2021年中考数学一轮复习专题精讲精练专题19 四边形（学案）

2021年中考数学一轮专题复习

学案19四边形

中考命甄说明

考点课标要求考查角度

①探索并了解多边形内角和与外角

和公式；②通过探索平面图形的镶常以选择题、填空题的形式考查多

1多边形嵌，知道任意一个三角形、四边形或边形的内角和、外角和以及平面镶

正六边形可以镶嵌平面，并能运用这嵌.

儿种图形法行简单的镶嵌设计.

常以选择题、填空题、证明题的形

掌握平行四边形的概念和性质以及式考查.

2平行四边形

一个四边形是平行四边形的条件.平行四边形的判定和性质，有时也

以探究性试题的形式考查.

常以选择题、填空题、解答题的形

掌握矩形、菱形、正方形的概念和性

矩形、菱式考直矩形、菱形、正方形的性质

3质以及四边形是矩形、菱形、正方形

形、正方形和判定，注重图形变换的考查，部

的条件，了解它们之间的关系.

分地市以探究性试题的形式考查.

常以选择题、填空题、解答题的形

式考查.

探究并了解等腰梯形的有关性质和

4梯形梯形的判定和性质，注重梯形中辅

四边形是笔腰梯形的条件.

助线作法的考食，部分地市以探究

性试题的形式考查.

知识京I：多处形

知诙点梳理

1.多边形:

（1）内角和；”边形的内角和为（〃-2）X180。.四边形的内角和等于360。.

（2）外角和：任意多边形的外角和为360。.

（3）对角线：在多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.

①〃边形共有她二上条对角线.

2

②从一个顶点出发的对角线把〃边形分成（〃-2）个三角形.

<4）不稳定性：〃边形（〃>3）具有不稳定性.

【温馨提示】（I）多边形的外角和与边数无关；（2）多边形的内角中最多有3个锐角.

2.正多边形：

（1）边：各条边都相等.

（2）内角：各个内角都相等，且正〃边形的每个内角为-2）x180。.

n

（3）外角：各个外角相等，且正〃边形的每个外角为

n

（4）对祢性：①正多边形都是」对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是一^1_对祢图形•②

正〃边形有〃条对称轴.

3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全分叫做用多边形覆盖平面（或

平面镶嵌）.平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为时，可以平面

镶嵌.

,、

典型例甄

【例1】（2020•重庆A卷14/26）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数

是.

【考点】多边形内角与外角

【分析】〃边形的内角和可以表示成（小2）-180。,外角和为360。,根据题意列方程求解.

【解答】解：设这个多边形的边数为〃，依题意，得：

（〃-2）•180°=2X360°,

解得〃=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和•关键是根据题意利用多边形的外角和

及内角和之间的关系列出方程求边数.

【例2】（2020•陕西12/25）如图，在正五边形A8CQE中，DM是边CQ的延长线，连接B。，则N

BDM的度数是.

B

CDM

【考点】多边形内角与外角

【分析】根据正五边形的性质和内角和为540。，求得每个内角的度数为108。，再结合等腰三角形和

邻补角的定义即可解答.

【解答】解：因为五边形A3CDE是正五边形,

所以NC=（5-2）X18O0=]08。,BC=DC,

5

所以=*空=36。，

2

所以NBDM=180°-36°=144°,

故答案为：144。.

【点评】本题考查了正五边形.解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为

540。.熟记定义是解题的关键.

知破点2：平行四效形

知疚点梳理

1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质：

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等.

（2）平行四边形的对边平行且相等.

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

（3）平行四边形的对角线互相平分.

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截F的线段以对角线的交点为

中点，并且这两条直线二等分比平行四边形的面积.

3.平行四边形的判定：

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（4）定理3；对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

4.面积：S=ah（。表示一条边长，/?表示此边上的高）.

5.相关结论：

（1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个三角形.

（2）同底等高的平行四边形的面积相等.

（3）若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积.

Z\

要型百题

【例3】（2020•宁夏21/26）如图，在28CO中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交84的延

长线于点F.求证：FA=AB.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质

【分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS,ASA,SSS）来证明△

AFE^ADCE,根据全等的性质再证明4F=QC,从而证明

【解答】证明：•・•四边形48CQ是平行四边形，

：.AB=DC,AB//DC.

