2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点09三角形的全等和相似(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点09三角形的全等和相似

压轴突破—2024年【中考•冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

I.如图，与是以点。为位似中心的位似图形，相似比为I：2,CO=CD,ZOCD=90°,若

8(1,0),则点C的坐标为()

A.(1,-2)B.(-2,1)C.(垃,一夜)D.(1,-1)

2.如图，己知A8_L8£＞，CDtBD,若用HL判定RtAAB。和RlBCD全等,则需要添加的条件是()

3.如图，“赵爽弦图''是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.连接AC,若AH

平分/CA。，且正方形EFG"的面积为3,则正方形ABC。的面积为()

A.6+3&B.4+20C.6+2y/3D.15

4.如图，在矩形纸片A8CO中，AB=2,对折矩形纸片ABC。，使4。与8c重合，折痕为EF,展平后

再过点3折叠，使点A落在EF上的点N处，折痕为8M.再次展平，连接BN,MN.有下列结论：①

乙\BM=4MBN=/CBN；②.KEN与.相似；③MV的长为1；④若〃，Q分别为线段BN上

的动点（不包含端点），则PN+0。的最小值是后.其中正确结论的序号是（）

A.①②③④B.①③④C.①②®D.®@

5.如图1,点E为矩形人BCO的边八。上一点，点P从点8出发沿BEfEDfDC运动到点C停止，点

Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是lcm/s.若点P、。同时开始运动，设运动时

间为，（s）,V4PQ的面积为）,（□/）,已知y与/之间的函数图象如图2所示.给出下列结论：①当0</工10

时，VBPQ是等腰三角形；②S△双二48cm）③14<f<22时，y=HO-5r；④在运动过程中，使得一A的

是等腰三角形的0点一共有3个：⑤当V8PQ与△8外相似时，［=14.5.其中正确结论的序号是（）

6.已知./WC的一边BC=5,另两边长分别是3,4,若P是ABC边BC上异于B,C的一点，过点P作

直线截，A8C,截得的三角形与原48。相似，满足这样条件的直线有（）条

A.4B.3C.2D.1

7.已知A8C的三边长分别为6,8,10,过4ABe的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两

个小三角形拼成,QEF,若乂与」）不全等，则这条剪痕的长可能为（）

A.4.8B.6C.2713D.8

8.如图，以正方形A8CO的两选8c和AO为斜边向外作两个全等的直角三角形8CE和D4Q过点。作

CG_LA少于点G,交AO于点〃，过点8作8/ACG于点/,过点。作OK18E，交所延长线于点K,交

CG于点L.若S凶边形ABIG=2s&BCE»GH=1,则0K的长为（）

二、填空题

9.如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形如果一个直角

梯形是“优美梯形”，它的上底等于2,下底等于4,那么它的周长为.

10.如图，在平面直角坐标系X0)，中，边长为4的等边ACMA的边在x轴上，C、D、E分别是八8、

OB、OA卜的动点.日满足“。=2人C,.连接CQ、CE,当点E坐标为时.与△人0?

相似.

11.如图，RtZ\A8C中，ZA=90°,>4B=6,AC=8,D,七分别是边A8,AC的中点，F为OE边上一动点,

FG工BC于G,G〃|8A交AC于，.

A

BG

(I)FG=；

(2)当JG”和.4?。相似时，FH=.

12.如图，在边长为4的等边必8C中,。、从尸分别是A8、BC、AC上的动点,且满足AO=2CF,DE//AC,

连接。F、EF.

A

(I)NbEC的度数为；

(2)当DE=时，」)斯和GEFC相似.

13.如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,

若小正方形和大正方形的面积分别为49和289,则图中直角三角形内切圆的半径为.

14.如图，中，AB=AC=\2cm,NB=NC,8c=9cm,点Z)为A4的中点.如果点P在线段BC

上以vcm/s的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4上由C点向A点运动.若点。的运动速度

为3cm/s,则当ZkB尸。与-COP全等时，u的值为.

15.如图，A4=18m,C4_LA8于斗，DB上AB于8,且AC=6m,点。从3向4运动，每秒钟走1m,

。点从4向。运动，每秒钟走2m,点P,Q同时出发，运动秒后，aCAP与APQB全等.

