判断呢？

（老师）我们可以使用导数的符号来判断。如果在驻点左侧的导数为正，右侧的导数为负，那么这个驻点是极大值点；如果在驻点左侧的导数为负，右侧的导数为正，那么这个驻点是极小值点。

4.极值的应用

（老师）那么，我们如何利用极值来解决实际问题呢？

（学生）老师，可以举例说明吗？

（老师）当然可以。比如，我们要设计一个圆柱形水箱，使其容积最大。我们可以通过求水箱的表面积和容积的导数，来找到使容积最大的圆柱形水箱的尺寸。

三、课堂练习

1.计算下列函数的导数，并找出可能的极值点。

（学生）f(x)=x^3-3x^2+4x

（老师）f'(x)=3x^2-6x+4。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。我们需要判断这两个点是不是极值点。

（学生）经过计算，我们发现在x=1时，f(x)取得极小值；在x=2/3时，f(x)取得极大值。

2.判断下列函数的极值点。

（学生）f(x)=x^2-4x+3

（老师）f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。我们需要判断这个点是不是极值点。

（学生）经过计算，我们发现在x=2时，f(x)取得极小值。

四、课堂总结

1.本节课我们学习了函数的极值概念，掌握了如何判断极值点的方法。

2.我们通过实例分析，了解了极值在实际问题中的应用。

3.在今后的学习中，我们要善于运用所学知识解决实际问题。

五、课后作业

1.求下列函数的极值。

（学生）f(x)=x^3-9x^2+24x-27

2.判断下列函数的极值点。

（学生）f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1教学资源拓展：一、拓展资源

1.函数极值与导数的关系：深入探讨导数与函数极值之间的关系，包括导数为0的点如何判断极值，以及导数不存在时如何寻找极值点。

2.极值在几何中的应用：研究极值在几何图形中的应用，如圆的面积、圆柱的体积等，通过实际例子展示极值在几何优化问题中的重要性。

3.极值在经济问题中的应用：分析极值在经济决策中的应用，如成本最小化、利润最大化等问题，引导学生将数学知识应用于实际生活。

4.极值在物理问题中的应用：探讨极值在物理现象中的应用，如物体的运动轨迹、势能等，帮助学生理解极值在自然科学中的意义。

二、拓展建议

1.阅读相关书籍：推荐学生阅读《数学分析基础》等书籍，深入了解函数极值的相关理论和方法。

2.参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛等，通过竞赛提升自己的数学能力和解题技巧。

3.实践项目研究：引导学生参与数学实践项目，如设计一个优化问题的解决方案，将所学知识应用于实际问题。

4.观看教学视频：推荐学生观看《数学之美》等教学视频，通过视频学习更深入地理解函数极值的概念和应用。

5.小组讨论与合作：组织学生进行小组讨论，共同探讨函数极值的相关问题，培养团队合作和交流能力。

6.制作教学课件：鼓励学生制作与函数极值相关的教学课件，通过制作过程加深对知识点的理解和掌握。

7.撰写数学论文：引导学生撰写关于函数极值的数学论文，锻炼学生的写作能力和独立思考能力。

8.参观数学展览：组织学生参观数学展览，如数学博物馆等，通过实地参观了解数学在各个领域的应用。

9.拓展数学软件应用：学习并应用Mathematica、MATLAB等数学软件，通过软件进行函数极值的计算和分析。

10.关注数学研究动态：关注国内外数学研究动态，了解函数极值领域的新进展和研究成果。内容逻辑关系：①本文重点知识点：

-函数极值的定义：函数在某个区间内的局部最大值或最小值。

-驻点的概念：导数为0的点。

-极值点的判断：通过导数的符号变化来判断极值点。

②本文重点词汇：

-极值：函数在特定区间内的最大值或最小值。

-驻点：导数为0的点。

-极大值：函数局部最大值。

-极小值：函数局部最小值。

③本文重点句子：

-“函数的极值是指函数在某个区间内的局部最大值或最小值。”

-“如果函数在某一点处的导数为0，那么这个点可能是极值点。”

-“如果在驻点左侧的导数为正，右侧的导数为负，那么这个驻点是极大值点。”

-“如果在驻点左侧的导数为负，右侧的导数为正，那么这个驻点是极小值点。”重点题型整理：1.题型一：求函数的极值点

-题目：已知函数f(x)=x^3-9x^2+24x-27，求其极值点。

-解答：首先求导数f'(x)=3x^2-18x+24，令f'(x)=0，解得x=1或x=4。检查f'(x)的符号变化，发现x=1时从正变负，为极大值点；x=4时从负变正，为极小值点。

2.题型二：判断极值类型

-题目：已知函数f(x)=x^2-4x+3，判断其极值类型。

-解答：求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。由于f'(x)在x=2处从负变正，因此x=2是极小值点。

3.题型三：求函数在区间内的极值

-题目：已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，在区间[0,3]内求极值。

-解答：求导数f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f'(x)=0，解得x=0,1,2。检查f'(x)的符号变化，发现x=0和x=2处为极值点。计算f(0)=1，f(1)=0，f(2)=-1，因此在区间[0,3]内，极大值为1，极小值为-1。

4.题型四：利用极值解决实际问题

-题目：一个长方体的长和宽分别为x和y，体积为V=8xy，求长方体的高h，使得表面积最小。

-解答：由体积公式得h=8/V*x*y。表面积S=2(xy+yh+xh)=2xy+16x/V*y+16y/V*x。对S求导数，令导数等于0，解得x=y。代入体积公式得h=1。此时，表面积S最小。

5.题型五：分析极值在几何中的应用

-题目：给定一个半径为R的圆，求圆内接正方形的最大面积。

-解答：设正方形的边长为a，则正方形的对角线等于圆的直径，即a√2=2R。解得a=R√2。正方形的面积为S=a^2=2R^2。因此，圆内接正方形的最大面积为2R^2。作业布置与反馈：作业布置：

1.完成课本课后习题中的第1-5题，这些题目涉及函数极值的求法和判断，有助于学生巩固对极值概念的理解。

2.分析以下实际问题，并求出最优解：一个工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=1000+2x+0.01x^2，其中x为生产的数量（单位：件）。求使得总成本最小的生产数量。

3.绘制函数f(x)=x^3-3x^2+2x+3的图像，并指出其极值点及对应的极值。

作业反馈：

1.对于课后习题，我将及时批改，重点关注学生对极值概念的理解和应用能力。对于错误，我会提供详细的解答和纠正，帮助学生分析错误原因。

2.对于实际问题的分析，我会评估学生是否能够正确建立数学模型，并使用极值的概念来解决实际问题。对于模型的建立和解题方法，我会给出评价和改进建议。

3.对于函数图像的绘制，我会检查学生是否能够准确地找到极值点，并判断极值的类型。对于图像绘制不准确的，我会提供正确的绘制方法，并解释为什么这种方法是正确的。反思改进措施：反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：结合实际案例，让学生在解决具体问题的过程中，深入理解函数极值的实际应用，提高学生的实际问题解决能力。

2.小组合作学习：通过小组讨论，培养学生的团队合作精神，同时也能让学生在交流中加深对知识的理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对抽象概念的接受度：部分学生对函数极值的抽象概念理解困难，需要更多直观的教学方法来辅助理解。

2.作业反馈不及时