AZFEA=ZDEC,/后/ECD.

又EA=ED,

，A尸二。C.

：,AF=Ali.

【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题.

【例4】（2020•陕西18/25）圻图，在四边形ABC。中，AD//BC,NB=NC.E是边BC上一点,且

DE=DC.求证：AD=BE.

D

【考点】平行四边形的判定与性质

【分析】根据等边对等角的性质求出NOEC=/C,再由N8=/C得N8=NOEC,所以A8〃8E,得出

四边形48EQ是平行四边形，进而得出结论.

【解答】证明：・・・O£：=OC,

AZDEC=ZC.

VZB=ZC,

：・/B=/DEC,

JAB//BE,

*：AD//BC,

・•・四边形A3E。是平行四边形.

：.AD=BE.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质.解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和

性质定理的运用.

Z-----------------------------------------------------------------------------------------------------、

知荻点3：矩形、或形、正方形

知疚点梳理

I)

1.矩形：

(1)矩形的概念：有一个角是工的平行四边形叫做矩形.

(2)矩形的性质：

①具有平行四边形的一切性质.

②矩形的四个角都是直角.

③矩形的对角线相等.

④矩形既是轴对称图形,它有两条对称轴；又是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点

(3)矩形的判定：

①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

（4）矩形的有关计算：

①周长C矩形=23+》）（其中。为长，〃为宽）.

②面积S第形二长x宽二"（其中a为长，〃为宽）.

2.菱形：

（1）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）菱形的性质：

①具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边相等.

③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是一对角

线的交点.

（3）菱形的判定:

①定又：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

②定理1：四边都相等的四边形是菱形.

③定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（4）菱形的有关计算：

①周长C爸形=4。（其中a为边长）.

②面积S荃形="=两条对角线乘积的一半（其中。为边长，〃为此边上的高）.

3.正方形：

（1）正方形的概念：四条边都相等,四个角都是工a的四边形是正方形.有一组邻边相等

并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质：

①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

②正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对•角.

④正方形是轴对称图形，有4条对•称轴，又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.

⑤正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全

等的小等腰直角三角形.

⑥正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等.

（3）正方形的判定：

①判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等.

先证它是菱形，再证有一个角是直角.

②判定一个四边形为正方形的一般顺序如下.：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）.

（4）正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为4S^=a2=—.

2

4.总结：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理：

5.梯形：

（1）梯形的概念：一组对边平行，另一组对边一不平行的四边形叫做梯形.两腰杵等的梯形

叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

（2）等腰梯形的性质：

①等腰梯形的两腰相等，两底平行.

②等腰梯形的两条对角线相等.

③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线.

（3）等腰梯形的判定：

①定义：两腰相等的梯形是等腰梯形.

②定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

③对角线相等的梯形是等腰梯形.

（4）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

要更苗题

【例5】（2020•青海6/28）如图，在地形ABC。中，对角线人C,8。相交于点O,已知N8OL120。，

DC=3cm,则AC的长为cm.

D

【考点】矩形的性质

【分析】根据矩形的性质即可求出答案.

【解答】解：在矩形A6CO中，

：.OB=OC,

：.NOCB=NOBC,

VZB（9C=120°,

，NOCB=30。，

VDC=3cm,

.'.AB=CD=3cm,

在RtAABC中，

AC=2AB=6cm,

故答案为：6

【点评】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，木

题属于基础题型.

【例6】（2020•福建18/25）如图，点E,尸分别在菱形A8CQ的边8C,CD±,KBE=DF.求证:

ZBAE=ZDAF.

【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质

【分析】根据菱形的性质可得/8=N。，AB=AD,再证明即可得/8AE=/D4F.