D

16.如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一

个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.若。=4,〃=6,则图中正方形的边长

为•

三、解答题

17,已知七是矩形A8CO的边C。上一点，连接AE交8。于点0,过点。作。尸_LA石于点G,交3c于点

(1)如图1，若初=k,求右的值.(用含攵的代数式表示)

BCDr

(2)如图2,设AK.4C的延长线交于点/，移动点£,使得NAD6=NAM£>.

①求证：△BDFS^\MDE；

②若BF=DF,求证：MG=CD.

18.如图，在等腰中，N4C8=90。，E为BC边上一点、,。为AC延长线上一点，且CE=C£),

连接B。，DE,AE,延长AE交8。于点G,。为A。的中点，P为射线0E上一点，连接。P,交AG延

长线于点Q,且PD=BD.

⑴求证：aACE^BCD；

(2)若G为8。的中点，求黑的值；

EG

(3府(2)的条件下，当OE_LOP时，求证：DE2=EGBD.

19.如图，已知正方形A8C。的边长是4,点£是8。边上一动点(点E不与点8、C重合)，点?是射线

A。上一点，且AE=EF,EF交AC于点P,PQJ-AE,垂足为0,PQ交射线48于点Q,设8石=机.

(1)若点£是8c的中点，求tan/CAE的值；

(2)若点。在A/3边上，求8Q的长(用含有〃?的代数式表示)；

(3)连接。£,若-BEQ与AOP相似，求座的长.

20.阅读与思考

请阅读下列材料•，并完成相应的任务.

规定：在一个三角形中，若一个体角是另一个内角度数的〃倍，则称三角形为“〃倍角三角形”.当〃=1时，

称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是T倍角一:角形''；当〃=2时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索

后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系.

如织，在ABC中，NBAC,NB,NC所对的边分别为a,b,c,若/BAC=2/B,则〃？

下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：

证法1：如图1,作/6AC的平分线A£),/.Z1BAD=ZCAD=-Z1BAC.

图1

/BAC=2NB,：.ZBAD=^CAD=NB

/ACD=^BCA,:..；ACD〜，8CA

.ACDCAD

设£>C=x,则AO=8O=a-x.

AC=b,BC=a,AB=c

b_Aa-x

：\=~b=~

b2=av,ci2-ax=be

a2-b2=bc

证法2：如图2,延长C4到点。，使得AO=A5=c,连接5Q,

⑴上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出三角形来加以证明的(填“全等”或“相似”).

(2)请补全证法2剩余的部分.

压轴热点考点09三角形的全等和相似

压轴突破—2024年【中考•冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，.048与.。CO是以点。为位似中心的位似图形，相似比为1：2,CO=CD,NO390。，若

8(1,0),则点C的坐标为()

A.(h-2)B.(-2,1)C.(V2,-V2)D.(1,-1)

【答案】D

【分析】利用已知条件求出。点坐标，再证明OCD为等腰直角三角形，连接6C,根据“三线合一”性质

求!H8C=：OO=1,进一步可求出C点坐标.

【详解】解：•・•OAA与.06是以点。为位似中心的位似图形，相似比为1：2,且4(1,0),

・•・。(2,0),

,:CO=CD,NOCD=90°,

・•・08为等腰直角三角形，

连接BC,

根据“二线合一”性质可知6c==1，

・••点。的坐标为：（1,-1）.

故选：D.

【点睛】此题考查位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，理解关于原点位似的两个图形对应点坐

标之间的关系是解题的关键.

2.如图，已知CDLBD,若用HL判定RiA48。和Rl/CD全等，则需要添加的条件是（）

A.AD=CBB.ZA=ZCC.BD=DBD.AB=CD

【答案】A

【分析】由图不可知8。为公共边，若想用HL判定证明RiZXABD和RtZ\CD8全等，必须添加AO=C8.

【详解】解：A3_L3。，CD1BD,

・•・ZABD=NCDB=90°,

AAD=CB、符合两直角三角形全等的判定定理HL,故该选项符合题意；

B.ZA=ZC,BD=DB,不是两直角三角形全等的判定定理HL,故该选项不符合题意；

C.BD=DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；

DAB=CD,BD=DB,不是两直角三角形全等的判定定理HL,故该选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理HL的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

3.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.连接AC,若AH

平分NC4。，且正方形EAG”的面积为3,则正方形的面积为（）

A.6+3&B.4+2>/2C.6+2V3D.15

【答案】A

【分析】设直角三角形的长直角边是。，短直角边是〃，得到(〃-与2=3,由，AH恒A//MASA),得到

DH=NH=b,由丝,aM(ASA),得到FM=N〃，因此="一方一〃=a—给，由AME^.ANH,得至lj

cr-b2=2ab，即可求出〃，b的值，由勾股定理即可解决问题.

