2024年高考理科数学模拟试题

高考数学理科模拟试题

1.已知集合/={1,2,3},2={]£2|1〈工<4},贝ij()

A.MqNB.N=MC.McN={2,3}D.MuN=(l,4)

2.已知复数z=-4-3i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是()

(A)复数z的虚部为-3i(B)复数z的虚部为3

(C)复数z的共规复数为W=4+3i(D)复数z的模为5

3.^«=Iog23,/?=log46,c=logs9,则下列关系中正确的是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

4.若，，且，，则a+4的值()

7%f、9乃“、5437乃f、5万39乃

(A)—(B)—(C)—或一(D)—或一

444444

5.程序框图如图所示，若其输出结果是140,则推断框中填写的是()

7.把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆

内任投一点，此点落在星形内的概率为(〉

8.如图，已知正方体A8CO-A4GA棱长为4,点〃在棱AA上，且"A=1・在侧面

BCGe内作边长为1的正方形EFGG，P是侧面BCC固内一动点,且点。到平面

CODC距离等于线段PF的长.则当点P运动时，的最小值是（）

(A)21(B)22(C)23(D)25

9.已知抛物线人），2=4x的焦点为F,过点P（2,0）的直线交抛物线于A,B两点，直线AF,

BF分别及抛物线交于点C,D设直线AB,CD的斜率分别为勺,则勺等于（）

10.已知P（x,y）为区域内的随意一点，当该区域的面积为4时，z=2x-），的最大值是

（）

D.272

11.已知椭圆G的方程为，双曲线G的方程为，C及的离心率之积为

则C?的渐近线方程为

A.x±y[ly-0B.岳±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

12.对于函数/（力，若在定义域内专（实数”,满意/（—）=-/（力，称/（力为“同

部奇函数”，若/（力=4'一〃2"+加一3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数加的取

值范围是（）

A.1-V3</w<1+V3B.\-43<m<272

C.-2V2<A??<2V2D.-2V2</n<l-V3

13.二项式绽开式中x的系数为.

14.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票:

窗口6排A座6排B座6排C座走廊6排D座6排E座窗口

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜爱喧闹要坐在左侧三个连在一起的座位之

一，则座位的支配方式一共有种。

15.己知数列｛4｝的前n项和为S”.且满意，设｛SJ的前n项和为，，则

72014=-------------------------

16..如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积是

17.已知/(x)=2cos(2x+^-)+4>/3sinxcosx+1.

3

(1)若/。)的定义域为，求/(X)的值域；

(口)在A48C中，《A。分别是A8,C所对边，当/(A)=2,b+c=2时，求。的最

小值.

20.已知函数，，其中meR且〃7Ho.e=2.71828为自然对数的底数.

<I)当〃7<0时，求函数/｛X)的单调区间和微小值：

(II)当〃?>0时，若函数月次)存在三个零点，且a<A<c,试证明：

-l<a<0<Z?<e<c；

(川)是否存在负数"2,对VX]e(L+00),Vx2€(-co,0).都有/(网)>g(.q)成立？若

存在，求出〃7的取值范围：若不存在，请说明理由.

21.设椭圆C:(a>Z?>0)的左、右焦点分别为K，尸2,上顶点为A,过A及4居垂直的

直线交x轴负半轴于Q点，且2£片+6。=0.

(I)求椭圆。的离心率；

(【【)若过4、Q、工三点的圆恰好及直线工-6)'-3=0相切，求椭圆。的方程；

(III)过用的直线/及(H)中椭圆交于不同的两点M、N,则的内切圆的面积

是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.C

【解析】

试题分析：由已知2,3€M,23eN,所以WCN={2,3},故选C.

考点：集合的基本运算.

2.D

【解析】复数z的虚部是一3"、B均错：而z的共轨更数为-4+3i,C错；z的模为，4?+32

=5»D正确.

考点：复数的基本概念

3.A

【解析】

试题分析:由已知a=log,3>1,/?=log6=-log6=log76,c=log89=log2^/9,

4222

y/9<y/b<3,故a>b>c,选A.

