2023年双曲线高考知识点及题型总结

双曲线高考知识点及题型总结一（最新最全）

目录

双曲线知识点..................................................................

L双曲线定义：............................................................

2.双曲线的原则方程：....................................................

3.双曲线H勺原则方程鉴别措施是：..........................................

4.求双曲线的原则方程....................................................

5.曲线的简朴几何性质....................................................

6曲线的内外部............................................................

7曲线的方程与渐近线方程的关系...........................................

8双曲线H勺切线方程........................................................

9线与椭圆相交的弦长公式.................................................

高考知识点解析................................................................

知识点一：双曲线定义问题.................................................

知识点二：双曲线原则方程问题.............................................

知识点三：双曲线在实际中的应用...........................................

知识点四：双曲线的简朴几何性质的应用....................................

知识点五：双曲线H勺离心率.................................................

知识点六：直线与双曲线....................................................................6

考题赏析....................................................................................7J3

分块讲练

双曲线知识点

1.双曲线定义：

①到两个定点机与B的距离之差的绝对值等于定长（<历川）的点的轨迹

（|尸£]一|P/=2av忻尼|（〃为常数））.这两个定点叫双曲线的焦点.

要注意两点：（I）距离之差日勺绝对值.（2）2aV|QBI，这两点与椭圆的定义有本质的不一样.

当|MQ|-|MF2|=2a时，曲线仅表达焦点B所对应的一支；

当|MQ|一|MF2l=-2a时，曲线仅表达焦点Fi所对应H勺一支：

当2a=方&|时，轨迹是一直线上以Q、B为端点向外的两条射线；

当2a>£K|时，动点轨迹不存在.

②动点到一定点勺距离与它到一条定直线IH勺距离之比是常数e（e>I）时，这个动点的

轨迹是双曲线盘定点叫做双曲线的焦点，定直线/叫做双曲线的准线.

2.双曲线的原则方程：0-2=1和与一・二1（a>0,1）>0）.这里

crb“rab"

=c2-〃2,其中|%I=2c.要注意这里口勺a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的J原则方程鉴别措施是：假如/项的系数是正数，则焦点在X轴

上：假如V项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定不小于b,因此不能像

椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的原则方程,应注意两个问题：⑴对的判断焦点H勺位置；⑵设出原

则方程后，运用待定系数法求解.

5,曲线的简朴几何性质

二一二=1（心0,心0）

a2b~

（1）范围:y£R

⑵对称性：有关x、y轴均对称，有关原点中心对称

（3）顶点:轴端点4（—a,0）,A2（a,0）

⑷渐近线：

①若双曲线方程为《一［=1=渐近线方程之一i=0=>y=±-x

a'b-a'b-'a

②若渐近线方程为），=+2rn±±¥=0=双曲线可设为《一£=九

aabcru

③若双曲线与£一4=1有公共渐近线，可设为耳一口=入（入>0,焦点在X轴上，

a'b~a~b'

X<0.焦点在y轴上）

④尤其地当。=匕时=离心率e=J5。两渐近线互相垂直，分别为y=±x,此时双曲线

b

为等轴双曲线，可设为一一>2=九；产"4y=-X

aa

222

⑸准线：/1：X=-—,公尸土，两准线之距为（勺=2・3

CCC

2

⑹焦半径：|P"|=e（x+幺）=ex+a,（点P在双曲线的右支上工之。）：

2

|P/s|=e（--x）=ex-a,（点P在双曲线的右支上xN。）；

当焦点在y轴上时，原则方程及对应性质（略）・

心V2r2V2

⑺与双曲线1-、=1共渐近线口勺双曲线系方程是r-%（2w0）・

a'b'a'b'

⑻与双曲线=-4=1共焦点的双曲线系方程是一^-----g—=1

（Cb-a'+kb'-k

6曲线的内外部

（1）点尸（七,稣）在双曲线一；—-yv=1（。>0,/?>0）的内部<=>—;—yr>1.

ab-cCb~

⑵点P（Xo，y0）在双曲线二-《=l（a>0,〃>0）的外部=与一害<1.

ab~cCa

7曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

（1）若双曲线方程为「一与=1=>渐近线方程：二一二=0=）=±2相

a~b~a~b-a

22

（2）若渐近线方程为y=±2x=二±上=0=双曲线可设为二—二=九.

aabcTb“

（3）若双曲线与二•一二=1有公共渐近线，可设为I—==九（九>0,焦点在x轴上,

crb-crb-

X<0»焦点在y轴上）.

8双曲线的切线方程

22

⑴双曲线二—二二1（。>0力>0）上一点P（x°,九）处的切线方程是学一斗=1.

a~lrab”

22

（2）过双曲线=-1=1（。>0，>0）外一点P（x0,光）所引两条切线的切点弦方程是

a~b~

vy（）y_i

a2b，~,一।•

x2y2

（3）双曲线—-tr=K«>0,/?>0）与直线Ar+B>+C=（）相切的条件是

a'b~

A2a2-B2b2=c2.

