2026年数字信号处理题库及答案

2026年数字信号处理题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知序列x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其DTFT为X(e^{jω})，则X(e^{j0})等于A.0  B.1  C.2  D.3答案：D2.对连续信号x_c(t)=cos(2π·3kHz·t)以f_s=8kHz采样，所得离散序列x[n]的周期为A.4  B.8  C.16  D.非周期答案：B3.某FIR滤波器h[n]长度为N，若其满足h[n]=h[N-1-n]，则该滤波器必为A.低通  B.高通  C.线性相位  D.最小相位答案：C4.8点基2DIT-FFT所需复乘次数为A.8  B.12  C.24  D.48答案：C5.双线性变换将s平面虚轴映射到z平面的A.单位圆  B.实轴  C.正虚轴  D.负虚轴答案：A6.对实序列x[n]做N点FFT得到X[k]，则其共轭对称分量为A.X[N-k]  B.X[N-k]  C.X[k]  D.X[-k]A.X[N-k]  B.X[N-k]  C.X[k]  D.X[-k]答案：B7.线性时不变系统稳定的充要条件是其系统函数H(z)的A.极点全在单位圆内  B.零点全在单位圆内  C.极点全在单位圆外  D.收敛域包含单位圆答案：D8.窗函数法设计FIR低通，窗长增加则A.过渡带变宽  B.阻带衰减减小  C.过渡带变窄  D.通带波纹增大答案：C9.信号x[n]=e^{j(π/4)n}的功率为A.0  B.1  C.2  D.∞答案：B10.对x[n]=u[n]-u[n-10]做10点DFT，则X[0]等于A.0  B.5  C.10  D.20答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于采样定理的描述正确的有A.带限信号最高频率为f_m，则f_s>2f_m可无失真恢复B.欠采样一定产生混叠C.过采样可提高信噪比D.抗混叠滤波器需在采样前使用答案：ACD12.关于z变换收敛域(ROC)正确的有A.右边序列ROC为|z|>r_max  B.双边序列ROC为环状  C.有限长序列ROC为全平面  D.ROC内不能有极点答案：ABD13.下列属于IIR滤波器设计方法的有A.窗函数法  B.双线性变换  C.脉冲响应不变法  D.频率采样法答案：BC14.对实序列x[n]做N点FFT，下列对称性质成立的有A.Re{X[k]}=Re{X[N-k]}  B.Im{X[k]}=-Im{X[N-k]}  C.|X[k]|=|X[N-k]|  D.∠X[k]=-∠X[N-k]答案：ABC15.下列运算属于线性运算的有A.时移  B.尺度变换  C.取模  D.累加答案：ABD三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=a^nu[n]，|a|<1，其DTFT为X(e^{jω})=________。答案：\frac{1}{1-ae^{-jω}}17.连续系统H_c(s)=\frac{1}{s+1}，用脉冲响应不变法(T=0.1s)得离散系统H(z)=________。答案：\frac{0.1}{1-e^{-0.1}z^{-1}}18.8点DIT-FFT第1级输入顺序为x[0],x[4],x[2],x[6],x[1],x[5],x[3],x[7]，该顺序称为________码位倒序。答案：二进制19.窗函数法设计FIR低通，窗长N=41，截止ω_c=0.4π，则过渡带宽度近似为________π。答案：0.220.信号x[n]=cos(0.5πn)的周期为________。答案：421.系统函数H(z)=\frac{1-z^{-1}}{1+0.5z^{-1}}的差分方程为y[n]=________。答案：x[n]-x[n-1]-0.5y[n-1]22.对x[n]做L倍内插，需在相邻样本间插入________个零。答案：L-123.双线性变换中频率预畸公式为ω_a=________·tan(ω_dT/2)。答案：2/T24.序列x[n]=δ[n]+δ[n-2]的4点DFT为X[k]=________。答案：1+e^{-jπk}25.线性相位FIR滤波器群延迟为________个采样周期。答案：(N-1)/2四、简答题（每题6分，共18分）26.简述脉冲响应不变法与双线性变换法在频率响应上的主要差异。答案：脉冲响应不变法通过时域采样，频率轴线性映射，存在混叠，仅适合带限低通；双线性变换法采用代数映射，频率轴非线性压缩，无混叠但引入频率畸变，需预畸校正，适用于所有滤波器类型。27.给出窗函数法设计FIR低通滤波器的步骤。答案：(1)根据指标确定理想低通h_d[n]=\frac{sin(ω_c(n-M))}{π(n-M)}，M=(N-1)/2；(2)选择窗函数w[n]，权衡主瓣宽与旁瓣衰；(3)得h[n]=h_d[n]w[n]；(4)验算指标，若不符则调整N或换窗；(5)对h[n]做FFT得频响，满足容差即完成。28.解释FFT为何能将DFT运算量从O(N^2)降至O(Nlog_2N)。