考点：对数运驿

4.A

【解析】因为a£[三，IT],故2a£[三，2川，

42

/t_,V5r咒rn7T人2V5

但sin2a=——，故2a£[一,JI],aer[―,—],/.cos2a=-----

52425

37r7T57r

pe[n,—故B—a£[-,—于是cos(B—a；=一

224

Acos(a+B)=cos[2a+(P-a)]

=cos2acos(0—a)—sin2asin(B—a)

_2石石加

——----X(-)----X----

5510

=立

2

且a+BW[―,2n]

故a+B=---

4

考点：三角恒等变换、三角函数求值

5.B

【解析】该程序框图的功能是计算S=1+2?+3?+…，令S=I4O,得〃=7,则推断框中

应填写i<8,故选B.

考点：程序框图.

6.A

【解析】xVO时，f(x)=x'是增函数，解除C、D,x20时，f(x)=(3*是减函数，解

3

除B,选A

考点：分段函数的图象

7.A

【解析】

试题分析：这是一道几何概型概率计算问题.星形弧半径为2,

nr-———x2x2）x2x44

・••点落在星形内的概率为P（A）=---------~义--------------=一一1,故选A.

考点：几何概型.

8.B

【解析】在BBi上取点K,使得BiK=L则HK_L面BCC3,

连结PK,则HP2=HK2+PK2=16+PK2.

在平面BCCB上，以CG所在直线为x轴，以GF所在直线为y轴

由题意可知，P点轨迹为抛物浅，其方程为x?=2y-l,K点坐标为（0,4）

I7

设P（x,y）,则x=2y—1（其中xW[―3,I],ye

PK2=X2-F(y-4)2=2y-l+y2-8y+16=y2-6y+15

I7

当y=3£［一一，一］时，PK，m=6

22

故*|3=16+6=22.

考点：正方体和抛物线的综合应用

9.B

【解析】

试题分析：设直线AB的方程为），=4"-2）,联立，得外，2-4），-8匕=0,设A（』，y）,

8（修,必），直线AC的方程为，联立，得一上-/-y一一汇=0,

4U.-1)

考点：直线及抛物线相交问题.

10.A

【解析】

试题分析：由作出可行域，如图

由图可得4&-々），P（a,a）,由，解得。=2,，斗仁,一？），・,・目标函数z=2x-y为

・

y=2x-z,,•当y=2x-z:±A点时，z最大，zmax=2x2-(-2)=6.

考点：线性规划.

11.B

【解析】

试题分析：椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，由题意，所以，所以，所以C2的渐近线

方程为.

考点：椭圆、双曲线离心率及渐近线.

12.B

【解析】

试题分析：・・・/(x)为“局部奇函数”，.••存在实数X满意了(—幻=一/3),即

一2"?2T+m2-3=-4V+2m2x-m2+3,

2

令f=2"«〉0),则l+z-2/n(-+/)+2〃/-6=0,

rt

(-+r)2-2/7/(-+f)+2〃/-8=0在/w(0,+co)上有解，

tt

再令/?=1+,则g(h〕=h2-2mh+2m2-8=0在〃w|2,+oo)上有解.函数关于力

t

的对称轴为h=in,①当"?22时,g(A)2g(6)，：.g(m)=m2-2m2+2m2-8^0,解

得2W〃？W2&；②当机<2时，贝iJg(2)=4-4〃7+262-8W0,即〃，一2〃?一2W0,

解得1—GW〃?<2.综合①②，可知1-6W〃?W2J5.改选B.

考点：新定义，函数的性质.

13.-10

【解析】

试题分析：由(川=。；(/)5」(一!)，=(一1)，。［183『，令1()一3，・=1,得r=3,所以绽开式

中x的系数为-C；=-10.

考点：二项式定理.

14.30.

【解析】若爷爷坐在左侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有2种不同的坐法，其余由A；=6

种不同坐法，由乘法计数原理，得共力」x2x6=12种不同坐法：若爷爷坐在右侧，则有1

种不同的坐法，小孙女只有3种不同的坐法，其余由A；=6种不同坐法，由乘法计数原理,

得共有1x3x6=18种不同坐法；由分类加法计数原理，共有12+18=30种不同坐法.

考点：排列组合.

15.

