2024届高考仿真卷数学试卷含解析

2024届上海市川沙中学高考仿真卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行程序框图，则输出的数值为（〉

]

o=0.^=I.w=I

宓

A.12B.29C.70D.169

2.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为及：1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和

建筑领域有着广泛的应用,已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台

到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度

差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

3.已知乙匕满足同=2右，忖=3,匕力=-6,则a在人上的投影为（）

A.-2B.-1C.-3D.2

4.已知复数4=COS23+isin23和复数4=COS37+/sin37,则z—z2为

A1行.RGNN/3I；

A•——iB•i•—+1D・--------/

22222222

5.下图为一个正四面体的侧面展开图，G为8夕的中点，则在原正四面体中，直线£G与直线8C所成角的余弦值为

()

C

-T6

6.已知函数/(x)={t+1'x>()是奇函数，则g(7(-D)的值为()

g(x),x<0

A.-10B.-9C.-7

7.已知函数/(x)=lnx+l,g(x)=2ed，若/(m)=g(〃)成立，则所〃的最小值是(

)

A.—+In2B.e-2C.In2D.---

222

8.集合尸={xwN]-2vx—1<2}的子集的个数是()

A.2B.3C.4D.8

9.设函数f*)=sin5+'k。＞0),若/")在［0,2划上有且仅有5个零点，则。的取值范围为()

1229)1229

D.T,To

10.已知命题〃：Vx>0Jn(x+l)>0；命题。:若〃>/),则/>〃，下列命题为真命题的是()

A.〃八4B.PAfC.D.r)JI

3

11.^,a-log80.2,/?=log034tc=40,,则()

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

f(x)

12./(工)是定义在(0,+e)上的增函数，且满足：/(x)的导函数存在，且若一<x,则下列不等式成立的是()

J⑴

A.〃2)V2〃1)B.3/(3)<4/(4)

C.2〃3)v3〃4)D.3/(2)v2〃3)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设集合A={T,a},B=1,2(其中。是自然对数的底数),且4c8N0,则满足条件的实数a的个数为

14.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线C4、。围成一个三角形养殖区为了便于管理，在线段

A8之间有一观察站点M,M到直线8C,C4的距离分别为8百米、1百米，则观察点M到点A、8距离之和的

最小值为百米.

15.己知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60。，侧面积为4近，则该棱锥的体积为.

16.(x+2y)U-y)5展开式中丁寸的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在三棱柱qq中，已知四边形AAGC为矩形，M=6,AB=AC=4,

NBAC=N84A=60。，乙4/。的角平分线4。交于。.

(O求证:平面区43_L平面AA。。;

(2)求二面角的余弦值.

TT

18.(12分)已知函数/(x)=sin(s+。)(6y>(),I*|<万)满足下列3个条件中的2个条件:

①函数/Q)的周期为乃；

②x=£是函数/*)的对称轴；

③/?)二°且在区间上单调.

(I)请指出这二个条件，并求出函数/(.')的解析式;

（II）若工£,求函数/（x）的值域.

19.（12分）已知函数/（x）=2GsinxcQsx-2cos2x+l.

（1）求函数/"）的单调递增区间；

（2）在AASC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足f（B）=2,〃=8,C=5»求COsA.

20.（12分）在aA6c中，内角A3,C的对边分别是满足条件。=2〃—&a,C=2.

4

（1）求角A;

（2）若，A“C边AA上的高为G，求A8的长.

21.（12分）己知各项均为正数的数列也｝的前〃项和为S“，满足=2S“+〃+4,a2-\tait%,恰为等比

数列出｝的前3项.

（1）求数列｛%｝,｛2｝的通项公式：

（2）求数列上J的前〃项和为若对V〃£N*均满足求整数〃?的最大值；

202（）

（3）是否存在数列｛qj满足等式£（《-1卜"+1=2e-〃-2成立，若存在，求出数列｛qj的通项公式；若不存在,

f=I

请说明理由.

r=sin/9——2

22.（10分）在直角坐标系xQv中，曲线C的参数方程为〈八..八（6为参数），坐标原点为极点，工轴

y=cosc/+3sinc/

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为Psin（6+看）=-2.

（1）求曲线G的普通方程和曲线G的直角坐标方程；

（2）若曲线G、交于4、3两点，。是曲线q上的动点，求△ABO面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量〃的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.

【详解】

4=0,b=l,7?=1,Z?=()42=2,n<5,满足条件，

2-0

a=——=1,〃=2,b=l+4=5,n<5»满足条件，

2

a=---=2,〃=3,力=2+10=12,〃<5,满足条件，

2

!?-2

a=——-=5,n=4,Z?=5+24=29,n<5»满足条件，

2

29-5

«=——=12,〃=5,6=12+58=70,〃=5,不满足条件，

2

输出Z>=70.

