2024年广东省广州大学附中中考数学一模试卷

2024年广东省广州大学附中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）（其中第4、6题包含解题

视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）

1.（3分）在3,-7,0,四个数中，最大的数是（

9

A.3B,-7C.0D-

g

2.（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）

lEffi

任任

3.（3分；某公司5名员工在一次义务募捐中的提款额为（单位：元）：30.50,50,60,50.若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐

款额的数据时，不受影响的统计量是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

4.（3分）下列计算正确的是（）

23

A.a2+a，=a，B.3Q-a，=2aC.(ad)=a3b2D.(a+b)2=a2+b2

(3z—1>x4-1

5.(3分)不等式组{7的解集是()

+4>4x-2

A.1WX2B.xWlC.z>2D.l〈xW2

6.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透货折射后，其折射光线与一束经

过光心。的光线相交于点P，点F为焦点.若Nl=155°,/2=30°,则N3的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

第I贝/共23页

7.（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文羽的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票,

他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让

小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和"立夏”的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6842

8.（3分）关于x的函数y=kx-k和y=g（k手0）在同一坐标系中的图象大致是（）

9.（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到90。里外的城市，需要

的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度•设慢马的速度

为z里/天，则可列方程为（）

9__WK_

fife13c.也+1一宗-3

22n41X

10.（3分）已知二次函数；U=，+aHL=（二・i"/7.，）（«A.1：,为常数[，若VX]<Z|v3,|W=a+/）,则（）

A.-3<t<0B.-Kt<0C.-l<t<3D.0<t<3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）（其中第3题包含解题视痂，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行杳看）

1.（3分）某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学记数法表示这个数为米.

2.（3分）分解因式：2m2-8=

第2贝/共23贝

3.（3分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物y/m.线各彳邛沸t

上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足座数关系式P=

-2r+4x+l,则喷出水珠的最大高度是m.

4.（3分）在Rt△ABC^,a=90。/8=30。,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点

E,F;再分别以点E,F为圆心，大于-EE的长为半径面弧，两弧交于点P,作射线AP交BC

于点D则CD与BD的数量关系是

5.（3分）如图,AB是。。的直径，点C在圆上.将而:沿AC翻折与AB交于点D.若OA=3cm,BC

的度数为

6.（3分1如图,DE平分等边△/!/?。的面积，折叠ABOE得到△尸。瓦AC分别与DF,EF相交于

GH两点.若DG=m,EH="用含m,n的式子表示GH的长是

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（其中第2、8题包含解题视频，可扫描页眉二

维码，点击对应试题进行查看）

1.（4分）解方程：y2-2z=4.

第3页/共23贞

2.（4分）如图，AB[CD,^B=乙。，直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F,A

求证：Z.DEF=乙k

B

先化简，再求值：（1+舒）+高，其中X满足又一—1=1

3.（6分）

第I货/共如贯

4.(6分)为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如卜.两幅不完整的统计

视力情况扇出统计图

视力情况条形统计图

A.1E常

B.轻度视力不良

C.中度视力小口

D.重.度视力不R

根据以上信息，解决下列问题:

(1)此次调杳的样本容量为

(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为°；

(3)请补全条形统计图：

(4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数.

第5页/共23页

5.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次谑数v=ix+5y=-24和

图象相交于点A,反比例函数y=5的图象经过点A.

(1)求反比例函数的表达式：

(2)设一次函数y=：x+5的图象与反比例函数y=；的图象的另一个交点为E,连接

0B,求△48。的面积：

(3)根据图象直接写出关于x的不等式：x+5＞与的解集.

22

6.(10分)2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功。航模店看准商机,推出了“神舟”和“天宫”模型.已知

每个“大官”模型的成本比“神舟”模型低20$,同样花费320元，购进“天汽”模型的数量比“神舟”模型多4个。

(D“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？

(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模

型的利沏为w元.

①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)：

第6贞/共23或

②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？

最大利润是多少？

7.（10分）如图，已知点M是PB上的一个定点.

