2026年20届华罗庚试题及答案

2026年20届华罗庚试题及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.设复数z满足|z－3i|＝|z＋4|，则z在复平面上的轨迹是A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线2.若整数n≥2，且n²＋n＋1为素数，则nmod3等于A.0B.1C.2D.无法确定3.设函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[0,2]上的最大值与最小值之和为A.0B.1C.2D.34.在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝100°，点D在BC上且BD＝AB，则∠ADC等于A.30°B.35°C.40°D.45°5.设a,b,c为正实数且a＋b＋c＝1，则表达式(a＋1/a)(b＋1/b)(c＋1/c)的最小值所在区间是A.[1,10)B.[10,20)C.[20,30)D.[30,＋∞)6.若数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝aₙ＋1/(a₁＋a₂＋…＋aₙ)，则a₂₀₂₆的整数部分为A.44B.45C.46D.477.设集合S＝{1,2,…,10}，从中任取两个不同元素a,b，则ab＋1为完全平方数的概率为A.1/15B.2/45C.1/30D.4/458.已知正整数x,y满足x²＋y²＋1＝3xy，则x＋y的最小值为A.5B.7C.8D.109.设P为椭圆x²/25＋y²/9＝1上一点，F₁,F₂为焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为A.25B.34C.41D.5010.若实数x,y满足x²＋y²－4x－2y＋4＝0，则x＋y的最大值为A.3＋√5B.4＋√5C.5＋√5D.6＋√5二、填空题，(总共10题，每题2分)。11.设p为素数，且p²＋2亦素数，则p＝________。12.若x,y为正实数且x＋y＝1，则(x＋1/x)²＋(y＋1/y)²的最小值为________。13.设a,b,c为整数，且a²＋b²＋c²＝2026，则a＋b＋c的最大可能值为________。14.在正三角形ABC外侧作正方形ABDE，ACFG，则向量BE与向量CG的夹角为________度。15.若n为正整数，且2ⁿ＋n²为完全立方数，则n的最小值为________。16.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2026|，则f(x)取最小值时x的取值范围为________。17.若x,y,z为正实数且xyz＝1，则(x＋1/y)(y＋1/z)(z＋1/x)的最小值为________。18.设数列{aₙ}满足a₁＝1，a₂＝2，aₙ₊₂＝aₙ₊₁＋aₙ＋n，则a₁₀的值为________。19.若复数z满足|z|＝1且z≠1，则表达式(z²－z＋1)/(z－1)的模为________。20.设集合A＝{1,2,…,20}，从中任取三元子集B，则B中元素之和为偶数的个数为________。三、判断题，(总共10题，每题2分)。21.若整数n≥2，则n⁴＋4必为合数。22.对任意实数x，函数f(x)＝x³＋x＋1必有实根。23.若a,b,c为正实数且a²＋b²＋c²＝3，则abc≤1。24.存在正整数n使得n²＋n＋41不是素数。25.若复数z满足|z－i|＝|z＋i|，则z的实部为0。26.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC＝3:4:5，则该三角形为直角三角形。27.设p为素数，则(p－1)!≡－1(modp)。28.若x,y为正实数且x＋y＝1，则√x＋√y≤√2。29.对任意正整数n，2ⁿ⁻¹整除n!。30.若a,b,c为整数且a²＋b²＝c²，则abc必为偶数。四、简答题，(总共4题，每题5分)。31.证明：对任意正整数n，表达式n³＋5n必能被6整除。32.设a,b,c为正实数且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ca≤1/3。33.已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝aₙ＋1/(n＋1)²，求极限limₙ→∞aₙ。34.在△ABC中，已知AB＝c，AC＝b，∠A＝60°，点D在BC上且BD:DC＝1:2，试用向量法求AD长度。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。35.讨论：当正整数n趋于无穷时，数列aₙ＝∑_{k＝1}^{n}1/(n＋k)的极限行为，并给出误差估计。36.讨论：在椭圆x²/a²＋y²/b²＝1(a>b>0)上，点P使|PF₁|·|PF₂|取得最大值时的几何位置，并说明其物理意义。37.讨论：若整数n>1且n整除2ⁿ＋1，则n必为奇数且无平方因子，试给出证明思路并举例验证。38.讨论：对正实数x,y,z满足x＋y＋z＝1，探究表达式(x＋1/x)(y＋1/y)(z＋1/z)的最小值存在性与可达性。答案与解析一、单项选择题1.A2.B3.D4.C5.C6.B7.D8.B9.B10.A二、填空题11.312.12.513.7814.6015.616.[1013,1014]17.818.8319.120.570三、判断题21.√22.√23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.×30.√四、简答题31.n³＋5n＝n(n²＋5)。若n偶，则2|n；若n奇，则n²≡1(mod3)，故n²＋5≡0(mod3)，从而3|n²＋5。综上6整除原式。32.由对称性设a≤b≤c，则ab＋bc＋ca≤a(b＋c)＋bc≤(a＋b＋c)²/3＝1/3，当a＝b＝c＝1/3取等。33.级数∑1/(n＋1)²收敛，且∑_{k＝1}^{∞}1/k²＝π²/6，故极限为π²/6－1。34.设向量AB＝c，AC＝b，则AD＝(2c＋b)/3，|AD|²＝(4c²＋b²＋4c·b)/9＝(4c²＋b²＋2bc)/9，开方即得。五、讨论题35.该和为调和积分近似，极限为ln2。误差可用积分余项估计：|aₙ－ln2|<1/(2n)。36.最大值在短轴端点取得，此时P位于(0