电路第三章电路分析

第三章动态电路的时域分析法

本章主要介绍一阶电路的零输入响应、零状态响

应和全响应，在此基础上，重点介绍一种分析一阶电

路的简便分析方法一三要素法。

在许多电路中，还常用到电容元件和电感元件。

因为这两种元件的电压、电流关系都不是代数形式，而

是微分或积分形式，称为动态元件。

含有动态元件的电路称为动态电路。如果动态电

路是只含一个动态元件的线性时不变电路，可用线性一

阶微分方程来描述，称为一阶电路。包含两个动态元件，

且用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。

与分析电阻电跖一样，两类约束仍然是分析动态

电路的基本依据。

§3-1电压和电流初始值的计算

一、概述

图3-1-1所示电路，开关S与“2”合上时，电容

电压”c=0,这是一种稳定状态。当开关S由“2”合向

“1”，经过一定时间后，电容电压uc=Us,电路就处

于新的稳定状态。电容电压从"c=0变化到Us需要一个

过程，这个过程就是哲态过程。

分析线性时不变动态电路的暂态过程的方法之

一，是根据KCL、KVL和元件的VAR建立以〃或i为

求解变量的线性常微分方程，在已知求解变帚的初始条

件的情况下，求解常微分方程，从而得到所求的电压或

电流的变化规律。这是一种直接求解微分方程的方法，

称为经典法。它是以时间，作为自变量来分析电路中响

应和激励的关系，又称为时域分析法。

研究暂态过程具有重要的实际意义。例如，在电

子电路中广泛应用了RC电路的充、放电过程。分析电

路的暂态过程，还可以了解电路中可能出现的过电压和

大电流，以便采取适当措施防止电器设备受到破坏。

二、换路定则

1.换路动态电路稳定状态的改变，是由电路的接通、断开、改接及电路

元件的突然变化等原因所引起的，这些变化统称为“换路”，并认为换路是在

r=0时刻进行的。

为了叙述方便，把换路前的一瞬间记为一=0「，它表示时间，从负值趋近

于零；把换路后的一瞬间记为‘Q0+',它表示时间/从正值趋近于零。

2.换路定则

在电容电流为有限值的条件下，电容电压不能跃变；在电感电压为有

限值的条件下，电感电流"不能跃变；即在换路瞬间，“c和〃保持不变，用

数学式表述为

wc(O+)=wc(O-)

a(O+)=u(O-)(3-1-1)

式(3-1-1)称为换路定则。

三、初始值的计算

由高等数学已知，求解微分方程时，为了使方程有确定的解，必须根据给

定的初始条件来确定解答中的积分常数。在暂态电路分析中，设描述动态电路

的微分方程为〃阶，则电路微分方程的初始条件是相应求解变量及其一阶至

(〃-1)阶导数在片0+时的值，这些值称为初始值.

