2023年河南省商丘市中考数学四模试卷（附答案详解）

2023年河南省商丘市中考数学四模试卷

1.一2的相反数是（）

A.2B.-2C.；D.-g

2.下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

3.下列各式中运算不正确的是（）

A.2ab+3ab=5abB.2ab-3ab=-abC.2ab-3ab=6ab

D.2ab+3ab=1

4.如图，在△ABC中，点。，石分别在人8,AC边上，DE//BC,若人。：

08=3：I,则AE：AC=()

A.3：1

B.3：4

C.3：5

D.2：3

5.己知关于x的一元二次方程/+bx+1=0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b

的值可以是（）

A.b=-1B.b=-2C.b=-3D.b=0

6.某次数学测试中，该校八年级1200名学生成绩均在70分以上，具体成绩统计如表：

分数X70<r<7980<x<8990<x<100

人数400600200

平均分78.18591.9

请根据表格中的信息，计算这120（）名学生的平均分为，：）

A.92.16B.85.23C.84.73D.83.85

7.某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变.在使杠杆平衡的情况下，小

康通过改变动力臂L测量出相应的动力〃数据如表.请根据表中数据规律探求，当动力臂

L长度为2.0机时，所需动力最接近()

动力臂”771)动力F(N)

0.5600

1.0302

1.5200

2.0a

2.5120

A.302/VB.300NC.150ND.12O7V

8.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人

步；三人共车，二车空.问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若

每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有％辆车，y个人，根据题意，列

方程组是()

(y=2x+9(y=2x+90[y=2x-9

AG=3%-2[y=3(x-2)(y=3x-2

9.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=6,按以下要求

作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交A8,

AC于Q,E两点；②分别以点。、E为圆心，以大于的

长为半径作孤，两弧交于点F,③作射线AF,交8。于点M；

④分别以A、4为圆心，以大于3AB的长为半径作弧，两弧

分别交于G,H两点；⑤f乍直线GH,交A8于点N,连接MN.

则MN的长为()

A.2B.3C.4D.6

10.如图，点。为:圆。上一个动点，连接AC,BC,若OA=

则阴影部分面积的最小值为（）

A3

42

D7T<31

D•—―-----——

444

「7TV2

*4--

D1

-f4

11.计算：V-9-2_1=

12.如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一

个顶点重合，两个直角三角形的斜边则4C/1D的度

数是______.

13.一个不透明的袋子中装有写着2,3,4,6的四个小球，小球除标号外其余均相同，将

小球摇匀后随机摸出一个记下标号后放回，再次摇匀后再随机摸出一个记下标号，贝］第二次

摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为.

14.如图，直线y=—刀+3与y轴交F点A,与反比例函

数y=+（k手0）的图象交于•点C,过点。作C813轴于点B,

4。=380,则攵的值为.

15.如图，点尸为矩形A8CO对角线AC上异于A、C的一个

动点，过点?作PE14D于点E,点尸为点A关于PE的对称

点，连接。3FC,若4B=6,BC=8,当△CP5为直角三角

形时，AE的长为.

16.⑴解不等式组：^2x<4'

2

（2）化简:X+2X+1

x2-lx-Y

17.开学后，为检验寒假学生学习成果，数学王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试,

并分别从两个班各随机抽取了20名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和

分析，下面给出了部分信息.

(1)收集数据：两个班各抽取的20名学生的成绩如表:

98989292929292898988

一班

88848383797978786958

999696969696969492X9

一班

88858078727271655855

(2)整理、描述数据：根据卜面得到的两组样本数据.绘制了频数分布百方图：请补全二班的

频数分布直方图.

(3)分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示:

平均数众数中位数方差

一班85.1a8889.85

二班85.196b184.01

填空：a=:b=

(4)得出结论

根据以上信息，判断班寒假中数学知识掌握的较好，理由如下：.(至少从两个

不同的角度说明判断的合理性).