【详解】解：设直角三角形的长直角边是“，短直角边是人

「•正方形EFGH的边长是a-h,

■正方形EPG”的面积为3,

/.{a-by=3,

a2+b2-lab=3»

-AH平分NDW,

:.^DAH=ZNAH,

NAHD=NAHN=WP,AH=AH，

:.,AH庠AHN(ASA),

:.DH=NH=b,

-AH//CF,

:.ZHAM=ZFCM,

FC=AH,^CFM=ZAHN=90°,

:.FM=NH=b,

EM=a—b—b=a—2J),

、ME〃HN,

[AMEs邓H,

;.ME:NH=AE:AH,

/.(a-2b)\b=b\a,

a2-lr=2ab,

,3

b2'=—,

2

r瓜

・・b=—，

2

(a-b)2=3,

2&4■布

~~r~

AD2=a2+b2=6+3>/2，

・••正方形48。£）的面积是6+3夜.

故选：A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角

形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题.

4.如图，在矩形纸片A8CO中，AB=2,对折矩形纸片A8C。，使4。与8c重合，折痕为EF,展平后

再过点A折直，使点A落在E/上的点N处，折痕为再次展平，连接8N,MN.有下列结论：①

ZABM=NMBN=/CBN；②"EN与"MN相似；③MN的长为1；④若尸，。分别为线段BM,用V上

的动点（不包含端点），则呐+八2的最小值是指.其中正确结论的序号是（）

A.①②③④B.①③④C.①②④D.①③

【答案】C

【分析】①如图，连接四，根据线段垂直平分线的性质得到*V=5N,根据折叠的性质得到=

推理出，ABN为等边三角形,得到NA3N=60。，于是得到NA8W=NM8V=NCBN=30。，即结论①正确；

②根据折叠的性质，可得N8NM=NE40=9O°,NB£N=ZA£7V=9O。，根据相似三角形的判定定理得到

BEN与相似，即结论②正确：

③解直角三角形得到MN=@BN=2^,即结论③错误；

33

④过A作AQ_L4N于。交于人则此时PN+PQ的值最小，且尸N+PQ=AQ,解直角三角形得到

尸N+R2的最小值是6.即结论④正确.

【详解】解:①如图，连接AN,

•.•后/垂直平分48，，4/7二用7.

根据折叠的性质，可得AB=BN,

:.AN=AB=BN=2.

二ABN为等边三角形,

:./ABN=W,

/ABM=4MBN=/CBN=30°,

即结论①正确；

②根据折叠的性质，可得NBNM=NBAD=9(F,/BEN=ZAEN=9()。,

:"BEN=NBNM,

/MBN=30°,NEBN=60。，../8WN=60。，

:"EBN=/BMN,

BEN与.BMN相似，

即结论②正确；

③〈ZABM=/MBN=30。,BN=AB=2,NBNM=/BAM=邓,

：.MN=^BN=空,即结论③错误；

33

④•.A点和N点关于对称，

•••过A点作AQJ.BN于。交8WFP,

此时尸N+PQ的值最小，且/W+PQ=AQ,

/ABQ=60°,AB=2，

AQ=—AB=6,

2

・•.PN+PQ的最小值是石•

即结论④正确；

综上分析可知，正确的是①©④，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质的应用以及矩形的性质和应

用，还考食了折叠的性质和应用.

5.如图1,点石为矩形ABCD的边八上一点，点。从点9出发沿庞:->£D->ZX?运动到点。停止，点

Q从点8出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是lcm/s.若点P、Q同时开始运动，设运动时

间为，(s),V8PQ的面积为y(cn?),已知〉，与/之间的函数图象如图2所示.给出下列结论：①当OVEWIO

时，VBPQ是等腰三角形；②S二48cn?；③14</<22时，)，=110-5f；④在运动过程中，使得4A的

是等腰三角形的。点一共有3个：⑤当V3PQ与相似时，［=14.5.其中正确结论的序号是()

D.①③⑤

【答案】D

【分析】由图2可知，整个运动过程分为3段，故点P到达E时，点。同时到达C,由此可知8C=8E=10,

区)=4,AE=4)-石£>=6,由勾股定理求得48=8,由此分别分析各命题的正误.