初始值计算的一般方法是：根据f=0-时刻的等效电路，求出wc(O-)>/L(O-)：

初始值〃c(0+)、江(0+)便可以通过换路定则求出。至于电路中其他电压和电流的

初始值[例如ic(0+)、〃乂0+)、仄(0+)、〃履0+)],可根据£=0+时刻的等效电路，

应用两类约束求出。其具体计算步骤，通过例题说明如下。

例3-1-1电路如图3-1-2(a)所示，r=0时开关S闭合，开关S闭台前电

路已处于稳定状态，求开关S闭合后各元件的人c(0+)、3(0+)和力(0+)、(“0+)、

ic(0+)、wt(0+)o

解第一步：绘出开关S闭合前1=0-时的等效电路，计算〃c(0-)、

根据已知条件，电路在换路前已处于直流稳态，由§1-5可知，电容支路

中电流为零(Cd〃c/d/=0),电感两端电压为零(Ldi〃df=O),故在f=0.时的

等效电路中，电容代之以开路，电感代之以短路,其他电路元件不变，得

，=0-时的等效电路如图3-1-2(b)所示。由图可知

3

…巾僦式…

必一屋，03A=2mA

第二步：绘出开关S闭合后瞬间U0+时的等效

电路。由换路定则可知

zfc(O+)=z/c(0-)=4V

五(()+)="(()-)=2mA

因此，在片0+时刻，运用置换定理，将电路中电

容代之以电压源，其大小和参考方向与〃c(0+)相同［若

〃c(0+)=0,则电容代之以短路］:将电路中电感代之以电

流源，其大小和参考方向与立(()+)相同［若立(0+)=0,则

电感代之以开路］,其他电路兀件不变，得时的等

效电路如图3-I-2(c)所示。

第三步：根据图3-1-2(c)电路，运用电阻电路的

分析方法，计算U0+时所需各电压、电流值。即

直焉A=2mA

z.XJV

J

以o♦户-——3—A=1mA

4X|OJ

?’C⑼)=-L①J-白⑼)=T“)A

f0,1

»L+)=(-3xlOx2xtO'+10-4)V=0

从以上例子可以看出，为了求出各变量的初始值,

第一步只需计算〃c(OJ或"(0.)的值，而无需计算r=0.

时其他的电压与电流值，因为只有叱和"不能跃变，

具有“承前启后”的作用。我们把动态电路中各独立电

容电压与各独立电感电流的初始值的集合称为电路的

初始状态，它反映了电路初始时刻的储能状况。初始状

态是动态电路中的一个很重要概念，它和输入一道，可

以唯一地确定/20任一时刻电路的响应。

§3-2一阶电路的零输入响应

动态电路换路后，没有外施激励，仅由电路中动

态元件的初始储能引起的响应称为零输入响应。

以RC电路(含有一个电容和一个电阻的动态电

路)和RL电路(含有一个电感和一个电阻的动态电路)

为例，讨论一阶电路的零输入响应的分析方法，因为对

于任何只含一个动态元件的复杂电路，均可运用戴维宁

定理或诺顿定理等效为RC和RL这两种最简单的一阶

电路。

一、RC电路的零输入响应

在图3-2-1所示RC电路中，开关S闭合前，电容

电压已充电至Uo,即电压〃c(O-)=Uo,表示电容己储

存电场能量。当开关闭合后，电容储存的能量将通过电

阻以热能的形式释放出来，直到其电压叱等于零，这图3-2-1

个过程称为电容的放电过程。

s(t=0)

设1=0时开关S闭合。按图3-2-1中所标明的电压

和电流的参考方向，根据KVL可得

UR-MC=0(3-2-1)

而根据元件的VAR可知

UR=Ri,i=­C^-

dr

电容电流方程中的负号是因为4与，•参考方向相反。

将上两式代入式(3・2-1),得

RC蚣+必=()后0(3-2-2)

dr

由换路定则得初始条件uc(O+)=MC(O-)=Uo

式(3-2-2)是一阶线性齐次微分方程。由高等数学可

知，此方程的通解为

uc=f20(3-2-3)

其中P为特征方程的根,A为积分常数，可以利用微分方程的特征方程

和未知量uc的初始条件分别求得，分析如下：

将通解式(3-2-3)代入方程式(3-2-2)得

(RCP+\)Aept=0

相应的特征方程为RCP+\=O

故特征方程的根为P金

令通解式(323)中的；=0+,将初始条件〃c(0+)=Uo代入，

可得A=MC(O+)=(/O

将P和A的值代入通解式(3-2-3)中，求得满足初始条件的微分方

程的解为

_2__1t

u=u(MaUoe0

cce。：(3-2-4)

这就是零输入响应即电容放电过程中电容电压叱的表达式。

电路中的零输入响应电流为

x-c等=-c.(u。「蓊)=-c&)u03

t>0

(3-2-5)

或~~Rcr>0

零输入响应电阻电压为

%=Ri=乙％ur>0

从以上三式可知，在零输入响应中，电路中各电压、电流都是按同

样的指数规律衰减至零，这是因为储能元件的初始储能被电阻逐渐消耗转

化为热能，直到消耗殆尽。衰减的快慢取决于指数中的RC的大小。令

"RC(3-2-7)