18.太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯.如图，某种型号太阳能路灯的

支架C。与灯柱的夹角4BCD=60。，支架CD=3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用

测角仪测得路灯D的仰角为48。，口知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度

.(结果精确到0.1米，参考数据:AT3»1.73,sin48°«0.74,cos48°«0.67,tan48°«1.11)

19.如图.以48为直径的。。中，AC为弦，点。为00上一点，过点A的切线交CP延长

线于点。，PC交AB于点、Q,连接AP,^PAB=APQA.

(1)求证：PA=PD；

(2)若24=3,AC=5,求OA的长.

20.某店商计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共30台，两种型号的平板电脑每台进

价和销售价格如表所示:

型号甲乙

每台进价/元16002500

每台售价/元20003000

设采购甲型平板电脑x台，全部售出后获利y元.

(1)求y与X的函数表达式；

(2)若要求采购甲型平板电脑数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大?最大利润

为多少？

21.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线.如图是甲，

乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m,并且相距

4加，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为)，轴，建立如图

所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为y=-\x2+bx+c.

(1)求绳子所对应的抛物线解析式(不要求写自变量的取值范围)；

(2)身高1.70血的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？

(3)身高1.64机的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手.”〃，为确保绳子能通过他的

头顶，请求出s的取值范围.

22.小王在学习中遇到了这样一个问题:

图1图2

如图I,在菱形/WC。中，对角线AC=8c〃i,6。=点尸是AC上的动点，E是八6的

中点，连接PE,PB,当是等腰三角形时，求线段人P的长度.

小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题.请

将下面的探究过程补充完整：

根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE,PB的长度,得到下表

的几组对应值.

AP/cm012345678

PE/cm2.51.81.51.8m3.44.35.26.2

PB/cm5.04.23.63.233.23.64.25.0

(l)m的值是

(2)将线段4尸的长度作为自变量-PE,尸8的长度都是关于x的函数，分别记为月，、2,并

在平面宜.角坐标系xO)，中画出了力的函数图象，如图2所示，请在同一平面直.角坐标系中描

点，并画出及的函数图象.

(3)观察图象，可知函数力有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出力的最小值.(写

出准确值)

(4)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当二PBE是等腰三角形时，直接写出AP的长.(

结果精确到0.1cm)

23.如图1,正方形ABC。中，点尸是直线A8上一个动点，连接。尸，过点。作CM_LOP于

点、M,过点A作交。产于点N,连接8M、CM.

(1)若点尸在边48上，猜想：

①线段8M和线段CN的数量关系是；

②线段BM和线段CN的位置关系是______.

(2)如图2,点尸在A5延长线上，(1)中的猜想成立吗？请说明理由.

(3)已知力B=5,当DN=2HN时.直接写出BM的长.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：-2的相反数是2.

故选：A.

利用相反数的定义判断即可.

此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：4该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

8该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋

转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正

方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

3.【答案】C

【解析】解：A、2ab+3ab=(24-3)czb=Sab,正确;

B、2ab-3ab=(2-3)(zb=-ab,正确；

C、应为2a匕♦3a8=6Q2》2,故本选项错误；

。、2ab-e-3ah=正确.

故选：c.

根据合并同类项的法则及单项式的乘法与除法法则解答.

本题比较简单，考查的是合并同类项的法则及单项式的乘法与除法法则等知识，需同学们熟练学

握.

合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变.

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的事分别村乘，其余字母连同他的指数不变，作

为积的因式.

单项式相除，把系数，同底数幕分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则

连同它的指数一起作为商的一个因式.

4.【答案】B

【解析】解：•：DE//BC,

AEAD3

ECDB1

AE_3_3

A^C=1T3=4,

故选：B.

根据平行线分线段成比例定理得到煞=累=,，然后根据比例的性质求AEAC的值.

DCUD1

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对■应线段成比例.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意得△二炉一4>0,

则匕2>4,

所以人的值可取一3.

故选：C.