【详解】解：由图可知，BC=BE=10,ED=14-10=4,

四边形A8C£>是矩形，

AO=4C=I(),AB=CD.

AE=AD-ED=\0-4=6,

，AB=yjBE2-AE2=V102-62=8»

CD=AB=8.

对于①，当0<七10时，点P在BE上，点。在8。上，且80=8Q,

・•.V8PQ是等腰三角形，①正确；

对于②，S&BE=Jx/18xAE=Jx8x6=24cm2,②错误；

对于③，BE+ED=\4cm,BE+ED+DC=10+4+8=22cm,

・•・当14</<22时，点P在。。上，点。在C处，

y=lxl0x(22-/)=110-5r,③正确；

对于④，如图，以点A为圆心，延长为半径画弧，交跳于7当点尸位于［处时，是笔腰三角形;

以点A为圆心，AB长为半径画弧，交ED当点。位于匕处时，一A6P是等腰三角形;

作A8的垂直平分线，交.BE于P、,交C7）于乙，当点P位于乙或乙处时，，是等腰二角形.

综上，运动过程中，使得AA放是等腰三角形的点P一共有4个，④错误;

对于⑤，ABEA是直角三角形，

・•・当且仅当点P在8上时，NBPQ与△BE4相似，此时8Q=BC=10,PQ=22T,且ZA=NBQP=90。，

ABAEABAE

…BQPQaPQBQ'

（11,86T86

1022-/22-110

解得r=14.5或f=g（舍去）.

.•.当V8PQ与△4£4相似时，1=14.5,⑤正确.

综上可得，正确的有：®®®.

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与

判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键.

6.已知A8C的一边8c=5,另两边长分别是3,4,若，是A8C边BC上异于3,C的一点，过点尸作

直线截ABC,截得的三角形与原.ABC相似，满足这样条件的直线有（）条

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】由3C=5,另两边长分别是3,4,可知AABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所

得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.

【详解】解：如图，

•・・〃C=5,另两边长分别是3,4.

XV3、42=52，

.\ZA=90°,即ZiABC是直角三角形，

•・•过P点作更线截A/WC,则截得的三角形与△八有一公共角，

・•・只要再作一个直角即可使截得的三角形与R/A48C相似，

，过点。可作A8的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线.

故选：B.

【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组

角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似.

7.已知ABC的三边长分别为6,8,10,过4ABe的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两

个小三角形拼成若48C与4）所不全等，则这条剪痕的长可能为（）

A.4.8B.6C.2>/13D.8

【答案】C

【分析［本题考查了折叠问题，勾股定理及其逆定理的应用：根据勾股定理的逆定理得出，ABC是直角三

角形，且？B90?.根据题意可得这条剪痕可能是A8或BC边的中线.分别根据中线的性质以及勾股定理

求得CN=>f^,AM=2屈,即可求解.

【详解】解：如图，AA8C中，AB=6,8c=8,AC=10,

BMC

AD2+DC2-AC2，

.•“/WC是直角三角形，月.？B90?.

.•过.ABC的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成刀£F,ABC与1）EF不

全等，

「•这条剪痕可能是A8或BC边的中线.

如果这条剪痕是人8边的中线CN,那么AN=BNjAB=3,

2

ZB=90°.BC=8,

：.CN=^BN2+BC2=732+82=x/73：

如果这条剪痕是BC边的中线AM,那么BM=CM=1fiC=4,

/B=90°，A13=6,

AM=^AB2+BM2=V62+42=2713;

・••这条剪痕的K可能为2a.

故选：C.

8.如图，以正方形ABC。的两边8c和A。为斜边向外作两个全等的直角三角形BCE和DA尸，过点。作

CG_LA尸于点G,交AD于点H,过点、B作CG于点/,过点。作。K1BE，交即延长线于点K,交

CG于点、L.若S-6=GH=1,则OK的长为（）

„13

A.6B.—C.7

2

【答案】D

【分析】过点A作点W,连接AC,BD,设。产=4石=44产=。石=〃，

先证明四边形。/7GL是矩形，四边形CEB/和CEKL均是矩形，可得NDLC=NB/C=90°，CI=BE,再根

据，/XX"CB/,可得四边形。PGL是正方形，四边形CEAZ是正方形，从而得到4G=匕-。，CG=a+b,

3

DK=a+b,GI=h*再由S四边形儿孙—2s△伙下，口J"得b■?a,再根,据oAGHSDDLH，口］"彳导ab—b—a2=0»

39

从而得到。=3,b=^-a=-,即叮求解.

