微分易错专项突破测试卷

微分易错专项突破测试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三/理科

微分易错专项突破测试卷

一、选择题

1.函数f(x)在点x0处可导是f(x)在x0处连续的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(-1,3)上的极值点是

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=3

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

A.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

B.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f(ξ)=f(b)-f(a)

D.f'(ξ)=f(b)-f(a)

4.函数f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的单调性是

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

5.若y=sin(x)+cos(x)，则y'等于

A.cos(x)-sin(x)

B.sin(x)-cos(x)

C.cos(x)+sin(x)

D.-sin(x)-cos(x)

6.函数f(x)=x^2ln(x)在x=1处的导数是

A.0

B.1

C.2

D.3

7.若曲线y=x^3-3x^2+2在点(2,0)处的切线斜率是

A.-4

B.-2

C.0

D.4

8.函数f(x)=xln(x)在x=1处的二阶导数是

A.0

B.1

C.-1

D.2

9.若函数f(x)在x=0处有f(0)=1且f'(0)=1，则当x接近0时，f(x)可以近似表示为

A.1

B.1+x

C.1-x

D.x

10.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的最大值是

A.1

B.2

C.3

D.4

11.若函数f(x)满足f'(x)=0且f''(x)>0，则f(x)在x处

A.取得极大值

B.取得极小值

C.函数图形凹向下

D.函数图形凹向上

12.函数f(x)=x^2-4x+4在区间(-∞,+∞)上的最小值是

A.-4

B.0

C.4

D.8

13.若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

A.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f'(ξ)=f(b)-f(a)

D.f(ξ)=f(b)-f(a)

14.函数f(x)=x^3-3x在(-2,2)内的拐点是

A.(-1,-2)

B.(1,2)

C.(0,0)

D.(-1,2)

15.若函数f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，则f(x)在x=1处

A.必定有拐点

B.可能没有拐点

C.必定没有拐点

D.无法判断

二、填空题

1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的导数是

2.若函数f(x)满足f'(x)=3x^2-6x+2，则f(x)的一个原函数是

3.函数f(x)=e^x+x在x=0处的二阶导数是

4.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程是

5.若函数f(x)在x=0处有f(0)=1且f'(0)=1，则当x接近0时，f(x)的麦克劳林展开的前三项是

6.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的二阶导数是

7.函数f(x)=xln(x)在x=1处的三阶导数是

8.若函数f(x)在区间[1,4]上连续，在(1,4)内可导，且f(1)=2，f(4)=6，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(1,4)，使得f'(ξ)等于

9.函数f(x)=x^2-4x+4在x=2处的三阶导数是

10.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的导数是

三、多选题

1.下列函数中，在x=0处可导的有

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(-1,3)上的极值点有

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=3

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得下列等式成立的有

A.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

B.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f(ξ)=f(b)-f(a)

D.f'(ξ)=f(b)-f(a)

4.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的极值点有

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=3

5.下列函数中，在x=0处取得极小值的有

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

6.函数f(x)=x^3-3x在(-2,2)内的拐点有

A.(-1,-2)

B.(1,2)

C.(0,0)

D.(-1,2)

7.若函数f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，则下列说法正确的有

A.f(x)在x=1处必定有拐点

B.f(x)在x=1处可能没有拐点

C.f(x)在x=1处必定没有拐点

D.无法判断

8.函数f(x)=e^x+x在x=0处的导数和二阶导数分别是

A.f'(0)=1

B.f'(0)=2

C.f''(0)=1

D.f''(0)=2

9.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程可能的形式有

A.y=x-1

B.y=-x+1

C.y=2x-2

D.y=-2x+2

10.下列说法正确的有

A.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续

B.若函数f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处可导

C.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)=0，则f(x)在x=0处必有拐点

D.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)=0，则f(x)在x=0处可能没有拐点

四、判断题

1.函数f(x)在点x0处可导必定在x0处连续

2.函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必定在(a,b)内取得最大值和最小值

3.若函数f(x)在x=0处取得极值，且f'(0)=0，则f(x)在x=0处必有拐点

4.函数f(x)=x^3-3x在(-2,2)内的拐点是(0,0)

5.若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

6.函数f(x)=x^2-4x+4在区间(-∞,+∞)上单调递增

7.函数f(x)=xln(x)在x=1处的导数是1

8.若函数f(x)在x=0处有f(0)=1且f'(0)=1，则当x接近0时，f(x)可以近似表示为1+x

9.函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处取得极大值

10.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的导数是√2/2

五、问答题

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值

2.已知函数f(x)满足f'(x)=2x-4，且f(0)=1，求函数f(x)的解析式

3.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)的极值点，并判断是极大值点还是极小值点

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C解析：函数在某点可导必定在该点连续，但连续不一定可导，例如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导，故可导是连续的充分不必要条件。

2.B解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1/3)，在区间(-1,3)内只有x=1属于该区间，且f'(x)在x=1左侧为正，右侧为负，故x=1为极大值点。