利用判别式的意义得到4=〃_4>0,然后对各选项进行判断.

2

本题考查了根的判别式：一元二次方程QM+bx+c=0(a^0)的根与△=b-4ac有如下关系:

当△>()时，方程有两个不相等的实数根：当△=()时，方程有两个相等的实数根：当AVO时，方

程无实数根.

6.【答案】D

【解析】解：这1200名学生的平均分为40°X781+6()鬻5+200x91.9=8335,

1•4UU

故选：D.

根据加权平均数的定义求解即可.

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

7.【答案】C

【解析】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，

设方程为：L=。，

r

从表中取一个有序数对，

不妨取(0.5,600)代入L=%

解得:K=300,

.300

：•L——,

F

把L=2代入上式，

解得：F=150,

故选：C.

根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反叱例函数来解答.

本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是能从表中信息确定出动力臂与动力成反比的关

系.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意得：

俨=2%+9

ly=3(x-2),

故选：B.

根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于M的二元一次方程组.

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，.正确列出二元一次方程组是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：根据作图过程可知：人〃平分NB4C,G”是边4K的垂直平分线，

•.・H8=AC=6,4M平分力C,

二/lM是边8C上的中线，

•••BM=CM,

•••GH是边A8的垂直平分线，

•••AN=BN,

：,MN是△/18C的中位线，

1

:.MN=5AC=3.

故选：B.

根据作图过程可得AM平分G”是边A8的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM

是边8c上的中线，可得是的中位线，进而可得MN的长.

此题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知

角平分线的作法是解题的关键.

1().【答案】C

【解析】解：连接AB,0Cr,AC,BC,

要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形408C的面积最大，只需满

足的面积最大即可，'野、

从而可得当点。位于弧48的中点C'时，A/IBC的面积最大，/、'、、'

连接0C',则。C'14B于D,I,，N

1J12+12y/~2

...0D=.=2L^_=Y'

:.DC=OCr-OD=l-^

]1i^2^2

•••S四边形AOBC，~SAAOB+SAABC，=2Xlxl+/X&x(l--)=—>

・•・扇形AOB的面积=胆立=土

3604

二阴影部分面积的最小值=?一千，

故选：C.

连接A5、连接OC',根据等腰直角三角形的性质求出OD,土而得到C'。的长，根据扇形面积公式、

三角形的面积公式计算，得到答案.

本题考查的是扇形面积计算、垂径定理.、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关

键.

11.【答案】2.5

【解析】解：，万一2T

=3-0.5

=2.5.

故答案为：2.5.

首先计算负整数指数暴、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可.

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有

理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算

括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适

用.

12.【答案】15。

【解析】解：由三角板可得：Z-C=30°,"40=45°,

vAE//BC,

•••Z.C=Z-EAF=30°.

•:LEAD=45°,

Z.CAD=/.EAD-Z.EAF=15°.

故答案为：15°.

由平行可得“=^EAF=30°,再用人ME-54F即可.

本题考查平行线的性质，熟知三角板各角的度数是解题关键.

13.【答案】看

【解析】解：画树状图如图：

开始

第一次"A""

第二)欠2346234623462346

共有16个等可能的结果，第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的结果

有7个，

・•・第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为乙，

10

故答案为：

画树状图，共有16个等可能的结果，第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号

数字的结果有7个，再由概率公式求解即可.

此题考查了用列表法或树状图法求概率.通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，

再从中选出符合事件A或8的结果数目相，然后根据概率公式求出事件A或8的概率.

14.【答案】—4

【解析】解：・直线y=-x+3与y轴交于点A,

.••71(0,3),即。4=3,

-AO=3BO,

•••OB=1,

•••点C的横坐标为一1,

•••点C在直线V=-x+3上，

•••点C(-l,4),

•••^=-1x4=-4,

故答案为一4.

先求出点A的坐标，然后表示出40、80的长度，根据40=38。，求出点。的横坐标，代入直

线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可.