22

【详解】解：如图，过点A作AM_L6于点M,连接4C,BD，

・•・/F=/E=9()。,DF=BE,AF=CEtNDAF=NBCE,

设DF=BE=u,AF=CE=b,

VCG±AF,Bl入CG,DK上BE，

・•・NFGL=/LIB=ZBIC=NK=90。,

・•・NCB/+N5a=90。，

•・♦四边形A8CO是正方形，

ZCAD=ZACB=45°,CD=BC,"C8=90。，

AZC4F=ZACF,NDCL+N8a=90°,

Z.AF//CE,/DCL=NCBI,

：.CG±CE,

同理班;，

/.DK±DF,

・•・ZFGL=ZF=ZFDL=90°,

・•・西边形GL是矩形，

同理四边形CEBI和CEKL均是矩形，

；・NDLC=NBIC=90。,CI=BE

/.-DCL^CBl,

:・DL=CI=BE,

:・DL=DF,

・•・西边形。回GL是正方形，

:,DF=FG=BE=CI=a,AF/7DL,

同理四边形CML是正方形，

:・CL=CE=AF=BI=b,

AG=b-a,CG=a+b,DK=a+b,

:・Gl=b,

S；S边形ABIG=2SmCE，

・•・1(AG+Bl)xGI=2x-CExBE,

^\i^(b-a+b)xb=2x^ab,

•♦”-c<t

2

AF//DL,

"AGHS-DLH,

,AGGHb-a1

・・——=——,即[m----=----,

DLULaa-\

,ab-b-cr=0,

33

即ax—。—a-a2=0,

22

解得：a=3或。(舍去)，

,,39

-b==22f

DK=a+h.

2

故选：D

【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟

练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题

9.如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形如果一个直角

梯形是“优美梯形”，它的上底等于2,下底等于4,那么它的周长为.

【答案】8+2V2/2V2+8

【分析】根据“优美梯形''的定义，得到加从而得到NC8O=44)=90%缘=黑=空，

oCBL)CL)

推出皿)2=A&CD，算出8。=2及，再根据勾股定理，得至IJ4。、BC的长，即可得到该直角梯形的周长.

【详解】解：根据题意，作图如下，

A8co为直角梯形，

.•./HW=N/W9C=9(『，

+^ADB=9(3°,ZADHiZZ?£>C=90o,

.../ABD=4BDC,

直角梯形ABC。是“优美梯形”,

:.AABD^>JiDC,

ADABBD

...NC3Q=ZZMD=90°,——=—=—

BCBDCD

：.BD2=ABCD^

AB=2,8=4,

:.BD=y/M=2j2，

在R/ABD中，AD=S]BD2-AB2=5/8^4=2，

在RtZkBC。中，I3C=>ICD2-I3D2=>/i6-8=2>/2，

二咳梯形的周长=A8+3C+CO+OA=2+20+4+2=8+2&，

故答案为：8+272.

【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题

关健.

10.如图，在平面直角坐标系xQy中，边长为4的等边的边。4在工轴上，C、D、E分别是/W、

OB、OA上的动点，且满足BO=2AC,DE//AB,连接CD、CE,当点E坐标为时，CDE与AACE

相似.

【答案】存0）或（*。）

【分析】因为。E〃A8得到NDEC=/ACE,所以ZkCQE与zkACE相似分两种情况分类讨论.

【详解】•:DE//AB,

:.乙DEC=乙人CE,^ODE^^OBA,

•••△。。七也是等边三角形，则OQ=OE=Z)E,

设E(i,0),则OE=OO=OE=mBD=AE=4-a,

•••△CQE与“CE相似，分两种,青况讨论：

①当△CO£s^EAC时，则NOCE=NCE4,

：.CD//AE,

・•・西边形AEDC是平行四边形，

AC—</,

•・・BO=2AC,

.*.4-a=2<7,

.4

3

②当△CQEs^AEC时，ZDCE=ZE4C=60°=ZB,

・•・ZBCD+ZECA=180°-60°=120°,

又；NBDC+ZBC£>=180°-ZB=120°,

・•・ZBCD+NECA=N8OC+/BCD,

，乙ECA=4BDC,

:.XBDCsXACE,

.BDBC、

••==2,

ACAE

：.BC=2AE=2(4-d)=8-2。，

.,.8-2«+2--=4,

2

12

••a二—,

..喏q.