【解析】

试题分析：当n为奇数时，S“=4+o,+=-〃”+-!-

S”+i=4+/++/+%=4+1+i，

乙

・

•♦•9••；

当11为偶数时，5“=4+出++a”=a”+g

S"[=+。、++。“+凡.1=一区a4-—^-，

n+l12nn+ln+12"

♦••，••♦，v•••，♦••，♦•♦，

72014=(-«i+a2-a^+a4-------〃2oi3+a2oiJ+(g+*+/+

-U-(-)']

=~(a\+%+••.+〃2013)+(%+。4+•••+。2014)+----------j-------

1--

2

=_(5+最+•,+^T)+(_*_!__^iT)+[l-g严]

产]1

=-4~1—x2+l-(l)20'4

1----

4

=_|[1_(l)-]+1_(1)20M

考点：数列的求和.

16.2

【解析】略

17.(I)/(X)的值域为［0,3］：(II)。的最小值为=二一•J-xl+6x0+10.

%+4

【解析】

试题分析：(I)若/(%)的定义域为，求/(用的值域，首先将函数/(幻化为一个角的一

个三角函数，本题可将前面利用两角和及差的余弦公式绽开，后面利用倍角公式，将问题转

化为y=asinx+bcosx=〃sin(x+0),从而可得值域：(II)在中，。力工

分别是A&C所对边，当八A)=2,匕+c=2时，求”的最小值，由(I)可求得

(yQ-m)x-(xQ+2)y+2(%-〃?)+w(xfl+2)=0,由余弦定理，和基本不等式即可求得。

的最小值.

试题解析：(I)f(x)=2(cos2.rcos--sin2xsin—)+2\/3sin2.r+1

33

=\/3sin2.r+cos2x+1=2sin(2x+—)+1,

6

m-nI

当时,//=(0,1,0)cos<m,n>=

m\n2

故/㈤的值域为［0,3］；

(II)a=V2,c=1/?=1,M(-2,/w),N(-2,n),

(%-"?)x-(/+2))，+2(%-"?)+ni(xQ+2)=0

由余弦定理得：

d_|3(〃?_Jo)+2()，o—m)++2)|］

C(-3,0)

J()'o-"7)一+(%+2)~

22

+6x0+8)/n-(2xoyo+4y0)n?-(x0+2)=0

2

(x；+6.r0+8)〃2-(2.%)，o+4y0)/?-(x0+2)=0,

IMN\=J(〃?+”)2—4〃?〃，故a的最小值为二二一•JT；+6XO+10.

x。+4

考点：三角恒等变形，余弦定理.

18.(I)(II)分布列见解析，E(X)=1

【解析】

试题分析：（I）从4个黑色球中取出1个，同时取出2个红球的事务数除以从全部6个球

中任取3个的事务数；（II）红球个数的可能有。个、1个、2个，分别计兜相应的概率，写

出分布列，然后计算期望即可.

试题解析：（I）记“恰有一个黑球”为事务A,则

C；C：=4J

P(A)4分

Cl-20-5

（II）X的可能取值为0,1,2,则

p(x=o)=

f442分

p(Yc!c；123

r(X=1n)=,■J=——=—

C；205

2分

・•・X的分布列为

X012

\_3

P

555

131

・•・X的数学期望EX=0x上+lx'+2x±=l.2分

555

考点：古典概型，分布列，期望

19.（1）证明过程详见解析：（2）皂.

3

【解析】

试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础学问,考查学生的

空间想象实力、逻辑推理实力、计算实力.第一问，是等腰三角形，M为AG的中点,

所以。例J.AC，同理8M_LAG，利用线面垂直的判定得AGL平面再利用面面

垂直的判定得到平面AG。J•平面例为。；其次问，利用向量法求二面角的余弦值，先依据

已知条件建立空间直角坐标系，得到平而上点的坐标及向量坐标，依据公式求出平而的法向

量，最终依据夹角公式求夹角的余弦值.

试题解析：（1）证明：因为几何体是正方体八8c。-A4GA截取三棱锥4-A8G后所得,

D\=DC,

>=>OM_LAG

8A=8G

•=BM1AG•nAG，平面M3。

AM=C|M■=平面AGOJ•平面M3O.（6分）

DMBM=M

AGu平面AG。

（2）以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

B

设D4=l，

依题意知，,

有48=(01,—1)，AG=(—1,1.0)

设平面A/G的一个法向量〃=（x,y,z）,

有代入得，

设x=l,有〃=（1/,1）,平面ABCD的一个法向量僧=（0,0,1）,

设平面A8G及平面ABC。所成锐二面角大小为a,有，

所以平面A8G及平面45CO所成锐二面角的余弦值为日.（12分）

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法.