【解答】证明：•・•四边形A8CQ是菱形，

:.NB=ND,AB=AD,

在△ABE和△A。/中，

AB=AD

NB=ND,

BE=DF

・•・△ABE2AADF(SAS)，

：.ZBAE=ZDAF,

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

【例7】（2020•广东9/25）如图，在正方形A8C。中，AB=3,点E,尸分别在边A8,C。上，Z

£7力=60。.若将四边形E8C尸沿石尸折叠，点8恰好落在边上，则BE的长度为（）

A.1B.41C.后D.2

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质

【分析】由正方形的性质得出NEFQ=NBEr=60。，由折叠的性质得出/班7三/尸£方二60。，BE=B'E,

设4£=x,则AE=3-x,由直角三角形的性质可得：2（3r）=x,解方程求出x即可得出答案.

【解答】解：•・•四边形八8C。是正方形，

:.AB//CD,NA=90。，

，NEFD=NBEF=60。,

•・•将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

:・NBEF=/FEB=60°,BE=BE,

:.ZAEB'=180°-ZBEF-ZFEB^Q,

:・B，E=2AE,

设则AE=3-x,

:.2（3-X）=A»

解得尸2.

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30。角的直角三角形的性质等知识点，能综合性

运用性质进行推理是解此题的关键.

ZX

知狼庖4：中点ns［边形

知永点梳理

i.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.中点四选形形状的

判定依据t要是三角形的中位线定理.

2.常见结论如下:

原四边形的形状中点四边形的形状

任意四边形平行四边形

平行四边形平行四边形

矩形菱形

菱形矩形

正方形正方形

要常例期

[例8]（2019•娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.正方形

【答案】C.

【解答】如下图，顺次连接任意四边形的四边中点，得到的四边形一定是平行四边形；如果原四边形

的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；妇果原四边形的对角线互相垂直，则可得

中点四边形的邻边垂直，即是矩形.菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接它的中点得到论四边形是

巩固训练

1.（2020•赤峰15/26）一个正〃边形的内角和是它外角和的4倍，则〃=.

2.（2020•海南14/22）正六边形的一个外角等于度.

3.（202（）•广东4/25）若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2020•福建15/25）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ZABC=度.

B

5.（2020•北京5/28）正五边形的外角和为（)

A.180°B.360°C.540°D.720°

6.（2020•包头18/26）如图，在5BCD中，48=2,NA8C的平分线与N8CD的平分线交于点E,

若点E恰好在边AD上，则BEr+CE1的值为.

7.（2020♦天津17/25）如图，的顶点C在等边ABEF的边M上，点石在的延长线上,

G为小的中点，连接CG.若4）=3,AB=CF=2,则CG的长为.

8.（202（）•重庆A卷21/26）如图，在平行四边形A8CZ）中，对角线AC,8。相交于点O,分别过点

A,。作AE_LB£>,CFtBD,垂足分别为石，F.AC平分NZME.

（1）若ZAO£=50°,求N4C3的度数；

（2）求证：AE=CF.

9.（2020•重庆B卷20/26）如图，在平行四边形ANCN）中，AE,b分别平分NMZ）和4X7?,交

对角线8。于点E,F.

（1）若N8Cr=60。，求NABC的度数；

（2）求证：BE=DF.

10.（2020•安徽14/23）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片A4CO沿过点

A的直线折叠，使得点8落在CO上的点Q处.折痕为AP；再将△PCQ,△40。分别沿PQ,AQ

折叠，此时点C,。落在上的同一点R处.请完成卜.列探究：

（I）NA4Q的大小为°；

AR

（2）当四边形APCO是平行四边形时，丝的值为

QR

11.（2020•陕西8/25）如图，在中，AB=5,BC=8.E是边8c的中点，尸是O43C。内

一点，且N9，C=90。.连接4厂并延长，交CD于点G.若EF〃A8,则OG的长为（）

53

A.-B.-C.3D.2

22

12.（2018•鄂尔多斯16/24）如图I,人F,BE是△ABC的中线，AFA.BE,垂足为点P,设BC=a,

AC=b,AB=c,则/+序=5d,利用这一性质计算.如图2,在QWC。中，E,F,G分别是AQ,

BC,CO的中点，EBLEG于点E,AD=8,AB=2后，则4尸=.

13.（202（）•鄂尔多斯5/24）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，ZEGF=9（r,ZFEG=30°,

Nl=125°,则N8PG的大小为（）

14.（2020•江西12/23）矩形纸片A8CD,长女）=&?〃，宽油=业相，折叠纸片，使折痕经过点3,

交4）边于点E,点4落在点4处，展平后得到折痕破，同时得到线段囱V,EA!,不再添加其它线

段.当图中存在30。角时，的长为厘米.