答案：DFT矩阵稠密，需N^2次复乘；FFT利用旋转因子W_N^{nk}周期性与对称性，将长序列分解为短序列DFT，采用蝶形递归结构，每级N/2次复乘，共log_2N级，总运算量\frac{N}{2}log_2N，实现指数级降低。五、计算题（共27分）29.（8分）已知x[n]=\{1,2,3,4\}，h[n]=\{1,1\}，求线性卷积y[n]=x[n]h[n]。29.（8分）已知x[n]=\{1,2,3,4\}，h[n]=\{1,1\}，求线性卷积y[n]=x[n]h[n]。答案：y[n]=\{1,3,5,7,4\}30.（9分）系统函数H(z)=\frac{1+2z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}，|z|>0.8，求单位脉冲响应h[n]。答案：h[n]=δ[n]+2.8·(0.8)^nu[n]31.（10分）用窗函数法设计N=21的FIR高通，截止ω_c=0.3π，采用汉宁窗，写出h[n]表达式并绘出幅频草图要点。答案：理想高通h_d[n]=δ[n]-\frac{sin(0.3π(n-10))}{π(n-10)}，n≠10；h_d[10]=1-0.3=0.7；汉宁窗w[n]=0.5-0.5cos(πn/10)；h[n]=h_d[n]w[n]，n=0…20；幅频在ω=0处衰减>40dB，过渡带≈0.2π，通带从0.3π到π。六、综合应用题（共20分）32.（20分）某音频系统需设计一阶数字低通滤波器，要求3dB截止频率f_c=1kHz，采样率f_s=16kHz。(1)用双线性变换法设计H(z)；(2)给出差分方程；(3)画出直接Ⅰ型结构图；(4)计算输入x[n]=cos(2π·500·n/16000)的稳态输出幅度。答案：(1)模拟原型H_a(s)=\frac{Ω_c}{s+Ω_c}，Ω_c=2π·1000；预畸Ω_a=\frac{2}{T}tan(πf_c/f_s)=32000·tan(π/16)=32000·0.1989≈6364.6rad/s；得H(z)=\frac{6364.6T(1+z^{-1})}{2(1-z^{-1})+6364.6T(1+z^{-1})}，T=1/16000；化简H(z)=\frac{0.1989(1+z^{-1})}{1-0.6022z^{-1}}。(2)差分方程：y[n]=0.1989x[n]+0.1989x[n-1]+0.6022y[n-1]。(3)结构图：两个支路，前向0.1989x[n]+0.1989x[n-1]，反馈0.6022y[n-1]，求和后输出y[n]。(4)数字频率ω=2π·500/16000=π/16；|H(e^{jπ/16})|=\frac{0.1989·2cos(π/32)}{|1-0.6022e^{-jπ/16}|}≈0.707，即-3dB，与模拟截止一致，故稳态输出幅度0.707。七、证明题（共10分）33.（10分）证明：实序列x[n]的N点DFT满足X[k]=X[N-k]。33.（10分）证明：实序列x[n]的N点DFT满足X[k]=X[N-k]。答案：X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{nk}；X[N-k]=\left(\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{n(N-k)}\right)^=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{-nk}=X[k]；X[N-k]=\left(\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{n(N-k)}\right)^=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{-nk}=X[k]；因x[n]实，W_N^{nN}=1，故得证。八、编程设计题（共20分）34.（20分）用Python写出基于重叠保留法的长序列卷积函数，要求：输入：x长序列，h为FIR系数，N=64；输出：y与线性卷积一致；给出核心代码并注释关键步骤。答案：```pythonimportnumpyasnpdefoverlap_save(x,h,N=64):M=len(h)L=NM+1h_fft=np.fft.fft(h,N)y=np.zeros(len(x)+M1)x_padded=np.concatenate([np.zeros(M-1),x,np.zeros(N-1)])foriinrange(0,len(x),L):x_block=x_padded[i:i+N]X=np.fft.fft(x_block,N)Y=Xh_fftY=Xh_ffty_block=np.fft.ifft(Y,N)y[i:i+L]=y_block[M-1:N].realreturny```关键步骤：(1)每段长度N，有效输出L=N-M+1；(2)输入段前补M-1个旧样点；(3)圆周卷积后丢弃前M-1点混叠；(4)拼接得长卷积结果。九、开放设计题（共20分）35.（20分）设计一个256点FFT-based频谱分析仪，要求：(1)输入采样率48kHz，频率分辨率≤200Hz；(2)采用汉明窗，动态范围≥60dB；(3)给出窗长选择、FFT点