「愈大，“C衰减愈慢；反之，r愈小，“c衰减愈快。由于

库安.秒

[工]=[R][C]二欧♦铲二欧♦-及一二秒

具有时间的量纲，所以把厂称为时间常数。时间常数厂仅仅由电路的结构和元

件参数的大小决定，而与电路的储能状况无关。

C=UoGT

(3-2-8)

即UC、UR

._u0

1=Wr>0(3-2-9)

__J

〃R=Uo2Tr>0(3-2-10)

〃c、与i随时间变化的曲线如图3-2-2所示c

由“c式可得

r=0时，wc(0)=Uoe°=Uo

1二7时，uc(r)=(/oe',=0.368Uo

所以，时间常数『是电路零输入响应衰减到初始

值36.8%所需要的时间。对于Z=2r,t=3r,/=4r•••

时刻的电容电压值，同样可以计算得出。在理论上要经

过无限长的时间〃c才能衰减为零值.但是在工程上，

一般经过37~5r的时间就可以认为零输入响应衰减

到零。

时间常数「可以通过两种方法从响应的变化曲线

上求得，下面以〃c零输入响应曲线为例说明：一是在

变化曲线上，当”从初始值衰减至初始值的36.8%

时所需的时间即为「，如图3-2-2(a)所示；二是在

零输入响应曲线上任意点B作切线BD(见图3-2-3),

则图中次切距

BC

CD=

tana

即在时间坐标上次切距的长度等于时间常数丁。这说

明对于曲线上任一点，如果以该点的斜率为固定变化

率衰减，经过「时间后为零值。

例3-2-1在图3-2-4(a)所示电路中开关S原在

位置1,且电路已达稳态。t=0时开关由1合向2,试

求10时的〃c、i,并画出它们的波形。

解本例在/＞0后是零输入响应［见图3-2-4Rs(t=o)%i

(b)］,因此，可以利用零输入响应分析结论来

求解，毋需列写和求解微分方程。在开关S由1

合向2前，即换路前，电路已处于直流稳态，故

电容电流为零，电容相当于开路，由图3-2-4(a)

(a)

可求得

IDX6

u(Q-)~V-6V

c1+3+6

根据换路定则可知

心(0+)二气(0-)=6V

换路后［见图3-2-4(b)］,电容通过电阻

Ri、取放电，由于对、/?2为并联，设从电容两

图3-2-4

端看进去的电路的等效电阻为P,有

R=2。

则时间常数r=RC=2s

可得〃匚="c(0+)eT=6e-0,5tV.No

由图3-2-4(b)可求出

i=-生＞=-?e-0,5tA

3/＞0

“c、i随时间变化的曲线如图3-2-5所示。

由波形可见，“c、i和ic都是按相同的指数

规律逐渐衰减至零。“c是连续变化的，

〃c(0+)=〃c(0.)［见图3-2-5(a)］；而i和ic在)=。

时发生了跃变。在换路前i(0.)=lA,而换路后

i(0+)=-2A［见图3-2-5(b)］＜＞在动态电路中，电

容电压(和电感电流)不能跃变，而其它电压、

电流可能跃变，是分析动态电路应掌握的一个重

要概念。

二、RL电路的零输入响应

如图3-2-6所示RL电路中，开关S动作前，电路

_u()_

己达直流稳态，电感L中有电流：L<0')=R。它

说明换路前电感己储存了磁场能量。当开关闭合后，电

感储存的能量将通过电阻以热能的形式释放出来，直到

其电流江等于零。

设U0时，开关S由1合到2,具有初始电流Zo

的电感L与电阻R相连结，构成一个闭合回路。在图

3-2-6所示的电压和电流的参考方向下，根据KVL可得

UR+UL=0/20(3-2-11)

而根据元件的VAR可知

以=碟

UR=RiL

将上两式代入式(3-2.11),得

碟=0

心0(3-2-12)