9线与椭圆相交的弦长公式1明=奴一4+()「%)2

若斜率为kR勺直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(X|,yi)、B(x2,y2),

22

则弦长|A用=Jl+/-\x2-|=-^(14-^)[(XJ+X2)-4X(X1]

=>目力_/=J(]+/).Kx+城-4)，，这里体现理解析几何“设而不求”的

解题思想；

双曲线高考知识点

题型一双曲线定义的应用

l己知定点40.7),8(0,-7),C(12,2),以C为一种焦点作过A,8的椭|员求

另一焦点的轨迹方程.

解设尸(x,y)为轨迹上任意一点，

•.工、8两点在以C,尸为焦点的椭圆上

/.|M|+|G4|=|FfiH-|CB|,

：.\FA\-\FB\=\CB\~\CA\=2

A2

・•・1的轨迹方程为:-48=1(><-!).

知识点二求双曲线的原则方程

@例2设双曲线与椭圆,+%1有相似的焦点，且与椭圆相交，一种交点A的纵坐

标为4,求此双曲线的原则方程.

解措施一设双曲线日勺原则方程为力一方=1(〃>0,〃>0),由题意知/=36—27=9,C

=3,

又点AB勺纵坐标为4,则璜坐标为W后，于是有

a2+/>2=9,

因此双曲线的原则方程为9―1=1.

措施二将点八日勺纵坐标代入椭圆方程得4),又两焦点分别为月(0,3),F2(0,

-3).因此

2a=h/(±VT5-0)2+(4+3)2-

-0)2+(4-3)2|

=4,

即4=2,。2=/—“2=9—4=5,

因此双曲线的原则方程为9j=l.

措施三若考虑到双曲线与椭圆有相似的焦点，则可设双曲线为房一+

27—X36-X

1(27<A<36),再将点A(HB,4)代入求人进而求方程，不过这种解题措施有一定B勺技巧性.

知识点三双曲线在实际中的应用

@例3A、B、。是我方三个炮兵阵地，A在5正东6km,C在BI为北偏西30。相距4

km,P为敌炮阵地，某时刻八处发现敌炮阵地的某种信号，由于3、。两地比A距P地远，

因此4s后，B、C才同步发现这一信号，此信号日勺传播速度为1km/s,A若炮击P地，求炮

击口勺方位角.

解以直线E4为x轴，线段84日勺中垂线为y轴建立平面直角坐标系,

则8(-3,0),4(3,0),。(一5,2小)

*：\PB\=\PC\,

・••点P在线段8C的垂直平分线上

■:g=一小,BC中点9一4,小)

工直线PD：)一小=方)+4)®

又|尸周一|网=4,

.•/在以A、8为焦点的双曲线右支上

72

设P(x,y)则双曲线方程为5一方=I(x>0)②

联立①，②式得X=g,y=5^j3,

s行

/,(8,5\/3)»因此％»I=Q_,\/3.

<s-.5

故炮击B勺方位角为北偏东30。.

知识点四双曲线几何性质的简朴应用

⑥例4已知双曲线渐近线的方程为2r±3.v=0.

(1)若双曲线通过P(，5,2),求双曲线方程：

(2)若双曲线的焦距是求双曲线方程；

(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.

解(1)设双曲线的方程为41一9炉="7H0),

•・•双曲线过点P(、/A,2),

.\4X6-9X4=x,即久=一12

・•・双曲线的方程为：一[+$2=].

(2)设双曲线方程为

丞一/=1，或宗一/=1(。>0,b>0).

13=标+。2.

由渐近线斜率得9=永

r〃22

一--

I3

故由a

3M*

Ia

294

a,-,

解

得-

,-r49

9•

292

二・所求双曲线方程为5—亍=1,或;-5=1.

(3)由(2)所设方程可得：

22，m2a-3

----1a-3

〃

，

或

或

/解^9

3-*、I3-'

lo2〃-

22--

方

fl=、2-

故所求双曲线方程为卜3=1,或方一转=1.

知识点五求双曲线的离心率

®.fil5(1)已知双曲线的渐近线方程为)，=号相则双曲线H勺离心率为；

(2)设双曲线夕一*=l(/»a>0)的半焦距为c,直线/过(0,0)、(0,〃)两点.已知原点到直

线I的距离虏C,则双曲线的离心率为

Ab32+-2

--0e2

解析(1)当焦点在X轴上时，其渐近线方程为)，aaa2

.,925

1616'

5

-

e4

当焦点在)，轴上时，其渐近线方程为尸身,

3

〃-+

一=1-6=25

〃4

99'

>

y

(2)直线/的方程为=I,gPhx+ay-ab=O.

T«_J"0+"0-4加小即ah=^-c2.

于是冷储+/=4和

两边平方得\6a2b2=3c4,：.\6a\c2-a2)=3c4.

即34-16//+16/=0,.,.3^-16^4-16=0.

4

-

3

Vb>a>0,,

、4+护fj2

2

e-="({2—1+^2>»故e-=4,..e=2.

