2025-2026学年下学期山西运城高三数学4月二模试卷（含答案）

运城市2026年高考考前适应性测试高三数学试题2026.04本试题满分150分,考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。注意事项:1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线x26A.25B.262.设集合A={xx∣>A.2,6C.−∞,+∞D.−∞,−3.运城，因“盐运之城”而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称“盐运专城”.甲、乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区(含运城盐湖和鹳雀楼)中各选3个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有A.200种B.225种C.300种D.400种4.若函数fx=tanωx−π6ω>0A.kπ2+C.kπ+π5.函数fx=lgA.4,+∞B.2lg2,+∞6.设正数x,y分别是复数z的实部、虚部,且z+2z+A.49B.13C.7.已知点A2,1在椭圆C:x29+y2m=10<m<9的内部,F为C的左焦点,P为A.0,13B.138.若b+3x−1lnx≥axa>0A.13C.32二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若sinπ7cosπ7=cosA.2π7B.4π7C.5π10.已知一组数据由5个正整数组成,且这组数据中至少有1个8,则关于这组数据的描述可能是A.中位数为3且平均数为5B.平均数为4且众数为4C.平均数为4且方差为3.2D.中位数为5且方差不小于7.211.在空间直角坐标系Oxyz中,已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A0,0,0,B26,0,0,C6,32,0,Sm,n,tt>B.HN的最大值是最小值的2倍C.四面体SABC外接球的体积为108πD.当HN取得最小值时,点H的坐标为6三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若fx=x4+13.已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为3,23，高为14.在△ABC中,AB=3,AC=5,∠BAC=120∘,D为BC边上一点,若△ABD与四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知等差数列an的公差为d(1)若a1=d=1，求数列2an+2a(2)若数列an+−1n16.(15分)将正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1(1)证明:A1H//平面(2)求二面角A−B17.(15分)小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李既打羽毛球又打乒乓球，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下,小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3,小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3;在晴天或阴天的情况下,小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4,小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5;在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5,出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响.(1)求小张周日打羽毛球的概率；(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率；(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为X，求X的数学期望.18.(17分)(1)若a3−2a2(2)若∀a,b∈[−1(3)若∀θ∈0,π,∃x19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,设抛物线C:x2=2py的焦点为F,点A1,1,B(1)求C的方程.(2)已知动直线l与C交于P,Q(i)若l过点A且斜率小于0，证明:以PQ为直径的圆被y轴截得的弦长大于4。