（D尺规作图:请在图1中作00,使得00与射线PB相切于点M,同时与PA相切,切点记为N：

⑵在（1）的条件下,若^APB=60。,PN!=3,则所作的。0的劣弧而与PhPN所围成图形的面积是

AA

B

（图1）（图2）

续1货/共23员

8.（12分）定义:平面直角坐标系xOy中,点P（a：b）,点Q（c,d）,若x=上Qad=其中k为常数，Hk<0,则称点Q是点P的

“k级变换点”，例如，点（-1，6）是点（2,3）的“-2级变换点”.

（1）函数y=的图象上是否存在点（1,2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由；

22

⑵动点.4«曰-2）与其“k级变换点”B分别在直线I/上，在上分别取点（m»yi）,（m»v2）,k<-2,^求证：以

yzN2;

（3）关干x的二次函数y=nx2-4nzSn（z、0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y=-r+5上，求n的取

值范围.

9.（12分）如图1,在△48。中，48=比,点乂不分别为边AB,BC的中点，连接MN.

初步尝试：（DMN与AC的数量关系是J（N与AC的位置关系是.

特例研讨：⑵如图2,若^BAC=90°,8。=4近，先将48''绕点1）顺时针旋转<1（<1为锐知），得到△6£F,当点A,E,F在同

直线上时，AE与BC相交丁•点D,连接CF.

①求乙BCF的度数:

②求CT的长.

深入探究：⑶若4BAC<90。,将aBM/V绕点B顺时针旋转a,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角a满足0>VaV360。,点

C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究LBAENA8E与的数量关系，并说明理由.

笫B页/共23页

AA

M

B7A

3BC

图I图2

第9页/共23贞

2024年广东省广州大学附中中考数学一模试卷（答案&解析）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（其中第4、6题包含解题视

频，互扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）

I.解.7VOV：V3,

最大的数是3,

故选：A.

【解析】运用有理数大小比较的知识进行求解.

2.解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2,1,1,

故选：D.

【解析】从上往卜.看，看到平面图形就是俯视图,选择正确选项即可.

3.解：依题意，捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，方差都要用到第一个数，

故不受影响的统计量是中位数。

故选:B.

【解析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解.

4.解a2+a4=a6,

."A选顶的运算不正确，不符合题意：

3al-a=2a3,

••.B选顶的运算不正确，不符合题意；

z（a/）3=加，

.•.C选顶的运算正确，符合题意：

:（a+h）2=a2+2ab+b2,

，D选项的运匏不正确,不符合题意。

故选:C.

【解析】利用同底数后的乘法法则，合并同类项的法则，茶的乘方与积的乘方法则和完全平方公式对每个选项进行逐•判断即可得出结论“

第1(1页/H23J1

f3x-1>x+10

>解：lx+4>4x-22

由①移项，合并同类项得：2x32,

系数化为1得:x2l;

由②移项,合并同类顶得：-3x>-6,

系数化为1得:x<2.

则原不等式纸的解集为：lWx<2,

故选：A.

【斛折】n"先解两个不等式求得各口的斛染，然后取它们解柒的公共郃分即可.

6.解：TABI0F,

.,.Zl+Z0FB=180

VZ1=155°,

二/OF代25°.

VZP0F=Z2=30e.

.23=乙ROF+乙OFB=300+25°=55°.

故选:C.

【解析】由平行线的性质求出NOFB=25°,由对顶角的性质得到4ROF=42=30。,由三角形外角的性质即可求出N?的度数,

7.解:将“立春”“立夏”“秋分”“大获”四张邮票分别记为A.B.GD,画树状图如下:

开始

共有12件等可能的结果,其中小乐抽到的两张那票恰好是“立春”和“立见”的结果有：AB.BA,共2种.•小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”

和“立更”的概率为-=

126

故选:A.

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张眦票恰好是“立春”和“立夏”的结果数,再利用概率公

第11页/共23页

式可用出答案。

8.解：A、由反比例函数图象可得k>0,所以一次函数y=kx-k应经过一、三、四象限，故A选项不合题意:

B、由反比例函数图象可得A<0,所以一次函数y=kx-k应经过一、二、四象限，故B选项不合题意;

C.由反比例函数图象可得k>0,所以一次函数y=kx-k应经过一、三、四象限，故C选项符合题意：

D、由反比例函数图象可得&<0,所以,次函数y=Zr-k应经过一、二、四象限，故D选项不合题意:

故选:C.