初始条件iL(0+)=/L(O-)=ZO

也是一阶线性齐次微分方程。此方程的通解为

ZL=(3-2-13)

相应的特征方程为LP+R=0

P=_J_

则L

令通解中的/=0+,并将初始条件"(O+)=/o代入式

(3-2-13),可得

A=IL(O+)=/o

这样，求得满足初始条件的微分方程的解为

jL=iiO+)e="?/20

电感电压为

UL=隼=-R"T

r>0

电阻电压为

HR=Ri=Rhet>0

与RC电路类似，令T=R/L,称为"£电路的时间常

数，则上面三个解可写为

均=工0e1(3-2-14)

t

1

%=-R10er>0(3-2-15)

t

/=RIQ”r>0(3-2-16)

图327所示为电流江和电感电压〃小丽随时间变化的

曲线。电感电流"是连续变化的，在1=0时，电感电压

〃〃发生了跃变，“R也发生了跃变。

通过对RC和RL电路的零输入响应的讨论可知：

(1)RC电路、RA电路的零输入响应中各电压、

电流，均以同一时间常数随时间按指数规律，衰减仅初

始值不同而已，它们具有相同的解答形式：

施=#+纭'/>0(3-2-17)

式中，/(t)表示零输入响应电压、电流；/(0+)表示零输

入响应电压、电流的初始值；r表示时间常数。

因此，只需求出初始值/(0+)和时间常数T,即可图3-2-7

直接写出电路的零输入响应。

(2)RC电路、AL电路的零输入响应是电路初始

状态的线性函数，而初始状态(可认为是电路的激励)

增大左倍，则零输入响应也相应增大攵倍，这是线性电

路的齐次性。

例3・2・2图3-2-8所示电路是电机励磁电路，其

中励磁绕阻的R=40C,L=1.5H；直流电源电压Us=120V；

VD为理想二极管，正向导通时其电阻为零；电压表内

阻/?v=10kQ；在开关S断开前电路己处于稳定状态；

在r=0时将开关S断开。

(1)若不接二极管，求励磁绕阻中的电流江电

压表承受的最大电压；

(2)若接二极管，重求电流X。

解这是一个求解零输入响应的问题。

(1)若不接二极管，开关S断开前电路已处于

稳定状态，电感相当于短路，由图3-2-8得

Us_120

〃（）3A

0-~~R4T

开关S断开瞬间，根据换路定则，得

/7(O-r)=U(O-)=3A

且电流以电压表形成叵路，故电路的时间常数

T1=1.5/(40+10000)^0.00015s

i

1

得iL=Jr(0+)e=3e-6667tAZ^0

10+时，电压表承受的电压为最大值，其值为

?

UM(0+)=-ZL(0+)/?V=-3XI0X10V=-30kV

其实际极性为下“+”上“-

(2)若接二极管，开关S断开前，二极管反向偏置

(二极管阳极电位低于阴极电位)，二极管不能导通。

故立(0)与前面一样，即"(0-)=3A,有u(0+)=ZL(0-)=3AO

S断开后，由上面分析可知，二极管正向偏置，二极管

导通，将电压表短接，电路的时间常数

T2=1.5/40=0.04s

t

则3L=k°+)。1=3e-26-7lAt20

可见，二极管VD起到了保护电压表的作用，同时

也使开关S两端避免承受高电压，保护了开关触头不被

电弧烧毁。该二极管VD一般称为续流二极管。

§3-3一阶电路的零状态响应

电路在零初始状态下，即MC(0+)=WC(0.)=0,IL(0+)=

"(0.)=0时，由外施激励引起的响应称为零状态响应。

一、RC电路的零状态响应

r=o时开关S闭合，如图3-3・1所示电路，根据KVL图3-3-1

可得Ri+uc=Us0

.due

而"f

代入上式得

RC^^~Uc=us、

以/20(3-3-1)

初始条件〃c(O+)=〃c(O-)=O

式(3-3-1)是一阶线性非齐次微分方程，由高等数学

可知，该方程的完全解为

u=uch^ucpf20(3-3-2)

