二次根式及其性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.1二根次式及其性质第十九章二次根式第1课时二次根式的概念目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）学习目标回顾复习问题1

什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2

什么叫做算术平方根?

如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么x称为a的算术平方根.用表示.0的算数平方根为0.问题3

什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.新课导入思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为________m.

(2)一个大正方形的面积是一个边长为

的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为__________.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t

(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)

满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为

______.

上面问题的结果分别是

，它们表示一些正数的算术平方根.讲授新课典例精讲归纳总结问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示65，

，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：

，

，

．

一、二次根式的概念①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？讲授新课归纳总结

一般地，我们把形如

的式子叫作二次根式.

二次根式也是代数式.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．归纳总结1.下列式子一定是二次根式的是()A.B.

C.

D.2.下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.CA练一练：二、二次根式有意义的条件

式子

只有在满足条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是

为二次根式的前提条件.

1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：

有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：

无意义⇔a＜0.例2

当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.变式1：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.归纳变式2：当x是怎样的实数时，式子

在实数范围内有意义？解：∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳总结1.下列各式：.

一定是二次根式的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练：当堂练习当堂反馈即学即用1.下列式子中，不属于二次根式的是（）C当堂练习2.二次根式中，x的取值范围是(

)A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1A3.如果式子

有意义，那么

x的取值

范围在数轴上表示正确的是(

)C4.式子有意义，则实数a的取值范围是(

)A．a≥－1B．a≠2C．a≥－1且a≠2D．a＞2C5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？6.若x，y是实数，且y＜,求的值.

解：根据题意得∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴

.7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得解得x≥1或x≤0.即当x≥1或x≤0时，有意义.体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜

时，有意义．课堂小结归纳总结构建脉络二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且≥0课堂小结19.1二根次式及其性质第2课时二次根式的性质第十九章二次根式目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）学习目标问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？一、二次根式的双重非负性讲授新课典例精讲归纳总结

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性讲授新课例1

若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳例2

已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．变式题：已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳1.若

，则xy＝________.2.实数a，b满足

＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为(

)A．2B.C．－2D．－9B练一练：正方形的边长为，

用边长表示正方形的面积为

，又∵面积为a，即.活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？

这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？讲授新课二、性质1：=a(a≥0)活动2

为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？

...算术平方根平方运算020.5

...a(a≥0)02=0

...观察两者有什么关系？

0.520根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：

是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此.同理，分别是0,0.5，的算术平方根，即得上面的等式.归纳总结

的性质：一般地，＝a(a

≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.例3

计算：解：积的乘方：（ab）2=a2b2

计算：解:练一练：...平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)2

...观察两者有什么关系？

填一填：

三、性质2：

...平方运算算术平方根-2-0.1

...2

...观察两者有什么关系？

a(a＜0)思考：当a＜0时，=？-a归纳总结a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

的性质：例4

化简：解：，而3.14＜π，要注意a的正负性.注意

化简：

解:练一练：辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（）（）（）（）××√√议一议：如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例5实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变式题】

实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．

利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例6已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0当堂练习当堂反馈即学即用1.化简得（）A.±4

B.±2

C.4D.-4C2.当1<x<3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-1D当堂练习B4.若

成立，则x的取值范围是（

）A.B.C.D.任意实数DD7.在实数范围内分解因式：x2－7=_______________．8.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．-10

6.若

，则x-y

的值为( )A．1B．－1 C．7 D