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解

题的关键.

15.【答案】3或与

【解析】解：①当NC『P=90。时，

•••△PC/为直角三角形，

:.乙CFP=90°,

乙CFD+乙PFA=90°,

•••四边形人8CO为矩形，

:.乙CAB+Z-PAF=90°,

•••PE140,点A与点厂关于PE对称，

•••PE=PA,EF=EA,

•••乙PFA=Z.PAF,

:.Z.CAB=乙CFD,

在△CBA和△(7/)「中

(Z.B=乙D

=乙CFD

•••△CBA^L.CDF,

.BC_AB

'CD=DF)

vAB=CD=6,BC=8,

-8=—6,

6DF

即DF=?,

1

：,AE=^(AD-DF)

=4,

②当"CF=90°时,

•••△4cBs△FAC,

AC_BC

'AF=AC，

AF=

乙

125

AE=TZAF=—7-

24

故答案为：(或今

根据ACBF为直角三角形，即““为直角，从而证明“出+”兄4=90°,得乙CFD=/BAC,

证得△C。尸根据相似三角形的性质计算得到。尸的长度，再用A。长度减去。尸后根据

轴对称的性质可得AE的长.

本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定及轴对称的性质，解答本题的

关键是能够从复杂的图形中获得基本图形的相似，从而列出等式求线段长度.

16.【答案】解：⑴广：2：掾，

-2x<4(2；

由①得：x<1.

由②得：x>-2.

・•.不等式组的解集为：-2VZV1.

2

(2)原式二------匚

kJ(x+l)(x-l)x-1

X+1X

~x—1x—1

1

=x^'

【解析】(1)根据一元一不等式组的解法即可求出答案.

(2)根据分式的加减运算法则即可求出答案.

本题考查分式的加减运算以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型.

17.【答案】9288.5二二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班.

【解析】解：(2)由(1)中的表格可知,二班学生60(%V70的频数为1,7080的频数为4,

补全的频数分布直方图如图所示：

二班

(3)由(一)班的成绩可得，

92出现次数最多,故a=92,

第10个和第11个数分别是88分和89分，故匕="X(88+89)=88.5,

故答案为:92,88.5；

(4)根据题目中的信息可知，二班假期中学生数学学习成果较好.

理由：二班的成绩的众数高干一班，二班的成绩的中位数高于一班.

(2)根据表格中的数据可得完成直方图；

(3)根据众数和中位数的定义解答即可；

(4)根据表格中两个班的各种数据可得答案.

本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.

18.【答案】解：如图所示，过点。作OGJ.4E于G,过点尸作FHJ.OG于“，过点C作。MJ.0G于

M,则四边形ACMG和四边形“"G都是矩形，

CM=AG,HF=EG,HG=EF,

•••(BCD=60°,

:.乙DCM=30°,

又•：ACMD=90°,

:.CM=CDcosZ-DCM=学米，

•••AG=CM=3口米，

:.HF=EG=AE-AG=(10-里)米，

:.DH=HF•tanzDFW«8.2米,

••.DG=DH+GH=9.4米，

•••路灯D距地面AE的高度为9.4米.

【解析】如图所示，过点。作DG1力E于G,过点尸作FHJ.OG于"，过点。作CM_LDG于M,

则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，先解直角三角形CQM求出CM的长洁儿求出HF的

长，解直角三角形。/〃求出OH的长即可得到答案.

本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

19.【答案】(1)证明：•.•/1。为。。切线，

Z.DAB=90°,

Z.PAB=Z.PQA,

90°-LPAB=90°-4PQ4,

:.Z.DAP=乙D,

APA=PD；

(2)解：如图，连接P8,则NBH4=90°,

•：^PAB+APAD=90°,

:.乙PBA=/.PAD=乙D,

vZ.PBA=Z.C,

:.Z.C=Z-D,

AD=AC=5,

由(1)得：PA=PD=PQ=3,

:.DQ=6,

AQ=VDQ2-AD2=

v乙PBA=乙D,Z.APB=Z.QAD=90°,

•••△8Aps△QDA,

tAB_AP

"""DQ=AQ，

AB3

,.•T=E

:.OA=蒋Vil.