15.（2020•兴安盟•呼伦贝尔11/26）如图，在△A8C中，BD,C£分别是边AC,45上的中线，

BD工CE于息O,点、M,N分别04,OC的中点，若04=8,OC=6,则四边形小A/N的周长是

（）

A.14B.2DC.22D.28

16.（2020•通辽8/26）如图，AD是△48C的中线，四边形4X石是平行四边形，增加F列条件，能

判断O4QCE是菱形的是（）

A.ZE4C=90°B.ZmE=90°C.AB=ACD.AB=AE

17.（2020•包头12/26）如图，在中，NACB=90°,BC>AC,按以下步骤作图：

（1）分别以点A,B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点（点M在A8的

2

上方）

（2）作直线MN交44于点0,交4c于点Q；

（3）用圆规在射线0W上截取OE=OO.连接人。，AE,BE,过点。作。RLAC.重足为尸，交人。

于点G.

下列结论：

①CD=2GF；

②川T2CD2=AC2；

③S/\8OE=2SLG;

④若AC=6,0F+0A=9,则四边形AO8E的周长为25.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.（2020•陕西14/25）如图，在菱形48CZ）中，AB=6,4=60°,点石在边4）上，且他=2.若

直线/经过点E,将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点尸，则线段瓦'的长为.

19.（2020•广东15/25）如图，在菱形人HC7）中，ZA=30°,取大于的长为半径，分别以点A,

2

〃为圆心作弧相交于两点，过比两点的宜线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接4E,BD.则

ZEBD的度数为

20.（2020•北京21/28）如图，菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,E是A。的中点，点F,G

在48上，EF±AB,OG//EF.

（1）求证：四边形O£FG是矩形；

（2）若A£>=10,£F=4,求OE和BG的长.

21.（2020•宁夏5/26）如图，菱形A/3CO的边长为13,对角线AC=24,点E、/分别是边C。、BC

的中点，连接瓦'并延长与Afi的延长线相交于点G,则EG=（)

A.13B.10C.12D.5

22.（2020♦新疆兵团18/23）如图，四边形ABC。是平行四边形，DE//BF,且分别交对角线AC于点

E、F,连接BE,DF.

（1）求证：AE=CFi

（2）若BE=DE,求证：四边形石3也＞为菱形.

23.（2020•兴安盟•呼伦贝尔22/26）已知：如图，在正方形A8CO中，对角线AC,⑺相交于点O,

点E,尸分别是边8C，C。」：的点，fiZE9F=9O°.

24.（2020•呼和浩特18/24）如图，正方形A8CD,G是8C边上任意一点（不与8、C重合），DE1AG

于点石，BF//DE,且交AG于点尸.

（1）求证：AF-BF=EF,

（2）四边形匹是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明

25.（2020•包头16/26）如图，在正方形A8CO中，E是对角线BO上一点，AE的延长线交CD于点

F,连接CE.若NBAE=56°,则NCE/=°.

26.（2020•鄂尔多斯9/24）如图，四边形出是边长为1的正方形，以府角线04为边作第二个

正方形OAM2及，连接加2,得到△"小;再以对角线042为边作第三个正方形O4M3心,连接4A3,

得到△44泊3，再以对角线。43为边作第四个正方形0AM4加，连接4M4,得到AAM3A4,…，设4

AA\A2r△41AM3,△AM3A4,…，的面积分别为Si,S2,S3,…，如此下去，则S2020的值为（）

A.&B.22018C.220,8+-D.1010

220202

27.（2020•鄂尔多斯16/24）如图，已知正方形43CQ,点M是边84延长线上的动点（不与点A重

合），且AMVA8,△CB石由ADAM平移得到，若过点£作后“_1_人。，”为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得NQHC=60。时，2BE=DM；

②无论点M运动到何处，都有DM=叵HM；

③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；

④无论点M运动到何处，/CH历一定大于135。.

以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）.

28.（2020•赤峰20/26）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所

示的正方形蛋糕，蛋糕的每条力上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4

份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.

