正方形课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章四边形21.3.3正方形请同学们翻到《主书》P57第二十一章四边形正方形的性质请同学们翻到《主书》P5701课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

探究

正方形的性质问题1：做一做：如图，用一张长方形的纸片折出一个正方形．那

么什么样的四边形是正方形？有一组

相等，并且有一个角是

⁠的平行四边形是

正方形．邻边直角问题2：正方形既是矩形，又是菱形，它既具有矩形的性质，又具

有菱形的性质．它的性质是：(1)边的性质：对边平行，四条边都

⁠；(2)角的性质：四个角都是

⁠；(3)对角线的性质：两条对角线

⁠，并且每

一条对角线

⁠；(4)对称性：是轴对称图形，有

⁠条对称轴．相等直角相等且互相垂直平分平分一组对角4问题3：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有怎样的包含关

系？(可尝试画图描述)解：如图所示．

(1)正方形是特殊的菱形，也是特殊的矩形，具有菱形、矩形

以及平行四边形的一切性质，但是具有矩形和菱形的某些性质的四边形

不一定是正方形．(2)特别地，正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三

角形．

正方形的定义与性质

例1

如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O.

(1)若边长为2，则对角线长为

，周长为

⁠，面积

为

⁠；

84(2)图中有

个90°角，有

个45°角．881．

如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O.

(1)若周长为4，则对角线长为

，面积为

⁠；(2)图中共有

个等腰直角三角形，正方形有

⁠条对称轴．

184例2

如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，连接AE，

CE，延长CE交AB于点F.

(1)求证：AE＝CE；

(2)若∠AEC＝140°，求CFB的度数．

2．

如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于

点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，求四边形

EBFO的面积．

1．

若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为(

C

)A．

4B．

3C．

2D．

1C2．

正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

D

)A．

四个角都是直角B．

对角线相等C．

对角线互相平分D．

对角线互相垂直D

A．

B．

C．

D．

2

C4．

如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，

则∠BED的度数为

⁠．45°5．

(模型思想)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，

CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O.

试判断AE与BF之间的数

量关系和位置关系，并说明理由．

∴△ABE≌△BCF(SAS)．∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.

∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.

第二十一章四边形正方形的判定01课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

探究

正方形的判定问题：正方形既是矩形，又是菱形，容易知道，正方形的判定可综

合矩形和菱形的判定方法．因此，(1)从矩形出发：①

的矩形是正方形；②

⁠

⁠的矩形是正方形．(2)从菱形出发：①

的菱形是正方形；②

⁠

⁠的菱形是正方形．有一组邻边相等对角线互相垂直

有一个角是直角对角线相等

(3)从平行四边形出发：①有一组

相等，有一个角为

⁠的平行四边形是正方形；②对角线互相

⁠的平行四边形是正方形．邻边直角

垂直且相等

判定正方形的方法：(1)若要判定菱形ABCD是正方形，则需要添加的条件是AC

⁠

BD或者∠ABC＝

°；(2)若要判定矩形ABCD是正方形，则需要添加的条件是AC

⁠

BD或者AB

BC；＝90⊥＝(3)若要判定▱ABCD是正方形，可先判定其是菱形或矩形．

正方形的判定

例1(人教八下P76练习T1改编)如图，在矩形ABCD中，点E在边

AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对应点F落在边

CD上．求证：四边形ADFE是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°.由折叠的性质，得∠DFE＝∠A＝90°.∴四边形ADFE是矩形．由折叠的性质，得AE＝EF.

∴四边形ADFE是正方形．1．

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD上的点，

AE⊥BF，且AE＝BF.

求证：矩形ABCD是正方形．

例2

如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且

AE＝BF＝CG＝DH.

求证：四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又AE＝BF＝CG＝DH，∴EB＝FC＝GD＝HA.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)．∴HE＝EF＝FG＝GH.

∴四边形EFGH是菱形．∵△AEH≌△BFE，∴∠AHE＝∠BEF.

又∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∴∠HEF＝180°－(∠AEH＋∠BEF)＝90°.∴四边形EFGH是正方形．2．

如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直

平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE，连接CE，BF.

求证：四边形BECF是正方形．证明：∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF.

又CF＝BE，∴BE＝CE＝CF＝BF.

∴四边形BECF是菱形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°.∴∠EBF＝2∠EBC＝90°.∴四边形BECF是正方形．

1．

如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝

90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是(

D

)A．

AC＝BDB．

AB⊥BCC．

AD＝BCD．

AC⊥BDD2．

如图，▱ABCD的对角线互相垂直，要使▱ABCD成为正方形，

还需添加的一个条件是

．(写一个即可)∠ABC＝90°(答案不唯一)3．

(2025乐山)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.

小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可

供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合

是

．(只需填一种组合即可)①②(或①③)4．

如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的