式中〃Ch为对应的齐次微分方程的通解，简称齐次解，

其形式和RC电路的零输入响应形式相同，为

"=/NO(3-3-3)

式中〃Cp为非齐次微分方程的特解。从数学中可知，特

解是满足非齐次微分方程的任一解。显然，换路后uc

的稳态值(/=8时的值)，必满足方程，是它的一个特

解。由图3-1-1所示电路，可求得

wcp=wc(00)=U&(3-3-4)

齐次微分方程的完全解为

t

x

%=4c+USf20(3-3-5)

式中积分常数A由初始条件来确定。令上式中占0+,并

将初始条件代入，则有

MC(O+)=A+(/S=()

故

4=-U.

将积分常数A代入完全解，得

t

幺=u$(leI)(3-3-6)

；『噜二者

r>0(3-3-7)

〃R=R，=RC*^^=u

r>()(3-3-8)

它们随时间变化的曲线如图3-3-2所示。

从函数式和曲线可以看出，电容电压从起始的

零值按指数规律上升，最后趋近于Us,这个过程是电

容充电过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增

加的过程。而电流，则是从它的初始值开始，按指数规

律衰减至零。“R变化亦是如此。〃c、〃八i的变化快慢

图3-3-2

同样取决于电路时间常数T,它与零输入相应的丁的计

算方法相同。注意，〃c是连续变化的，而片。时，•发生

了跃变，“R亦发生了跃变。

例3-3-1如图3-3-3(a)所示,开关S闭合前电

路已经稳定，电容无初始储能。/=0时开关S闭合，求

/20时的电压和ic»

解首先根据戴建宁定理，求出开关S闭合后电

容两端的等效电路为如图3-3-3(b)所示。其中

K岛6X3

“标=b=2"

9

U℃=E3=3V

(b)

时间常数r=(/?eq+/?,)C=(2+3)X2=10S图3-3-3

零状态响应电压

=3(l-c”)v/20

据元件的VAR,得

dur

£=C才=0.6^-0-UA

二、RL电路的零状态响应

，=0时开关S闭合，根据两类约束，列出

图3-3-4所示电路的电压方程为

Lj=%

/20

初始条件/£(0+)=//.(0-)=0

式（3-3-9）也是一阶线性非齐次微分方程。

仿照前面的求解过程，可得出此方程的完全解为

4号》，）BO（3-3-10）

式中Us/R为该电路孔的稳态值，『为电路的时间常数

且r=R/L。

电感电压

duc——

也=L~dT=Us^X/>0(3-3-11)

电阻电压

t

图

Rix3-3-5

=L=Us(1-e)z>o(3-3-12

辽、以、〃/?随时间变化的曲线如图3-3-5所示。

例3・3・2在图3-3-6所示电路中，已知/s=10A,

L=2H,R=80Q,/?2=200Q,R3=300Q,心二50Q。开

关S原来是闭合的，电路已稳定。在/=0时将开关S打

开，求S断开后"、〃〃利i随时间变化的规律。

解在开关S打开前，电路已处于稳态，由图（a）

可知，"（0+）=〃（0-）=0,故是零状态响应。根据戴维宁定

理，求出S断开后等效电路如图（b）所示。其中

CC200X300

%q=©-=80+200+300=2000

(b)

图3-3-6

R1R?200X300、,

U℃=(处+益烷/=(8。+200+300)X10V=2000V

时间常数r=L/R=2/(200+50)S=0.008S

得电感电流为

IL=8(l-e-,25/)f20

再根据电感的VAR,可得电感电压

〃L=Z半L=2UU0e-125ty

Ldt/>0

电路电流(2+8e"25t)A；>0

§3-4一阶电路的全响应

如果一阶电路的初始状态和输入激励都不为零,

即电路受到初始状态和输入共同激励时，电路的响应称

为全响应。一阶电路的全响应一般可以由两种分析方法

求得。

方法一：全响应=暂态响应分量+稳态响应分量

方法二：全响应二零输入响应分量+零状态响应分量

应用第一种方法进行分析。

如图3-4-1所示电路，在开关S闭合前，电容己

被充电至Uo,即uc（0-）=Uo。在1=0时，开关S闭

合，将RC串联电路与电压为小的直流电压源接通。

换路后，一阶RC电路既有输入激励，初始状态又不6s

为零。按照图中电压、电流参考方向，根据KVL和元

件的VAR建立电路的方程为图341

/20(3-4-1)