【解析】根据反比例函数判断出k的取值，进而判断出一次函数所在象限即可.

9.解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，

根据题意，得—-1=—+3.

x2z

故选:D.

【解析】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程.

10.新：y="2+az+b=(x*Zi)(x-Zz),二次项系数1>0,

抛物线开口向上，与z轴交点坐标为((4,(0),(孙，0),1〈心<孙<3,

；.x=l时，y=l+a+b>0,即1+C0,

又对称轴r=-1,

此时丫=6~彳<0,

a+bV彳+a=：(a+2尸-1,

1<+«3,

.6<a<-2,

-1<J(a+2)2-l<3.

综上所述，增取值范围是TCC3.

故选C

【解析】由二次函数解析式得到抛物线与z轴射两个交点坐标(X/0),(M，：))；然后由二次函数解析式与一元二次方程的关系以及根的判

2

别式得到a-4b>0;结合根与系数的关系知：x,+x,=-a,Xlx2=b最后根据限制性条件Vz1<z?<3列出相应的不等式并

解答。

二、侦空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)(其中第3题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)

第12页/M23页

1.解：0.00025=2.5x10s,

故答案为：Z.5x1O-.

【解析】绝对位小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXlOf与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数於，指数由原数

左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.解：2m2-8,

=2(m-1),

=2(m+2)(m-2).

故答案为：2(m+2)(m-2).

【解析】先提取公因式2,再对余卜的多项式利用平方差公式维续分解因式.

3,解：:y=2x2+4z+1=2(x-I)2+3,

二当x=l时,y有最大值为3,

-♦喷出水珠的最大高度是3M.

故答案为：3.

【解析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值,即可得出水珠达到的最大高度.

4.«:VZC=90a,ZB=30*,

ZCAB=900-30°=60°,

由作图可知AD平分/CAB,

.,.ZCAD=ZBAD=30",

.".AD=2：D,

VZBAD=ZB=30°.

.••AD=DB,

--.BD=22D,

故答案为:BD=2CD.

【解析】证明AD=DB=2CD,可得结论.

第13页/共23页

5.解:如图，作D关于AC的对称点E,连接AE,BE,0E,

则AD=AE,

•••8c的度数为(0°,

.-.ZCAB=20°,

.,.ZEAB=2ZCAB=40°,

.,.ZE0B=2ZEAB=80",

/.ZA0E=180°-80°=100°,

,,..…„2布改33

AE的k度为------=~rr,

3603

二4。的长度为-7T.

3

故答案为：-TT.

3

【解析】作D关于AC的对称点E,连接AE,BE,0E，则而=族，然后再根据正的度数为40°知NCAB=2(T,然后再根据圆

周角定理、邻补知性质可得NA0E=180°-80°=100：最后运用弧长公式即可解答.

6.解：:•△ABC是等边三角形，

.*.ZA=ZB=ZC=60",

•折段ZXBDE得到△FDE,

.,.△BDE=AFDE,

•S.DDE1sslADE-£F=Z.£?=6O®=Z.J4=£C.

•••DE平分等边的面积，

图形ACED的面积=SJDE=SJDE，

SjHO=SADC+SCHE，

VZACD=ZFGH,ZCHE=ZHIG,

.,.△AC-G-AFHG,△CHE-AFHG,

l共23观

【解析】根据等边三角形的性版得到/'=/B=NC=60°,根据折登的性质得到△1«）£=△「口£,根据已知条件得到图形ACED的面积

求得$FHGTADG-=、；/“『、［/3Y形的判定和性质定理即可得到结论。

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（其中第2、8题包含解题视频，可扫描页眉二

维码，点击对应试题进行查看）

1.解:配方x】-2x+1=4+1

(x-1)2=5

x=1±V5

必=1+y/5,x2=1-A/5.