综上所述，点石的坐标为(*o)或(弓,a.

(41(12、

故答案为：-,o或-,0.

13/I3)

【点睛】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键.

11.如图，RtZ\A8C中，4=90。,A8=6,AC=8,D,£分别是边A比AC的中点，”为OE边上一动点,

"G_L4C于G,G"18A交AC于”.

A

H

B

(I)FG=

（2）当AFG"和JSC相似时，FH=

1236T9

【答案】芯或M

~5

【分析】（l）过人作于"交。石于N,利用三角形相似和面积公式，结合矩形的判定和性质计算

即可.

（2）根据三角形相似的判定和性质，分类计算即可.

【详解】（1）过A作FM交OE于N,

•ZA=900,A8=6,AC=8,

-BC=y]AB2+AC2=10»

•D，E分别是边A及AC的中点,

.DEBC,DE=-BC=5,

2

.ANIDE,MADEs丛ABC,

ANDE\

AM-SC-2J

.AN=NM=、AM,

2

,FGLBC,ANA.DE,AA/_LBC,

•四边形"NFG是矩形,

.MN=FG,

'-AHAC=-BCAM,

22

.10AM=6x8,

/.AM=

iI?

：・FG=MN=-AM==,

12

故答案为：y.

(2)VFG±BC,

・•・ZFGC=90°,

/.乙FGH十乙CGH=90°,

・.・GHIBA,

・•・ZG//C=ZA=90°,

/.ZC+ZCG/7=9O°,

・•・ZFGH=ZC,

当cFG”和A8C相似时,

①'HFG^ABC,

.ABBC

FHFG

・•・口"ABFG6

FH=-----------=-

BC

②△/773ZXA8C,

.FHFG

ABAC

12

・

:-F-H-一3,

68

369

综上所述，-7=宾或1，

4JJ

故答案为：”36或9

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理」矩形的判定和性质，熟练

掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.

12.如图，在边长为4的等边.ABC中,O、E、F分别是A3、BC、AC上的动点,且满足A。=2CF,DE//AC,

连接。尸、EF.

A

（I）NbEC的度数为；

（2）当DE=时，斯和-EFC相似.

【答案】30。/30度+或（

JJ

【分析】（1）找"的中点G,连接G/，根据,A8c为等边三角形和九.〃/1。，可证△CFG为等边三角形,

即可求出答案.

（2）分两种情况讨论：①若SEFrCFE,WOZDFE=ZFEC=30°,可证出四边形OEC尸是平行四边形,

即可求出答案：②若J）EF~月巾.则NET）尸=/在6=30。.利用锐角函数值即可求解.

【详解】解：（1）找左的中点G,连接GF,如图所示，

•・•为等边三角形，DE//AC,

：,AD=EC=2GC,ZC=60°.

VA£>=2CF,

:・CF=CG,

・•・△CFG为等边三角形，

：,GF=GC=GE,ZFGC=60°

・•・ZFEC=30°；

解：（2）由（1）知NCEF=30。，

•・・》3C是等边三角形，DE//AC,

:・BD=BE,/3=60°

・•・是等边三角形，

・•・ZBED=60°.

AZD^F=90°,

①若，DEF-CFE,

，/DFE=/FEC=30。,

则OE〃8C,

DE//AC,AF=AD=2CF,

・•・西边形。比户是平行四边形，△AO『是等边三角形,

；,DE=CF,

•・•等边ABC的边长是4,

Q

4

DE=CF=-；

3

②若,DEF—EFC,

JNEDF=Z.FEC=30°,则?ADF907,

VAD=2CF,

JAF=2AD=4CF,

丁等边ABC边长为4,

则人尸若，

•八厂的。6168>/3八厂G8gn

・・DF=cos30°-AF=--------=------,DE=cos3a0n°o•DnFr=-----------=—

255255

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题关

键,

13.如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，

若小正方形和大正方形的面积分别为49和289,则图中直角三,角形内切圆的半径为.