(ii)若l不经过点O，且OA平分∠POQ，求△OPQ运城市2026年高考考前适应性测试高三数学参考答案1.D双曲线x26−y22.B因为A=−∞,−2∪23.C依题意可得甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有C624.B因为T=πω=2π,所以ω=12,令12x−π65.C由x2−16>0,x−4>0,得x>46.A依题意得z=x+yix>0,y>0,因为z+2z+2=9,所以z⋅z+2z+z+4=9,7.A设C的右焦点为F′，因为点A2,1在C由椭圆的定义知PF+PF′=2a=6，所以PF=6−PF′，则PF+PA=6+ PA−PF′≤6+AF′,则PF+PA8.D由b+3x−1ln设函数fx=3x−1lnx,则f′x=因为f′1=2>0,f′12=1当x∈0,m时,f′x<0,f当x→0时,fx→+∞,当x→+∞作出fx的大致图象,如图所示,直线y=ax−b的斜率大于0,在x由图可知,ba的最小值为1,此时b9.BD依题意得sinπ则sin2π7=sinπ7+α,则π7+α=2π7+2kπk∈Z,或10.ABD若这组数据为2,3,3,8,9，则其中位数为3且平均数为5，A正确.若这组数据为1,3,4,4,8，则其平均数为4且众数为4，B正确.若这组数据的平均数为4，且至少有1个8，则这组数据的方差s2>15若这组数据为2,2,5,8,8,则其中位数为5且方差为7.2,也可取其他差距大的数字,使方差大于7.2,D正确.11.ABD四面体SABC的直观图如图所示.设顶点S在底面ABC上的射影为D,连接SD,则SD⊥平面ABC,连接CD并延长,交AB于点E,易得E为AB的中点.因为AB=26,所以CD=23CE=22,所以SD=262−222=4,则S6,2,4,则mnt=6×2×4=83, A正确.设四面体SABC外接球的球心为O易得四面体SABC内切球的半径r=O1D=1，内切球的球心为O1，则HN的最大值为因为CN⊥平面ABC,所以N6,32,z1,又因为O1N=3,所以6−62+32− 2)2+z1−12=12.3因为fx为偶函数,所以a−1=0,即a=1,所以13.5设该三棱台为正三棱台ABC−A1B1C1,且A1B1=3,AB= 23,设该三棱台的上、下底面的中心分别为O1,O,则OO1=5.过C1故tan∠C14.21−8t2t−7由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠BAC=49,则所以2×12BDCD5+AD+CD,整理得AD15.解:(1)因为a1=d=1所以2an所以Sn==2n(2)设bn=an+−当n为奇数时,−1n因为数列bn为递减数列,所以d+2<0当n为偶数时,−1n因为数列bn为递减数列,所以d−2<0故d的取值范围是−∞,−2.1316.(1)证明:取B1D1的中点M，连接A1M易证A1M//AC,且又H为AC的中点，所以A1M//HC，且A1M=HC，3分则四边形A1MCH是平行四边形,所以A1H//MC.4分因为A1H⊄(2)解:以A为坐标原点，AB,AD,AA1设AB=2,则A设平面AB1H的法向量为m=x,y,z,则B1设平面A1B1H的法向量为n=a,b,c,则B设二面角A−B1H−A1的平面角为所以二面角A−B1H−A17.解:(1)设小张周日打羽毛球为事件A，则由全概率公式可得PA故小张周日打羽毛球的概率为0.28.3分(2)设某个周日是晴天或阴天，当天这4人中打乒乓球的人数不少于2为事件B，则PB故当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率为0.352.7分(3)因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为0.3+0.3=0.6在雨天的情况下，小王、小周打球的概率均为0.3.10分(方法一)在雨天的情况下,设小李、小王、小周打球(打球记为1,不打球记为0)的人数分别为X1,X2,X则EX=EX1+EX(方法二)X的可能取值为0,1,2,3,则PX=PX=PX=PX=则EX=0×0.196+1×0.462+18.(1)证明:设fx=x3−2因为Δ=16−24<0,所以f′x=8b−又a3−2a2+2a=fa,所以f(2)证明:因为fx是增函数，所以当x∈[−1,+∞)时，设gx=2−xe当x∈−1,1时,g′x>0,gx单调递增,当由题意得famin即−5>e+m,则(3)解:sinθ3由θ∈0,π,得0<sinθ≤1,因为exx令vx=exx3,x>0,则v′x∈3,+∞时,v′x所以vx≥令hx=x−3lnx+t,x≥e327,则h′x=x−3x,当所以hxmin由题意得0≥3−3ln3+t,即t≤319.解:(1)由题意知F0,则OA+OF=1,1+p2，因为向量OB与OA+OF共线，所以1×4=21+p(2)(i)证明:设l的方程为y=kx−1+1k<0，代入x设Px1,y1,则PQ=1设以PQ为直径的圆为圆N,且圆心N的坐标为x0,y0则圆心N到y轴的距离d=2k所以圆N被y轴截得的弦长为212因为k<0,所以−k>0,则241+k2k2(ii)因为OA平分∠POQ，所以直线OP与OQ关于直线OA又直线OA的方程为y=x,且点Px1,y1关于直线y=x对称的点为P′将y1=x124,y2=x224代入y当直线l的斜率不存在时,x1=