故选：C

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.

2、B

【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实

际高度.

【详解】

设第一展望台到塔底的高度为x米，塔的实际高度为F米，几何关系如下图所示：

y7oo

x

由题意可得与三=&,解得x=l(X)(五+1)；

且满足yQ,

x+100

故解得塔高y=(x+100)&=200(0+1卜480米，即塔高约为480米.

故选：B

【点睛】

本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.

3、A

【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.

【详解】

4在上的投影为同8$。="=使=-2.

故选:A

【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题.

4、C

【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.

【详解】

zizi=(cos230+/sin23°)•(cos37°+<sin370)=cos60°+<sin600=

22

故答案为C.

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,

点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

5、C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，AD尸三点重合，记作。，取中点〃，连接EG,E”,G〃，NEG”即

为EG与直线所成的角，表示出三角形EG〃的三条边长，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中AD厂三点重合，记作。:

DU尸)

则G为30中点，取。。中点”，连接EG,EH,GH,设正四面体的棱长均为“，

由中位线定理可得G////BC且G"=:8C=:a,

22

所以ZEGH即为EG与直线8c所成的角，

“m/2fIfG

EG=EH=.Va-1-2aJ=——2a»

由余弦定理可得cosNEG"=EG--OH，-EH

2EGGH

321232

=-4------4------4----=-7--3

所以直线EG与直线8c所成角的余弦值为正,

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

6、B

【解析】

根据分段函数表达式，先求得/(T)的值，然后结合/("的奇偶性，求得g(/(-D)的值.

【详解】

因为函数、0(幻=〈’•一是奇函数，所以/(-1)=一/(1)=-2,

g(x),x<()

5(/(-1))=g(—2)=/(-2)=-/(2)=

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决

问题的能力.

7、A

【解析】

分析：设f(㈤=g(〃)=f,则，>0,把相〃用/表示，然后令人。)=〃7-，1,由导数求得力⑺的最小值.

详解：设/"(〃?)=g(〃)=।,则f>0,n—In—I—=In/—In2H—,

222

；・，〃-〃=e1'1-Inr+In2--,令h(j)=e'~'-lnr+ln2--,

22

则/ra)=ci—1，〃"(，)=6"十二>0,・♦・〃“)是(0,叱)上的增函数，

tr

又〃(1)=0,・・・当，w(0,i)时，//V)<0,当/e(l,+oo)时，/f(r)>0,

即/?«)在(0,1)上单调递减，在(1,一)上单调递增，〃(1)是极小值也是最小值,

/?(1)=—+In2,的最小值是:+ln2.

故选A.

点睛：本题易错选B,利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求。一。的最小值问题，通过构造新函数,

转化为求函数皿。的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错.

8、D

【解析】

先确定集合Q中元素的个数，再得子集个数.

【详解】

由题意P={xwN|-lvx<3}={0J2},有三个元素，其子集有8个.

故选：D.

【点睛】

本题考查子集的个数问题，含有〃个元素的集合其子集有2”个，其中真子集有2”-1个・

9、A

【解析】

由0WxK2/r求出公r+1范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立。不等量关系，即可求解.

【详解】

7式T冗冗

当川［0,2扪时，（ox+—e—,2加。+一,

5555

・・♦/（X）在［0,2句上有且仅有5个零点，

:.57r42（071H----<67V,—<3<—.

5510

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.

10、B

【解析】

解：命题p：Vx>0,In（x+1）>0,则命题p为真命题，则-■p为假命题：

取2=-1,b=-2,a>b,但a2Vb-则命题q是假命题，则是真命题.

是假命题，p/\-*q是真命题，-'pAq是假命题，~'pA-是假命题.

故选B.

11、D

【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出-1<。<0力<-1,c>1,即可选出答案.

【详解】

由logos4<log03日=-1,即。<-1,

又一1=log80.125<log80.2<log81=。,即一1<。<0,

卡>1,即C>1,

所以b〈”C.

故选:D.

【点睛】

本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.

12、D

【解析】

根据/（”是定义在（。,+8）上的增函数及有意义可得/'（”>（）,构建新函数区，利用导数可得

J⑴x

g（x）为（0，+8）上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为〃可是定义在(o,+8)上的增函数,牧r")>o.

又分々有意义，故/’(“wo,故ra)>o,所以/(“<切”(»

j(町

令g（x）=®,则g，3=M'3：/⑴>0,

.1X

故g(x)在(。,+向上为增函数’所以g⑶>g⑵即墨>零’

整理得到2/(3)>3/⑵.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

可看出这样根据哨8W0即可得出。=2,从而得出满足条件的实数。的个数为1.