【答案】3

【分析】本题主要考杳了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平

方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高.解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质.

设内切圆的圆心为O,连接OE、OD,则四边形EODC为正方形，设宜角三角形内切圆的半径为小然后

利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+8C=A8+2r,根据已知条件得（AC-=49,A4?=289,

接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于r的一元二次方程即可.

【详解】解：如图，设内切圆的圆心为0,连接OE、0D,

则四边形EOOC为正方形，

设直角三角形内切圆的半径为r,

OE=OD=r=^(AC+I3C-AB),

:.AC+BC-AB=2r,

：.AC+BC=AB+2r,

:.(AC+BC)2=(AB+2r)\

：.BC2+AC2+2BCXAC=AB2+4AB-r+4r2，

^BC'+AC^AB-,

：.2BCxAC=4ABr+4r2®,

小正方形和大正方形的面积分别为49和289,

.\(BC-AC)2=49,后=289，

BC2+AC2-2BCxAC=49②，AB=17(负值舍去)，

把AB=17代入①得，28CxAC=68r+4/③，

把③代入②中，得：

r+17r-60=0,

.\(r-3)(r+20)=0,

.』=3(负值舍去)，

・•・直角三角形内切圆的半径为3,

故答案为：3.

14.如图，A8C中，A4=AC'=12cm,NB=NC,8c'=9cm,点。为AB的中点.如果点P在线段8c

上以vcm/s的速度山〃点向C点运动，同时，点Q在线段C4上山。点向八点运动.若点Q的运动速度

为女m/s,则当铀尸。与ACOP全等时，u的值为.

9

【答案】n=3或；

【分析】点P在线段8C上以vcm/s的速度由8点向C点运动，点Q的运动速度为3cm/s,运动时间为，,

则BP=wcm,CQ=3tcm,PC=(9-v/)cm,因为NA=NC,则再利用全等三角形的判定方法得到当

BD=CP,8Q=CQ时，△8。咋Z\CPQ,即gxl2=9-i”，vz=3/；当BD=CQ,3P=CP时,

△BO壮△CQP,即gxl2=3/,vr=9-vz,然后分别解方程即可.

【详解】解：运动时间为，由题意得，BP=\»cm,CQ=3/cm,PC=(9-v/)cm,

因为NA=NC,

当时，则B£)=C尸，BP=CQ,

即1x12=9-，vt=3t,

2

解得丫=3,/=Is；

当△8£)%4CQP时，BD=CQ,BP=CP,

即—xl2=3f,v/=9—>

2

9

解得甘=T，，=2s；

4

9

故当△BPD与cCOP全等时，I，的值为3或二，

4

故答案为：3或苫.

4

【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用哪

一种方法，取决于题目中的已知条件.也考杳了等腰三角形的性质.

15.如图，4B=18m,C4J,A3于A,DBA.AB于B,且AC=6m,点P从8向A运动，每秒钟走1m,

。点从〃向力运动，每秒钟走2m,点P,Q同时出发，运动秒后，CAP与全等.

【答案】6

【分析】设运动x秒钟后工CAP与△PQ8全等；则=80=2.vm,则”=08-x)m,分两种情况：

①若第=47,则x=6,此时AP="Q,▲C4g；P4Q(SAS)；②若BP=AP,则18—x=x,得出x=9,

伙2=2x=18工AC,即可得出结果.

【详解】解：・・・6_1_48于4,O8_LAB于8,

.,.ZA=Z^=90°,

设运动x秒钟后CAP与4PQB全等；

则8。=Am.8Q=2xni,则AP=(18-x)m,

分两种情况：

①若3P=AC,则x=6,

・•・A尸=18—6=12,3Q=12,

JAP=BQ,

At.CAP^PBe(SAS)；

②若8P=A尸，则18-x=x,

解得：x=9,

・•.8Q=2X=18HAC,

J1L0J,.C4?与△，Q〃不全等；

综上所述：运动6秒钟后cCAP与全等；

故答案为：6.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知以：本题难度适中，需要进行分类讨论.