（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；

(2)如图2,小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的宜线.(不

写作法，保留作图痕迹)

29.(2020•天津8/25)如图，四边形O8CD是正方形，O,。两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C

在第一象限，则点C的坐标是()

『八

D-----------------------

~Ox

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

30.(2020•上海5/25)下列命题中，真命题是()

A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

-------------------X

巩固别殊解析

1.(2020•赤峰15/26)一个正〃边形的内角和是它外角和的4倍，则〃=10.

【考点】多边形内角与外角.

【答案】10.

【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个“边形的内角和是其外角和的4倍列出方

程求解即可.

【解答】解：多边形的外角和是360°,根据题意得：

180°・（〃・2）=360°X4,

解得72=10.

故答案为：10.

【点评】本题t要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题

来解决.

2.（2020•海南14/22）正六边形的一个外角等于60度.

【考点】多边形内角与外角

【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角却等于360度解答即可.

【解答】解：正六边形的外角和是360。，

/.正六边形的一个外角的度数为：360°+6=60°,

故答案为：60.

【点评】本题考查的是多边形的外知和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键.

3.（2020•广东4/25）若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】多边形内角与外角

【分析】根据多边形的内角和公式5-2）IX。。列式进行计算即可求解.

【解答】解：设多边形的边数是〃，则

（w-2）180°=540°,

解得n=5.

故选：B.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

4.（2020•福建15/25）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则乙$。=30度.

【考点】多边形内角与外角

【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正

六边形每个内角的度数，即可求出NA/3C的度数.

【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：（6~2）18°°=120°,

6

所以ZABC=120°-90°=30°,

故答案为：30.

【点评】本题考查了多边形内角和定理.解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数.

5.（2020•北京5/28）正五边形的外角和为（)

A.180°B.360°C.540°D.720°

【考点】多边形内角与外角.

【答案】B

【分析】根据多边形的外角和等于360°,即可求解.

【解答】解：任意多边形的外角和都是360°,

故正五边形的外角却的度数为360、.

故选:B.

【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°.

6.（2020•包头18/26）如图，在中，AB=2fNABC的平分线与NBC。的平分线交于点E,

若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为16.

【考点】勾股定理；平行四边形的性质.

【答案】见试题解答内容

【分析［根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE=AB=OE=CZ）=2,N8EC=90°,可得

BC=AO=2+2=4,再根据勾股定理解答即可.

【解答】证明：:BE、CE分别平分NA8C和N8CO

ZEBC=-NABC,NECB=-/BCD,

22

•・•四边形ABCD是平行四边形，

:.AD〃BC,AB=CD=2,BC=AD,

•••NABC+N8CO=18（）°,

•••NE5C+/ECB-90°,

AZBEC=90°,

：,BEr+CE1=BC2,

*：AD//BC,

/.ZEI3C=ZAEB,

七平分NA8C,

；・/EBC=NABE,

，ZAEB=ZABE,

•••AB=AE=2,

同理可证DE=DC=2,

：,DE+AE=AD=4,

・•・BEr+CE1=BC2=AD2={6.

故答案为：16.

【点评】此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和公股定理解

答.

7.（2020•天津17/25）如图，CJABCD的顶点C在等边ABE尸的边所上，点E在4?的延长线上,

G为力£的中点，连接CG.若人0=3,AB=CF=2,则CG的长为_二_.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质

【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到防和8E的长，然后可以证明△QCG

和全等，然后即可得到CG的长.

【解答】解：四边形44co是平行四边形，

/.AD=BC,CD=AB,DC//AB,

AD=3,AB=CF=2,

CD=2，BC=3，

：.BF=BC+CF=5,

・「△BE/是等边三角形，G为DE的中点,

;.BF=BE=5,DG=EG,

延长CG交6石于点〃，

.DC//AIL

4JDG=/HEG,

在△OCG和△E〃G中，

NCDG=/HEG

<DG=EG，

NDGC=NEGH

「.△OCGg△石"G(ASA),

:.DC=EH,CG=HG,

CD=2,BE=5,

HE=2，BH=3，

NCBH=0)。,BC=BH=3,

.•.△CB〃是等边三角形，

:.CH=BC=3,

13

:.CG=-CH=-,

22

故答案为：

2

【点评】本题考查平行四边形II勺性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本

题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.(2020•重庆A卷21/26)如图，在平行四边形AAC7)中，对角线AC,4。相交于点O,分别过点

A,C作CFLBD,垂足分别为E,F.4c平分

(1)若ZAOE=50。，求ZAC3的度数；

(2)求证：AE=CF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质

【分析】(1)利用三角形内角和定理求出NE4O,利用角平分线的定义求出/D4C，再利层平行线的

性质解决问题即可.