【解沂】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解

2.证明：・「AB〃(:D,

/.ZDCF=ZB,

VZB=ZD,

，NDCF=ND,

.'.ADEC,

.•.ZDEF=ZF.

【解析】由平行线的性版得到NDCF=NB,进而推出NDCF=ND,根据平行线的判定得到AD|BC,根据平行线的性质即可得到结论。

3•解：(1+L)+-7"-

\xfl/*z.2z.i

=(詈吨)+署

_2

-MF

2(X41)

~2(x+iy

+x2+x-1=0,

X2=X+1.

原式-迎山一2,

【解析】先把括号内通分和除法运算化为建法运算，再约分得到原式=等，然后根据犬7-1=0,得*2=x+i,最后把

产=工+1代入计算即可

4.解：（1）此次调查的样本容量为：117+26炉450,

第1S央/M23W

队百米八。”

⑵扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360x^=3遍故答案

为：36：

(3)样本中B的人数为：450-15-117-23=55(A).补

全条形统计图加下：

视力情况条形统计图

ABCD视万情况

(4)25010x—=2500(人).

答：其中视力正常的人数大约为2500人.

【解析】(1)用C的人数除以C所占百分比可得样本容量：

(2)用360°乘A所占比例可得答案：

(3)用样本容量分别减去其它三部分的人数.可得3的人数，进而补全条形统计图:

(4)用该地区九年级学生总人数乘样木中A所占比例即可.

■x=-2

5.解:⑴联立V=；"+S',解得

y=4

(y=-2x

、y=4

.•.A点坐标为(-2,4).

将A(-2,4)代u=?，入4=

薄一&

...反比列函数的表达式为P=-；;

1

y=-x+5,r

(2)联立28解得ex=-2x=-8

y=--Iy=4

4,y=i

1).

在y=gx+5中，令y=0,得x=-10.

故直线AB与x轴的交点为C(T0,0).

如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交z轴于M、、两点，

则：AOBSADH~SDl>C~~>0C'AM>~+OC•BN=；X10X4+：X10X1=15.

(3)关于X的不等式-X+5>与勺解集为-8QC2或x>0.

22

革16贝/共23仪

【解析】（D联立y=-x+5求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得,

y=-2x

（2）求得B、C的坐标，利用SA08=S.4X_SDO求得即可：

（3）根据图象即可求得.

6.解：（1）设‘'神舟"模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（l-2O0）x=0,84（元）.

根据题意得：—=--4,

208x

解得X=20,

经检验,x=20是原方程的解.且符合实际意义，

0.8x=16（元），

答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；

（2）①设购买“神舟”模型a个,则购买“天宫”模型（100-a）个，

则”（35-20）a+（25-16）（100-a）=6a+900,

:.乂与£的函数关系式为a=6a+900;

②•・•购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半,

:a<；（100-a）,

解得“£吟

•••w=6z+900,4>0,a是正整数,

当x=33时，w最大，最大值为1098,

答：姨进“神舟”模型33个时，销件这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元。

【解析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1-21）（元），根据同样花费320元，购进“天官”模

型的数盘比“神舟”模型多4个.列出方程，解方程即可,注意验根；

（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100-a）个，根据总利润=两种模型利润之和列出函数解析式即可：②根据购进“神舟”

模型的数量不超过“天官”模型数靖的一半求出a的取信范国，由函数的性质求最俏即可.

7.解：（1）如图,。0为所作;

⑵「PM和PN为。0的切线,

.ON1RV,乙“网=£,W==£4用=30.•

:•乙OMP=AONP=90°,

第1?贞/共23Pl

4MON=1800-2/lry=120\

在RtAPOM中，•.,NMPO=3O°,

vOM=—PM=—x3=V3,

33

.•.00的劣弧而与PM、PN所用成图形的面积

*§曲MMo'-S第给“a〉

=2x；x3xV3-^±Z）：

430

=3V3TT,

故答案为36

【解析】⑴先作NAPB的平分线PQ,再过M点作PB的垂线交PQ干点0,接着过0点作0N//1于N点，然后以0点为圆心，0M为半

径作圈，则。0满足条件：

(2)先利用切线的性质得到0M1PB.ON1PN,根据切线长定理得到Z.MPD=Z.NPO=30。,则LM0N=12)。,再利用含30度角的直角三

角形三边的关系计算出。河=遍，然后根据扇形的面积公式，利用O0的劣弧而W与PM、PN所围成图形的面积

(S”能/N〃OX-s,u/。对进行计算•

8.⑴解:存在,理由：

由题意得，(1,2)的“k级变换点”为：(k-2k)