16.如图，我国占代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一

个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.若。=4,b=6,则图中正方形的边长

为•

【答案】2

【分析】根据题意可得AG=AO=4,CF=CD=6,WJ4C=1D,设正方形的边长为人•，则AB=4+x,

8c=6+x,在RABC中，利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：由题意可得：AG=AD=«=4,CF=CD=Z?=6,

AC=a+b=10,

设1E方形的边长为x,则A8=4+x,BC=6+x,

在此3A3C中，AB1+BC2=AC2>UP（4+X）2+（6+X）2=102,

解得：x=2,x=-\2（舍），

・••正方形的边长为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查勾股定理的应用、解一元二次方程，根据勾股定理列方程是解题的关键.

三、解答题

17.已知E是矩形A8CD的边CO上一点，连接4E交8。于点。，过点。作。产_LAE于点G,交BC于点

F.

BC

图1

ALyAP

⑴如图1，若黑=攵，求等的值.(用含攵的代数式表示)

BCDF

(2)如图2,设AE.8C的延长线交于点用，移动点E,使得=

②茏BF=DF,求证：MG=CD.

【答案】⑴:

(2XD见解析；②见解析

sp4,)Hr

【分析】⑴证明△。如则而=五=前,即可得到结论；

(2)①证明/DBC=/AMD及ZBFD=/DEM,即可证明ABDFsAMDE.

②过点M作MN1AD,交A。的延长线于点N.证明△ODGS^OM。，贝ijNOQM=NOGQ=90。，进一

步得到N")M=NM£W.根据角平分线的性质得到MN=MG.证明四边形DCMN是矩形，则MN=CD,

即可得到结论;

此题主要考查相似三角形的判定加性质、矩形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相似三角

形的判定和性质是解题的关键.

【详解】(1)在矩形48CD中,

ZADC=ZC=90°,

.•.Z4£>F+ZCDF=90o,

DF1AE,

:.^ADF+ZDAE=9(r,

:"DAE=/CDF,

:.MDAESACDF、

.AEADBC

~DF~~CD~^B'

AB,

­：­=k,

BC

AE1

-------=—•

DFk'

(2)①•.AD//BC,

:.ZADB=ZDBC,

AADB=NAM。，

：./DBC=ZAMD,

由(1)知，ADAEs4CDF、

ZAED=NDFC、

..々BFD=2DEM,

：・MDFs^MDE.

②过点M作MV_ZA。，交人。的延长线于点N,

BF=DF,

:2DBF=/BDF，

/DBF=ZAMD=ZADB,

/.ZBDF=ZAMD=ZADB

/DOG=NMOD.

:△ODGSAOMD,

:"ODM=ZOGD=W,

/ADB+/MDN=90°,ZBDF+"DM=90°,

/FDM=ZMDN,

DFl.AM、MN工DN,

:.MN=MG，

・.・/N=4DCM=ZCDN=90。,

二•四边形OCMN是矩形，

:.MN=CD,

:.MG=CD.

18.如图，在等腰Rt^A8c中，ZACB=90°,E为BC边上一点，。为AC延长线上一点，且CE=CO,

连接BO,DE,AE,延长AE交80于点G,。为AO的中点，尸为射线OK上一点，连接OP,交AG延

长线于点Q,且，

（1）求证：ACE^BCD；

Ap

（2）若G为80的中点，求黑的值；

EG

⑶在（2）的条件下，当OEJLOP时，求证：DE2=EGBD.

【答案】（I）见解析

⑵2（夜+1）

（3）见解析

【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，根据等腰三角形的性质的到边相等角相等，结合CE=CD即可

得到证明；

（2）本题考查三角形相似的性质与判定，证明N£8G=/O8C，结合三角形全等的性质得到，BGE^.BCD

即可得到答案；

（3）本题考查三角形相似的性质与判定，延长E0至点尸，使得=连接£）尸，先证△人物△DO产，

再证，DG£S：P£O,即可得到答案；

【详解】（I）证明：・・•在等腰RtAABC中，Z4CB=90°,

：.AC=BC,ZBCD=90°,

ZACB=ZBCD=90°,

-CE=CD,

ACE^.BCD；

（2）解：由（1）知

Z.EAC=NDBC,AE=BD,

"BEG=ZAEC,

乙BEG+ZDBC=ZAEC+/EAC=90°,

:./EGB=1800-90o=90°,

G为8。的中点,

..AG垂直平分/，），

/.BE—DE，

在RtaCED中，BE=DE=>ICE2+CD2=>/2CD'

4EBG=/DBC,

BGEsBCD,

BGBCBE+CE（&+l）8r-

.・-=-------------------------------