(2)证明△/1七△CFO(AAS)可得结论.

【解答】(1)解：AE工BD,

：.ZAEO=9(f，

ZAOE=50°,

.♦.N£4O=40。，

C4平分

：.ZDAC=ZEAO=40°,

四边形人ACO是平行四边形，

S.AD//BC,

ZACA=NZW7=40°,

（2）证明：四边形ABC。是平行四边形，

OA=OC，

AE工BD,CFVBD,

ZAEO=NCFO=90°,

ZAOE=ZCOF,

/.△AEO^ACFO（AAS）,

:.AF=CF.

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

9.（2020•重庆B卷20/26）如图，在平行四边形A8CD中，AE,C尸分别平分/明。和NDC8,交

对角线比＞于点石，F.

（1）若4b=60。，求ZAfiC的度数；

（2）求证：BE=DF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到A3〃CO,根据平行线的性质得到NABC+々6=180。，

根据角平分线的定义得到/BCD=2/BCF,于是得到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到A8〃CD,AB=CD,ZBAD=ZDCB,求得ZABE=NCDE,根据

角平分线的定义得到的£=NZXE，根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）四边形ABCO是平行四边形，

：.AB//CD,

/.ZABC+ZBCD=180°,

CF平分NDCB,

:.^BCD=1^BCF,

ZBCF=60°，

々6=120°，

/.ZABC=180°-120°=60o：

（2）四边形ABCZ）是平行四边形，

:AB"CD,AB=CD,ZBAD=ZDCB,

:.ZABE=/CDF,

AE,b分别平分NBA。和NDC8,

:"BAE==/BAD,4DCF=、4BCD,

22

:.ZBAE=ZDCE,

..△ABEgACDF（AAS）,

：.BE=CF.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

10.（2020•安徽14/23）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片A3CD沿过

点A的直线折叠，使得点8落在C。上的点Q处.折痕为AP；再将△PCQ,△AO0分别沿PQ,AQ

折叠，此时点C,。落在”上的同一点R处.请完成下列探究：

（1）/尸4。的大小为30。:

（2）当四边形八PC/）是平行四边形时，丝的值为.

QR-

【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）

【分析】（1）由折叠的性质可得NB=NAQP,ZDAQ=ZQAP=ZPAB,NDQA=ZAQR,

/CQP=/PQR,ND=NARQ,NC=NQRP,由平角的性质可得NO+NC=180。，NAQP=90。，

可证4。〃次二由平行线的性质可得NZMB=9O。，即可求解；

（2）由平行四边形和折叠的性质可得4?=依，由直角三角形的性质可得A尸=2PB=2QR,

AB=6PB,即可求解.

【解答】解：（1）由折叠的性质可得：NB=ZAQP,ZDAQ=ZQAP=ZPA13,ZDQA=ZAQR,

NCQP=/PQR,/D=ZARQ,NC=NQRP，

NQ/M+NQRP=180。，

/.ZD+ZC=180°,

/.AD//BC,

N4+ND44=180°,

/"R+NCQR=I8O。，

ZDQA+ZCQP=90°,

ZAQP=90°,

.•.N8=ZAQP=90。，

/.ZZMB=90°，

ZDAQ=NQAP=NPAB=3（T,

故答案为：30；

（2）由折叠的性质可得：AD=AR,CP=PR,

四边形4PCZ）是平行四边形，

AD=PC,

：.AR=PR,

又ZAQ-OO。,

/.QR=^AP,

ZMB=3O°,ZB=90°,

:.AP=2PB,AB=6PB,

:.PB=QR,

・・黑=6

QR

故答案为：x/5.