20.（I）/（x）的单调递减区间是（0』）,（1,正），单调递增区间是（人,+8）：

/（外极小位=/（"）=一2〃核：（H）见解析：（IH）存在

【解析】

试题分析：（I）干脆利用导数可得单调区间和微小值：（II）函数存在三个零点，表示极大

值g（0）大于零而微小值g（―）小于零，得到m的范围，进而得到g（-1）和g（e）的

m

范围，由此得出a,b,C满意的不等关系；（IH）由题意，/（X）min＞g（X）max，而

-24

fW=f（e2）=-2me，以初皿=g（—）=m一~—，工，解出m的范围即可•

mintne"m

2cx।\nx-x2--1

X-2A1DX〃次♦(1—2111x)

试题解析：(i)r(x)=-/«-------------1=in----------：—(x>0且

(lnx)(lnx)-(In幻2

1）.

•••由r（x）＞。，得工＞＞：由r*）＜o,得o＜x＜/，且x¥i•1分

・•・函数）（%）的单调递减区间是（0,1）,（1,正），单调递堵区间是（〃,+8）.2分

2fne

・'•/（X）极小值=以&）=-.1分

<H)^(x)=-^--mx'e,nKmtnx(tnx-2)

,(m>0).

・，.g（x）在（-8,0）上单调递增，上单调递减，上单调递增.

•・•函数g(x)存在三个零点.

r八"1>0

g(0)>0o

42

2=>_=>0<m<—・

g(一)<0mm<()e

in

/.0<me<23分

由g(一1)=〃z一〃?e"=fn(\-en,)<0.

2，

e"

，g(e)=m一一—=/H(I---)<0.1分

ee

综上可知，g(e)v0,g(0)>0,g(T)<0,

结合函数g(x)单调性及。c可得：ae(-1,0),/?e(0,£?),ce(e,-Ko).

即一l<a<0<〃<e<c,得证.1分

(HD由题意，只需f(4)min>g(X)max

11

由〃?<0,・•,函数/。）在（1,潟）上单调递减，在（潟,+00）上单调递增.

I

/(X)min=/(〃)=一2”.2分

由〃?<0,・••函数g（幻在上单调递增，上单调递减.

24

贝2皿=双一）=5--—•2分

inein

・•・，不等式两边同乘以负数〃z,得.

・•・，即.

由〃?<0,解得.

综上所述，存在这样的负数满意题意.1分

考点：利用导数探讨函数性质，函数的单调性，极值，范围问题，恒成立问题

21.（【）；（0）椭圆C的方程为；（III）存在，直线/的方程为x=1.

【解析】

试题分析：（I）由£（—c,0）,鸟（c,0）,由24石+鸟。=0，可知匕为的中点，由此

可得，Q（—3c,0）,设40力），知而=（-3c,-力），AF2=（c,-b）,由题意可知，

AQA.AF2,即得AQ・A6=—3d+b2=0,,进一步计算可求H离心率的值.（II）由（I）

知，可求出自△必用的外接圆圆心为斗-c,0）,即，半径）・=2c=a,所以再利用圆心到直

线/的距离等于半径明可得到关于。的方程，解出。值，从而得到椭圆。的方程.（HD这

是探究性命题，一般先假设存在，

可设M（8,y）,、（占,乃），由题如必异号，的内切圆的面积最大，只需R最大，

此时又用伊也最大，而SMM=；IKE|♦|y-y2l=|y-.V2l，所以可设直线/的方程为

x=〃?），+1,直线及椭圆方程联立，消x,再借助韦达定理来解决即可.

试题解析：（【）由题408），”为的中点.

设£（-c,0）,K（c,0）,则Q（-3c,O）,而=（一攵,一6）,正=«,-〃）

由题而J.获，即而•正=-3/+/=（）,

-3c2+（/-c?）=0即c『=4c2

（H）由题RA0E外接圆圈心为斜边的中点6（-c,0）,半径厂=2C,

•/由题Rt\QAF2外接圆及直线x-43y-3=0相切

d=r,即，即c+3=4c

:.c=\,a=2c=2,方=8故所求的椭圆C的方程为

（HI）设M（*，x）,阳々,心），由题力,内异号.

设的内切圆的半径为R,则的周长为47=8,

%M,V=gIMNI