初始条件«C（0+）=MC（0.）=i/o

式(3-4-1)的完全解为齐次解和特解之和,即

〃c="ch+ucp=/e1+u(°°)=/e'~+U

cs/20

由初始条件可得A=〃c(O+)-〃c(8)=Uo-Us

于是得电路的全响应电容电压为

x

“E火（。+）火（8）］e，+气（8）=（Uo-Us）e+1JS，、八“i”

暂态响应稳态响应

下面应用第二种方法进行分析。

由于全响应是由电路的初始状态和输入共同产生

的，即可以认为，在,20时作用于电路的激励有两种：

一种是电路的初始状态（动态元件的初始储能）；另一

种是输入激励。因此，根据叠加定理，电路的全响应是

两种激励单独作用时产生的响应之和，即零输入响应和

零状态响应，如图3-4-2所示。图3-4-2（b）电路的零

SR

输入响应电容电压分量为

u5

c=Uo

图3-4-2(c)电路的零状态响应电容电压分量为

t

I),20

所以，电路的全响应电容电压为

I」

“c="/+u(：”=Use1+(Uo-Us)e'r，o[3.4-3)

繇叭响应分t零烟俪冽量

比较式(3-4-2)和式(3-4-3)可见，两种分析方法所

得结果完全一致。

下面求解图3-4-3所示RL电路的全响应，按照

图中标定的电压、电流参考方向，根据KVL及元

件VAR,可列出电路的微分方程

rdiL

LK+RL=US

(3-4-4)

初始条件/L(0+)=/£.(O-)=/o

根据对电路全响应分析方法，可得出

…。一用.+与

(3-4-5)图3-4-3

式中T=L/R

§3-5一阶电路的三要素法

一、三要素法

对于RC一阶电路的全响应，由式(3-4-2)可知

Tux

^c-[«c(O+)-«c(°°)]+c：°°)=(Uo-Us)5+Us

上式表明，是由〃c(0+)、”c(8)和「这三个要素确定的。

对于RL一阶电路的全响应，由式(3-4-5)可知

廿S一生)厂+与

也是由江(0+)、江(8)和丁这三个要素确定的，其中五(O+)=/o,>(8)=US/R。

同样，可知一阶电路中的其他响应(ic、皿、"、〃/?)也是由其初始值、

稳态值和时间常数三个要素确定的。总结上面分析所得到的一阶电路全响应解

答式的结构规律，可以得出一阶电路对直流激励的全响应的一般表达式为

我=［私)/8)］大8)/>()(3-5-1)