【点评】本题考查了翻折变换，平:行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题

是本题的关键.

11.（2020•陕西8/25）如图，在D43co中，AB=5t4C=H.E是边8c的中点，”是£748。。内

一点，且NBFC=90。.连接质并延长，交8于点G.若E尸〃4无则。G的长为（）

D

A.-B.-C.3D.2

22

【考点】直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质；梯形中位线定理

【分析】依据宜.角三角形斜边上中线的性质，即可得到所的长，再根据梯形中位线定理，即可得到

CG的长，进而得出OG的长.

【解答】解：E是边的中点，且4FC=90。，

..RtZ\3C/中，EF=、BC=4,

2

：EF//AB,AB//CG,石是边BC的中点,

尸是AG的中点,

EF是梯形ABCG的中位线，

:.CG=2EF-AB=3,

又CD=AB=5,

:.DG=5-3=2,

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等

于两底和的一半.

12.（2018•鄂尔多斯16/24）如图1,AFfBE是△A4C的中线，AF±BEf垂足为点尸，设BC'=。，

AC=bfAB=cf则/+62=5。2,利用这一性质计算.如图2,在中，E,F,G分别是AO,

BC,CD的中点，EB上EG于点E,AO=8,AB=2&,则A，=2屈.

【考点】勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的性质.

【分析】连接AC交于”，设与AF的交点为P,由点£、G分别是4。，CO的中点，得至ljEG

是△ACO的中位线于是证出3EJ_AC,由四边形A8c。是平行四边形，得到AQ〃3G根据E,尸分

别是AO,6c■的中点，得到AE=6f=Cf=：A。，证出四边形ABfE是平行四边形，证得E〃=FH,

2

推出EH,A"分别是△AFE的中线，由题目中的结论得即可得到结果.

【解答】解：如图2,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设8E与AF的交点为P,

•；点E、G分别是A。，C。的中点，

：.EG//AC,

VBE1EG,

・・・8E_LAC,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

:.AD〃BC,AO=3C=8,

:.NEAH=NFCH,

VE,尸分别是4D,8c的中点，

：,AE=-AD,BF=-BC,

22

：,AE=BF=CF=-AD=4,

2

'：AE"BF,

•••西边形4BFE是平行四边形，

:.EF=AB=2后,AP=PF,

NEAH=ZFCH

在和△CF”中,、NAHE=NFHC,

AE=CF

:.IXAEH@XCFH(AAS),

:・EH=FH,

:・EP,A”分别是△人隹的中线，

由/+力2=5»得：AF2+EF2=5AE1,

・・・A产=5X42-(2x/5)2=60,

.*.AF=2Vi5.

故答案为：2而.

【点评】本题考查r平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，正确的作山犍助线是解

题的关键.

13.（2020•鄂尔多斯5/24）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，N£GF=90°,NFEG=

30°,Zl=125°,则尸G的大小为（）

A.125°B.115°C.110°D.120°

【考点】平行线的性质.

【答案】B

【分析】根据矩形得出4。〃M.根据平行线的性质得用/1+/ME=180°.求Hl/所凡根据二角

形内角和定理求出NEFG,即可求出答案.

【解答】解：•・•四边形44co是矩形，

:.AD//BC,

•••Nl+NBFE=180°,

VZ1=125°,

•••NBFE-55°,

•・•在△£G〃中，NEGF=90；ZFEG=30°,

/.Z£FG=1800-NEGF・NFEG=60°,

工NBFG=NBFE+NEFG=550+60°=115°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点

进行推理是解此题的关键.

14.（2020•江西12/23）矩形纸片A3CD,长AO=8a〃，宽A8=4c〃?，折叠纸片，使折痕经过点8,

交AO边于点E,点A落在点A处，展平后得到折痕房，同时得到线段附'，不再添加其它

线段.当图中存在30°角时，AE的长为邛厘米或厘米或（8-4G）厘米.

B

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质

【分析】根据翻折可得=分3种情况讨论：当NA4E=30°时或当NA£4=30°时或当

ZABAf=30°时求AE的长.

【解答】解:

4J3

①当NABE=30。时,AE=