将(k,-2k)代入反比例函数表达式得：-4=k(-2k),

解得：k=±V2;

(2)证明：由题意得，点B的坐标为：(近，一；依+2k)

由点A的坐标知，点A在直线v=1z-2±,同理可得，点B在直线y=-：x+2〃,

2=~

则Vj=?n—2,v2~7n2+2k,

222

则：y,-y2=m~+m-2/c=m—2k-2,

♦.“W-2,则-2k-2+公>2,

即yi-72>2；

(3)解：设在：次函数上的点为点A、B,

设点A(s,t),则其“1级变换点”坐标为：(s,-t).

将(s,-i)代入y=-z+5得：-I=-s+5,

则，=$-5,

即点A在直线y=x-5上,

同理可得，点B在直线y=x-5上，

即点A、B所在的直线为y=x-5;

由抛物线的衣达式知，具和z轴的交点为：(-1,0)、山，0),具对称轴为x=2,当n)0时，

帼物线和百.线AB的大致图象如下：

知8天/共23页

直线和抛物线均过点(5,0),则点A、B必然有一个点为(5,0),设该点为点B,另外一个点为点A,如上图，联立直线AB和抛物线的表达式得:

y=nr2-4nx-5n=x-5,

设点A的横坐标为x,则「+5=午，

Vx>0,

.4n+1

则一.5>0,

1

解得:nWl,

此外.百纯AB和揪物线在x20忖有两个左点，和A=(~4n-I)2-4n(5-Snj=(6n-I)2>0.

故nwj,

即0<nWl且n<j；

当n<0时,

当x20时，直线AB不可能和抛物线在z20时有两个交点,

故该情况不存在，

综上,0<nWl且nK"6.

【解析】(l)^lh(l.2)的“k级变换点”的坐标,即可求解：

(2)求出点A、B所在的直线表达式，即可求解；

(3)先求出点八、B所在的直线为y=x-5,当n>0时，画出抛物线和直线AB的人致图象，求出点A的横坐标为x,得到*+5=等，即可求

解：当水0时，当xNO时，直线AB不可能和抛物线在x20时有两个交点，即可求解.

9.解*.(I)7AB=AC,淖分别为边AB,B0的中点,

...MN是aABC的中位战，

MN=^AC,MN\AC;

故答案为：MN=^AC,MN]AC;

⑵特例研讨:①如图所示，连接EM,MN,NF,

策194Z共23页

A

。MN是ABAC的中位线,

AMSAC.

二/BM岸/BAC=9（r.

•.•将绕点B顺时针族较a（a为锐角）.得到△BEF.

.,.BE=BM,BF=BN;ZBEF=ZBMN=90M,

♦.,点A,E,F在同一H在上,

AZAEB=ZBEF=90',

在Rt^AfE中,M是斜边AB的中点,

ME=\AB=MB,

.,.BM-ME-BE.

...△BMEE等边三角形.

...NABE=60",即枪传角a-60：

AZNBF-60*,BN=BF,

是等边二角形，

又•.•BW,BN=NF,

二NF=NC.

.,.ZNCF=ZNFC.

/.ZBNF=ZNCF^ZNFC=2ZNFC=6O,,

/.ZFCB-30*;

(2)如图所示，连接AN.

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A

F

-AB=AC,LBAC=90°BC=4反,

AB=yBC=4,^ACB=Z.ABC=45°

VZADN=ZBDE,ZANB=ZBED=90",

.•.△ADN-ABDI:,

DNAN2yf2后

・奇一族—-5--S