式中，/«)表示电路任一求解变量电压或电流；/(0+)表示该求解变量电压或电

流的初始值，八8)表示该求解变量电压或电流的稳态值；T表示电路的时间常

数。/(0+)、/(8)可以为正值，也可以为负值。为负值，说明其实际方向与参考

方向相反。

因此，在分析一阶电路的所有响应时，只要知道它们的/(0+)、/(8)和T

这三个要素，就能直接应用式(3-5-1)快捷地写出它们的表达式。这种分析方法

称为一阶电路的三个要素法，式(3-5-1)也称为“快速公式，

从微分方程解的垢构形式而言，它是微分方程的齐次解和特解之和；从动

态电路的响应的结构形式而言，它是暂态响应分量和稳态响应分量之和。

二、三要素法解题步骤及应注意的问题

(1)求初始值/(0+):按§3-1中介绍的方法求解。

(2)求稳态值/(8)：画出换路后々8时的直流稳态等效电路，在此电路

中电容代之以开路，电感代之以短路，其它电路元件不变。用分析电阻电路的

方法,求出所要求的变量的稳态值/(8)。

(3)求时间常数r：同一电路只有一个时间常数。画出换路后除源(即

将电压源短路，电流源开路)的等效电路，求出从动态元件两端看进去的戴维

宁等效电阻Req。对含有电容的一阶动态电路，其时间常数为r=RcqC,对含有

电感的一阶动态电路，其时间常数为HReq。

(4)求响应将/(0+)、/(8)和T代入“快速公式”式［(3-5-1)］。

例3-5-1图3-5-1(a)所示电路的开关S原来

合在“1”端很久，在t=0时S合向“2”端，用三要

素法求00时，电容两端电压和电流ic,并绘出它①

们随时间变化的曲线。

解(1)求初始值〃c(0+)

作片0一时的电路如图3-5-l(b)所示，因为开关合

上前，电路已进入直流稳态，故电容代之以开路。由

此求出

*加算V=2V

6+3

根据换路定则

MC(O+)=wc(0-)=2V

(2)求稳态值〃c(8)

作换路后7=8时的等效电路如图3-5-l(c),此时

电路进入直流稳态，故电容代之以开路，可求得

-3

〃48)=亦、6=-2V

b+5

(3)求时间常数r

r=/?eqC,Req为换路后从电容两端看进去的戴维

宁等效电阻。其等效电路如图3-5-1(d)所示c注意

将电路中的电压源短路。求得

6X3

"讨=2。

电路的时间常数7为

2xis=18

(4)求uc>ic

将〃c(0+)、〃c(8)和「代入式(3-5-1)可得

uc=[2-(-2)le/+(-2)=(4ez-2)V

ic=-2e'*A/>0

绘出〃c、ic的波形如图(e)所示。

图3-5-1

例3-5-2如图3-5-2(a)所示，开关合在1端

时电路已经稳定。，=0时，开关由1端合向2端，

用三要素法求/>0时的i和〃人

解(1)求初始值，(0+)、—(0+)

需画出片0一的等效电路，求出IL(0-)。开关

在1端位置时，电流ii(0-)为

O

〃(0-)=1=2A

根据换路定则，得

a(0+)=IL(0.)=2A

作出/=0+的等效电路如图(b)所示，其中电

感代之以电流源，其大小和方向与"(0+)相同，则

可求出。

/(0-)=(2-2)=0

wz.(0+)=[-2X2+2X0]=-4V

(2)求稳态值i(8)、〃z.(8)

f=8时，电路处于换路后的直流稳定状态，

电感代之以短路，作出片8时的等效电路则如图

(c),可求得

2

"8)=药X2=U

Z/L(°°)=0(d)

图3-5-2

(3)求时间常数r

换路后等效电路如图(d)所示。求得

Req=(2+2)Q=4Q

则时间常数

7=0.1/4=0.025s

(4)求z、UL

i=(1-e-40/)Ar>0

UL=-4e-40/Vr>0

例3-5-3图3-5.3所示为RC延时电路，通过

电压〃AB来控制一继电器，当〃ABE1V时，继电器动

作。已知S闭合前z/c(O+)=O,现要求S闭合后经

5s继电器动作，试选括R、C参数。

解利用三要索法求“AB。

根据换路定则可知

MC(0+)="c(0-)=0

而WAB(0+)=wc(0+)—5V=—5V

由于“c(g)=(5+5)V=10V

则Z/AB(°°)=uc(°°)-5=(10—5)V=5V

由三要素法求得

HAB=[MAB(0+)—MAB(°°)]MAB(00)

=[(-5-5)e-//f+5]V=(5-10e//f)Vr>0

现要求/=5s时，Z/AB=1V,代入上式得

1=5-10e"

即e-t/rT=4/10=0.4

故r=/?C=-5/lnO.4=5.46s

若选C=47uFc__

则R=116.2kQ

例3・5・4电路如图3-5-4(a),已知

R产R2=4Q,/?3=2Q,C=1F,〃c(0-)=0。t=0

开关S闭合，