【详解】

解：•.•限|8工。，

由图可知y="与丫_/无交点，・「无解，则满足条件的实数。的个数为1.

y-c・・a—《

故答案为：1.

【点睛】

考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题.

14、56

【解析】

建系，将直线A8用方程表示出来，再用参数表示出线段A8的长度，最后利用导数来求函数最小值.

【详解】

以C为原点，CA,CB所在直线分别作为X〉轴，建立平面直角坐标系，则M(8,l).设直线48:)，-1=左(工-8),即

)，=依+1—8Z,贝,8(0,1-8外，

1-8%八

------>0

所以，k,所以k<0,

1一状>0

/I_义卜\2

AB2=------+(1—8&)2=/(幻伏<()),

yk)

贝ij/伙)=(1—8.2(1+/卜<0),

贝J|f\k)=2(1-8”)x(-8)x(1+/)+(1—8女尸x(-2)x%

-2(1-8幻(8二+1)-2(1-8幻(2k+1)(4公-2女+1)

~k3~k3,

当xe1-8,一£|时，/")<0,则"D单调递减，当xe(一；,0)时，/(x)>0,则单调递增,

所以当〃二一5时，A3最短，此时A8=5石.

故答案为：56

【点睛】

本题考查导数的实际应用，属于中档题.

15、士戈

3

【解析】

如图所示.正四棱锥尸一人86,。为底面的中心，点用为48的中点，则NR4O-60,设A»=”・根据正四棱

锥的侧面积求出。的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.

【详解】

如图所示，正四棱锥P—ABCO,。为底面的中心，点M为A8的中点，

则NPAO=60，设A8=a,

po」生一《=逅一

\442

.v12SA限

••V=—xaxPO=------.

33

故答案为：巫.

3

【点睛】

本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

16、10

【解析】

把｛x-yi按照二项式定理展开，可得(x+2yXx-y)5的展开式中x、'的系数.

【详解】

解：(x+2y)(x—寸=。+2>)・(仁・/一。：・凸，+。；・M)，2-c；・f),3+屐."),4_以・),5),

故它的展开式中1),3的系数为—r；4.7C;=10,

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析：(2)主叵

17

【解析】

(D过点。作OE//AC交AA于E,连接设A/riCE=O,连接3。，由角平分线的性质，正方形的性

质，三角形的全等，证得CE_L8O,CELAD,由线面垂直的判断定理证得CE1平面BAD,再由面面垂直的判

断得证.

(2)平面几何知识和线面的关系可证得30_L平面A4GC，建立空间直角坐标系。一肛2,求得两个平面的法向量,

根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

(1)如图，过点。作OE//4C交A4于£,连接CE,AE,设AQDCE=0,连接80,*.AClAA.ts.DEVAE,

又AZ)为/A4C的角平分线，，四边形血＞C为正方形，.•.CE_LAO,

又・・4C=A£,ABAC=ZBAEtBA=BA,「.ABAC=;.BC=BE,又」O为CE的中点，:.CELBO

又AO/Ou平面刚。，A£)13O=O,「.CE，平面/M。，

又「C£u平面AACC，，平面84。1■平面A4G。，

(2)在AA8C中，•.•A8=AC=4,N8AC=60°8C=4,在RtABOC中，•・CO=gcE=2&BO=2右，

又A5=4,A(7=1^D=2>/2,-BO2+AO2=AB\/.BOLAD.

又BOICE,ADC\CE=O,人。,。石匚平面他。。，」.40，平面刖£。，

故建立如图空间直角坐标系。一A7Z,则A，：2,-2,0),A(2,4,0),C,(-2,4,0),

修(0,6,2尤)，.•・G4=(2,2,2及)，AC,=(-4,6,0),£4=(4,0,0),

th_LC|Bj-4.V]+6y1=0

设平面AB}C］的一个法向量为根=(5，y/),则＜

m_LAC〕2芭+2>j+2&Z]=0

令芭=6,得m=(6,4,-5近),

n±G

设平面A修C；的一个法向量为〃=（x2,.y2,z2）,贝卜

4x,=01-―r~

信=。’令小得〃=（。，血一）

mn9723后

.."°'<*〃>=丽=方耳=k，由图示可知二面角是锐角,

【点睛】

本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线

合一%勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.

18、(I)只有①②成立，/(x)=sinf(II)

r1-

【解析】

(I)依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.

(II)04xK工得到工工+得到函数值域.