【解析】(1)求证4DHP=即可得出结论；

(2)通过角度推导得出4D=4C,进而利用勾股定理求出A。，根据ABAPSAQDA,即可求出AB

的长度，进而可得结果.

本题考查圆与相似三角形综合知识，熟练掌握切线的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键.

20.［答案］解：(1)由题意得:y=(2000-1600)%+(3000-2500)(30-%)=-100x+15000,

全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=TOOx+15000；

(2)由题意得：x>2(30-x),

解得：x>20,

:.20<x<30,

vy=-100x+15000,且一100<0,

••.y随K的增大而减小，

.•・当第=20时，y有最大值，最大值=-100x20+15000=13000,

;采购甲型电脑15台，乙型电脑15台时商店获得最大利润，最大利润是13000元.

【解析】(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可：

(2)根据题意求出X的取值范第，根据函数的性质求最值.

此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据

题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.

21.【答案】解：(1)根据题意，抛物线丫=-2/+历:+6：经过点(0,1),(4,1).

(C=1,

11

|4b+c=丁.

(.2

解得力=7

<c=1.

•••绳子所对应的抛物线解析式为：>=一；/+:不+1.

OO

(2)身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.

理由如下：

12-

y--7X2+-x+1,当工=----2-J-=2时，

2x(一%)

y最大值=-ix22+^x2+l=l2<1.7.

O35

二绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.

(3)当y=1.64时，-ix2+|x+1=1.64,

O0

即产一以一3.84=0,

解得X=4±、；0.64=竽

=2.4,%2=16

•••1.6<s<2.4.

【解析】⑴把（0』），（4,1）代入抛物线丫=-2产+8%+的得到二元一次方程组，解方程组即可；

（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；

（3）由y=1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围.

本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由

自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应

用二次函数解析式解决实际问题.

22.【答案】2.5

【解析】解：（1）设AC与BZ）交点为O,

•••在菱形ABC。中，对•角线力匚=8cm,BD=6cm,

：.ACLBD,0A=0C=^AC=4,OB=0D=^BD=3,

.'.AB=V0A2+0B2=5.

当AP=4时，点。与对角线AC和的交点。重合，

,此时AAPB为直角三角形.

••・E为A8的中点，

PE=\AB=2.5,

即m=2.5；

故答案为2.5；

⑵

画出的力的函数图象如解图।所示•

⑶

记4c8。相交于点O,如解图2所示.由垂线段最短,

可知当PE14C时，PE的值最小，即取得最小值.

OB10A,

二PE〃OB,.

•••E为AB的中点，

•••P为04的中点，

•••PE=^08=L5,

即月的最小值为15

图2

(4)

由题意，可知当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论：

①当PE=8E=2.5cm时.

观察图象，可知4P=4.0c7九或力P=0cm(舍去).

②当PE=P8时，

观察图象，可知AP的长约为4.6cm,

综上，线段AP的长度约为4.0cm或4.6C7几

1

-

(1)设AC与BD交点为。,根据菱形ABCD中，/C_LBD,。力=0C=^AC=4,0B=0D=2

3,得到力8=V0A2+0B2=5,当4P=4时，点。与对角线AC和8。的交点。重合，得到△APB

为直角三角形，根据七为AE的中点，得到PE=gA8=2.5,即m=2.5：

(2)以表中每一对工,%的值作为点的坐标，在同一平面直角坐标系中描点，而后用平滑是曲线顺

次连接各点，得到函数月的图象；

(3)记AC,8。相交于点。，当尸E14C时，力取得最小值，根据0810A,得到PE〃OB,.根据

E为AB的中点，得到尸为。4的中点，推出PE=[08=1.5