北师大版七年级下册数学4.4利用三角形全等测距离课件

第四章

三角形4.4利用三角形全等测距离学

习

目

标1.能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系；(重点)

2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考与表达.(难点)

全等三角形的对应边

、对应角

.1.全等三角形的性质：知识回顾2.几何语言：如图所示，因为△ABC≌△DEF，所以AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.相等相等情境引入你知道这位战士是怎么做的吗？能不能用本章所学习的知识来解决呢？

一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功.新知探究

探究：利用三角形全等测距离

如图，这个战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.步测距离碉堡距离新知探究（1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.

具体操作时，可以用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标.最后用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性.

确定第二个目标时，可以重复2~3次后求平均数，以避免出现较大的误差.新知探究（2）你能解释其中的道理吗？

人面向两个不同方向，人的身体分别与视线、地平线构成的两个三角形全等（ASA），再根据全等三角形的对应边相等，量出自己与那个点的距离就是他与碉堡间的距离.你能将这个问题转化为数学问题吗？新知探究

在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E=90°，∠A=∠D。则有BC=EF，为什么？如图所示，将实际问题转换成数学问题为：ABCDEF∴BC=DC（）理由：在△ACB与△ACD中，∠A=∠DAB=DE（公共边）∠B=∠E∴△ACB≌△ACD（ASA）全等三角形的对应边相等

∵新知探究利用三角形全等测距离的原理:知识归纳

由于两个全等三角形的对应边相等，因此利用全等三角形可以解决不能直接到达或不能直接测量的两点之间的距离问题。

解题关键是构造两个全等三角形，根据全等三角形的对应边相等得到两点间的距离。新知探究1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB

的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SSSB.ASAC.AASD.SASBA●●DCEFB新知探究你能说明其中的道理吗?

如图所示，A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离.新知探究你能说出小丽每一步的理由吗？小丽的思考过程如下。解:在△ABC和△DEC中,因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,所以△ABC≌△DEC,所以AB=DE.解:在△ABC和△DEC中,因为AC=DC(已知),∠ACB=∠DCE

(对顶角相等),BC=EC(已知),所以△ABC≌△DEC(SAS),所以AB=DE(全等三角形对应边相等).新知探究利用三角形全等测距离的方法:知识归纳(1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形;(2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形.新知探究2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离()A.大于100mB.等于100mC.小于100mD.无法确定B

如图所示,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在

AB，BC,CD三段路旁各有一个小石凳,分别用E,M,F表示,M恰为BC的中点,且E,F,M在同一条直线上.因为在BE道路上停放着一排小汽车,所以无法直接测量B,E之间的距离,你能想出解决的方法?试说明理由。例1AEBCFDM典例分析解:能,可转化为测量

C,F之间的距离,此距离等于B,E之间的距离。理由如下:如图所示,连接EF.因为E,M,F在同一条直线上,所以M在EF上.因为

AB//CD,所以∠B=∠C。因为M是

BC的中点,所以BM=CM.在△EMB和△FMC中,因为∠B=∠C,BM=CM，∠EMB=∠FMC,所以△EMB≌△FMC(ASA),所以EB=FC.典例分析

如图所示,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,先在地面上取一点C,使∠ACB=90°,然后延长BC至点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离,请说明其中的道理.例2解:因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠ACD=90°.在△ACD和△ACB中,因为AC=AC,∠ACD=∠ACB,CD=CB,所以△ACD≌△ACB(SAS),所以AD=AB,所以测量出AD的长度就能得到A,B两点之间的距离.巩固练习1.如图所示，用螺丝钉将两根小棒

AD，BC的中点固定，利用全等三角形的知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长.其中，判定△AOB和△DOC全等的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.如图所示，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A,B之间的距离(

)A.直接测量BM的长 B.测量BC的长C.测量∠A的度数

D.作∠BCN=40°,且CN交射线BM于点N,测量BN的长DB3.如图所示,亮亮想测量某湖A,B两点之间的距离,他选取了可以直接到达点A,B的一点C,连接CA,CB,并作BD∥AC,截取BD=AC,连接CD.他说,根据三角形全等的判定定理,可得△ABC≌△DCB,所以AB=CD.他用到的三角形全等的判定定理是()A.SAS

B.AAS

C.SSS

D.ASA巩固练习A巩固练习4.如图①所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,点C是AE的中点,也是BD的中点,图②表示的是小明从

D点走到区点的路程与时间的关系,已知小明从D点到E点走了3min,则

AB=

m.4505.几何学起源于土地测量,据史料记载,古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法,具体操作步骤如下:①如图所示,人垂直站立在河岸边上,视线与河岸边保持垂直;②调整帽子,使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上;③人保持姿势,转过一个角度,这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上;④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度.请用你学过的数学知识解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理:

.巩固练习两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等6.如图所示，要测量河两岸相对的两身方点A，B间的距离，因无法直接量出A，B两点间的距离，请你设计一种方案，求出A，B两点间的距离，并说明理由。巩固练习解:在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=CB,作BF的垂线DE,使点A,C,E在一条直线上,这时测得的ED的长就是A,B间的距离。作出的图形如图所示.理由:因为AB⊥BF，ED⊥BF，所以∠ABC=∠EDC=90°。又因为

CB=CD，∠ACB=∠ECD,所以△ACB≌△ECD(ASA)，所以

AB=ED.巩固练习7.如图所示,一条输电线路需跨越一个池塘池塘两侧A，B处各立有一根电线杆,但利用现有皮尺无法直接量出A，B间的距离请你设计一个方案,测出A，B间的距离,并说明理由。解:(答案不唯一)如图所示,先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C,连接AC并延长到点D,使

CD=CA,连接

BC并延长到点

E,使

CE=CB,连接

DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离。理由:在△ABC和△DEC中,AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,所以△ABC≌△DEC(SAS),所以

AB=DE.巩固练习8.小明利用一根长3m的竿子来测量路灯AB的高度.他的方法如下:如图所示,在路灯前选一点P,使BP=3m,并测得∠APB=70°,然后把竖直的竿子CD(CD=3m)在BP的延长线上左右移动,使∠CPD=20°,此时测得BD=11.2m.请根据这些数据,计算出路灯AB的高度.解：因为∠CPD=20°,∠APB=70°,∠CDP=∠ABP=90°,所以∠DCP=∠BPA=70°.在△CPD和△PAB中,因为∠CDP=∠PBA，

CD=PB，

∠DCP=∠BPA，所以△CPD≌△PAB(ASA).所以DP=BA.因为BD=11.2m,BP=3m,所以DP=BD-BP=8