3666

【详解】

,,、R2兀c兀ID,71,717TCO,r

(I)由①可得，——=兀=①=2；由②得：----\-(p-k7i-\■—=(p=k兀t-------,k&Z；

co6226

,依。71CD~7、乃乃乃2乃、2乃八，c

由③得，—+(p=ni7r=>(p=m/r----,meZ>—>------=—=>—>—=>0<69<3；

4422636y3

z、

若①@成立，则s=2,(p=-tfW=sin2x+g,

616)

若①@成立，则。=/〃乃一7-=，〃万一万，meZ,不合题意，

若②®成立，则*乃+工一%=/〃万一％=>G=12（〃?一攵）一626,m、kwZ,

264

与③中的0<。工3矛盾，所以②③不成立，

所以只有①②成立，f(x)=sin(2x+/.

(II)由题意得，04xW—n—«2XH—4—=>—V/(x)41,

36662

所以函数f(x)的值域为.

【点睛】

本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

19^(1)一二+仁乃,二十&不,keZ；(2)-

.63J7

【解析】

⑴化简得到了3=2而(21-看｝取g+2K2》一会畀2江狂2,解得答案.

(2)/(B)=2sin(28-g1=2,解得S=£,根据余弦定理得到〃=7,再用一次余弦定理解得答案.

【详解】

(1)f(J)=2\/3sinxcosx-2cos2x+1=73sin2x-cos2x=2sin2x-.

^--+2k7r<2x--<1—+2k7r,kGZ,解得xw--+—+k7t,kwZ.

262L63

(2)/(8)=2而(28-£|=2,

因为故2B-J，,B=-.

623

根据余弦定理：b2=a2+c2-2accosB=49>b=7.

+c2-a252+72-821

cosA=----------=----------=—.

2bc2x5x77

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

20、(1)y.(2)273-2

【解析】

(1)利用正弦定理的边角互化可得sinC=2sin8—夜sinA，再根据3=乃一4一C二4一(4+?)利用两角和的

正弦公式即可求解.

(2)已知CD=J5,由A=q知AO=1，在回8中，解出8力即可.

【详解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sin8-&sinA

由己知C=[兀,而B=/r-A-C=/r-(A+?

4

—=2sinf/4+—1-V2sinA

2I4)

cos4+受sinA

x/2sinA

2

=V2cosA

.14乃

:.cosAx=—,A=—

23

(2)已知CD=6,

则由A=£知AD=1

3

CD

B=TT—A—C=—7T^DB=

12tanB

先求sin4=sin

4

57：7T

COS—71--COS=[(#-夜)

1243；4

.3”里免2+6

12(瓜-叵)

:.DB=-^-==2y/3-3

2+g

AB=AD+DB=\+2>/3-3=2y/3-2

B

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.

nx

21、(2)an=n+\t勿=2"(2)7；=2二一1,机的最大整数是2.(3)存在，=2~

n+2

【解析】

(2)由a'=2S”+〃+4可得Y=2S“T+〃+3(H>2),然后把这两个等式相减，化简得。向=q+1,公差为2,

因为4-1,生，%为等比数列，所以％2=(生—1)%，化简计算得，4=2,从而得到数列｛%｝的通项公式，再计

算出«2-1,%，%，从而可求出数列｛〃｝的通项公式；

(2)令。”=*-=二-二，化简计算得从而可得数列｛q｝是递增的，所以只要。的最小值大

44.1n+2〃+1

于岛即可，而乙的最小值为刀=9=：，所以可得答案；

(3)由题意可知,(4-1)[+(42-1)%.1+(%-1)%-2+・一+(4-1)。=2"/一〃-2,

即。〃+2配_1+3。“-2+~+，屿=22一〃一2,(〃eN”)，这个可看成一个数列的前〃项和，再写出其前(〃一1)项

M

和，两式相减得，CH+CM_I4-CM_2+...+C1=2-1,利用同样的方法可得%=2i(〃wN)

【详解】

解：(2)由题，当〃=1时，«；=2S,+5,即。；=2%+5

当〃22时，匕]=25.+〃+4①2s“_]+〃+3②

①-②得项-。；=2%+1,整理得q；=(%+1)2,又因为各项均为正数的数列也｝.

故%=%+1，M是从第二项的等差数列，公差为2.

又小-1,4，/恰为等比数列出｝的前3项，

故靖=(4-1)%=3+1『=(4-1)(%+5),解得色=3.又a；=2q+5,

故q=2,因为生一4二1也成立.

故｛〃“｝是以4=2为首项，2为公差的等差数列.故q=2+〃=〃+

即2,4,8恰为等比数列也｝的前3项，故也｝是以％=2为首项，公比为;=2的等比数列,

故2=2”.综上q=〃+1,2=2"

a卢向〃+2〃+1

c_c=(")%也二2"，2川产2”

"""《川*2〃+3〃-2〃+2n+\

2〃+22〃

=■—・

〃+3〃+1

2”(3〃+1)、八