3.B解析：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，故选B。

4.A解析：f'(x)=e^x-1，当x<0时f'(x)<0，函数单调递减；当x>0时f'(x)>0，函数单调递增，故函数在(-∞,+∞)上单调递增。

5.C解析：y'=cos(x)-sin(x)，故选C。

6.B解析：y'=2xln(x)+x^2/x=2xln(x)+x，在x=1处y'=2*1*ln(1)+1=1。

7.D解析：y'=3x^2-6x，在x=2处y'=3*2^2-6*2=12-12=0，y''=6x-6，在x=2处y''=6*2-6=12-6=6，故切线斜率为6。

8.A解析：y'=lnx+1，在x=1处y'=ln1+1=0+1=1，y''=1/x，在x=1处y''=1/1=1，y'''=-1/x^2，在x=1处y'''=-1/1^2=-1，故y''''=2/x^3，在x=1处y''''=2/1^3=2，所以二阶导数为0。

9.B解析：f(x)≈f(0)+f'(0)x=1+1*x=1+x。

10.C解析：f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0得x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3，f(0)=1，f(1)=5，f(3)=1，f(4)=5，故最大值为3。

11.D解析：f'(x)=0表示函数在该点处水平切线，f''(x)>0表示函数图形凹向上，故选D。

12.C解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，f(2)=0，故最小值为0。

13.A解析：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，故选A。

14.C解析：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0，f(0)=0，故拐点为(0,0)。

15.B解析：f'(x)=0表示函数在该点处水平切线，但水平切线不一定取得极值，例如f(x)=x^3在x=0处有水平切线但无极值，故可能没有拐点。

二、填空题答案及解析

1.0解析：f'(x)=3x^2-6x，在x=2处f'(2)=3*2^2-6*2=12-12=0。

2.x^3/3-3x^2/2+2x+C解析：f'(x)=3x^2-6x+2，原函数为x^3-3x^2/2+2x+C。

3.2解析：f'(x)=e^x+1，f''(x)=e^x，在x=0处f''(0)=e^0=1。

4.y=-2x+2解析：f'(x)=3x^2-6x，在x=1处f'(1)=-3，f(1)=0，切线方程为y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3，化简得y=-2x+2。

5.1+x-x^2/2解析：f(x)的麦克劳林展开为f(x)≈f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+...，f(0)=1，f'(0)=1，f''(0)=-1，故前三项为1+x-x^2/2。

6.0解析：f'(x)=3x^2-12x+9，f''(x)=6x-12，在x=3处f''(3)=6*3-12=18-12=0。

7.2解析：f'(x)=lnx+1，f''(x)=1/x，f'''(x)=-1/x^2，在x=1处f'''(1)=-1/1^2=-1，f''''(x)=2/x^3，在x=1处f''''(1)=2/1^3=2，所以三阶导数为0。

8.4解析：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1,4)使得f'(ξ)=(f(4)-f(1))/(4-1)=(6-2)/3=4/3。

9.0解析：f'(x)=2x-4，f''(x)=2，在x=2处f''(2)=2，f'''(x)=0，故三阶导数为0。

10.√2解析：y'=cos(x)-sin(x)，在x=π/4处y'=cos(π/4)-sin(π/4)=√2/2-√2/2=√2。

三、多选题答案及解析

1.ACD解析：f(x)=x^2在x=0处可导，f(x)=x^3在x=0处可导，f(x)=e^x在x=0处可导，f(x)=|x|在x=0处不可导。

2.BC解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，f(-1)=5，f(3)=2，故极值点为x=1和x=2。

3.BD解析：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，故B和D正确。

4.ABD解析：f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0得x=1或x=3，f(0)=1，f(1)=5，f(3)=1，f(4)=5，故极值点为x=1和x=3。

5.AC解析：f(x)=x^2在x=0处取得极小值，f(x)=x^4在x=0处取得极小值，f(x)=x^3在x=0处无极值，f(x)=x^5在x=0处无极值。

6.AC解析：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0，f(0)=0，故拐点为(0,0)。

7.BD解析：f'(x)=0表示函数在该点处水平切线，但水平切线不一定取得极值，故可能没有拐点。

8.AC解析：f'(x)=e^x+1，在x=0处f'(0)=e^0+1=2，f''(x)=e^x，在x=0处f''(0)=e^0=1。

9.ABCD解析：f'(x)=3x^2-6x，在x=1处f'(1)=-3，故切线方程为y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3，化简得y=-2x+2，故ABCD均可能。

10.AD解析：函数在某点可导必定在该点连续，故A正确；函数在某点连续不一定可导，故B错误；函数在某点取得极值且水平切线，不一定有拐点，故C错误；函数在某点取得极值且水平切线，可能没有拐点，故D正确。

四、判断题答案及解析

1.√解析：函数在某点可导必定在该点连续。

2.√解析：根据极值定理，连续函数在闭区间上必定取得最大值和最小值。

3.×解析：函数在某点取得极值且水平切线，不一定有拐点，例如f(x)=x^4在x=0处取得极小值且有水平切线但没有拐点。

4.√解析：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0，f(0)=0，故拐点为(0,0)。

5.√解析：根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

6.×解析：f'(x)=2x