(诏或3(2)2

答案

知识点六直线与双曲线

直线/在双曲线《一9=1上截得口勺弦长为4,其斜率为2,求直线/在)，轴上的

>例6

截距或

解设直线/的方程为y=2t+〃?,

y=2x-\-m,

得10『+12〃a+3(〃尸+2)=0.

设直线/与双曲线交于A3，yi),8(X2,)喷两点,

由韦达定理，得莺+%2=-1"，即及=曲”2+2).

又Vi=2A\+m,y2=2x2+fn，

二川一”=2(即一X2),

依8/=（X1—刈）2十。I一月）2

=5(为一也)2

=5[(X)+X2)2—4XIA-2]

=—4X磊(〃-+2)].

•.,|4B|=4,Ay/zr—6(//r+2)=16.

/.3W2=7O,〃I=±"?Q.

直线/在y轴上的截距为差匝.

考题赏析

1.（全国n高考）设a>l,则双曲线「一口鼻=1的离心率。的取值范围是（）

A.（巾，2）B.（市,小）

C.（2,5）D.（2,小）

解析.・•双曲线方程为5一W17=1，

c=q2M+2a+1.

•♦・智=d2+a+>\「+］）2+1.

又Ta〉］,.,.0<4<1./.1<^+1<2.

1<^I+!）2<4.^.y［2<e<y/5.

答案B

2.（重庆高考）已知双曲线］一分=1（30,沙>0）的一条渐近线为尸依伙>0）,离心率e=

5匕则双曲线方程为()

「当一匕一1D当一二一1

C・扬/一1D.帝/—I

解析双曲线的渐近线方程可表达为)，=/x,由已知可得太=与.又离心率e=、/l+(?2

=木晨因此攵=[

即，=)，故。=2儿

ct

答案C

3.(湖北高考)

AOB

如图所示，在以点O圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD_LAB,P是半圆弧上一

点，ZPOB=30°.曲线C是满足||MA|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

(1)建立合适H勺平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)设过点DH勺直线1与曲线C相交于不一样H勺两点E、F.若aOEF的面积不不不小于

2&，求直线1斜率口勺取值范围.

解(1)措施一以O为原点

，AB、0D所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,

则A(・2,0),B(2,0),P(31),

依题意得||MAHMB||

=|PA|-|PB|=7(2+%/5)2+12-7(2->/3)2+12=272<|AB|=4.

・•・曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,

则c=2,2a=2收，/.a2=2,b2=c2-a2=2.

x22

/.曲线C的方程为——Lv=l.

22

措施二同措施一建立平面直角坐标系，则依题意可得

||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4.

・,.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点H勺双曲线.

22

设双曲线的方程为二一与=1(a>0,b>0),

crb~

[(6)2/

则由不及

|/+/=4,

解得a2=b?=2,

22

・•・曲线C的方程为%一一乙v二1

22

(2)措施一依题意，可设直线1的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整顿得

(l-k2)x2-4kx-6=0.(D

•・•直线/与双曲线。相交于不一样的两点£尺

1一。W0,仅#±1,

•△=(-44+4X6(1一产)>0,【一小小.

，日一木，-1)U(-1,I)U(1,巾).②

设ES，yi),F(X2,”)，则由①式得

4A6

X|+X2=]_必,X\X21-F'

于是IEFl=yl(xi—X2)2+(yi—>'2)2

=、(+4)(X1—X2)2=、1+炉7(Xl+x2)2—4X1X2

=5+'in,

2

而原点。到直线/的距离d=VTT^,

：.S^OEF=\CI\EF\

12近产彳2啦尸?

一u—6=n-^i.

若AOE尸的面积不不不小于26，即£w济N26,

则有2*Y芸丘/一/一2W0,

解得一也③

综合②、③知，直线/的斜率的取值范围为

[-V2,-1)U(-1,1)U(1,y[2].

措施二依题意，可设直线/时方程为)="+2,

代入双曲线。的方程并整顿，

得(1一炉*一4履一6=0.①

•.•直线/与双曲线C相交于不一样的两点£F,

1一3工0,住工±1,

△=(-4A)2+4X6(1-产)X),一小4<小.

:・kG(一事,-1)U(-1,1)U(1,5).②

设E(xi,y\),F(X2,”)，则由①式得

Kl-X2|=#M+X2)2—4XM=

IL内

_2y[2yl3~k2

IL婷③

当E,产在同一支上时（如图（1）所示），

S&OEF=|5AODF—SAODEI=3"）卜（1仇iL网|）

=；|ODW；

当瓦F在不一样支上时（如图（2）所示），

S&0£F=SAO0F+Sa0C£=gl。。卜（|汨|+闷）

=||OD||X|-X2|.

综上得S&0EF=3oD|kLX2|.

于是由|。。|=2及③式，得SAOEF=||_^2|.

若△O£77面积不不不小于26，即啦，则有

2毛与"22吸一标一2W0,解得一gWAW啦.④

综合②、④知，直线/的斜率的取值范围为

[一也，-1）U（-|J）U（I,<2]

自主训练

1.实轴长为且过点42,—5)/、J双曲线的原则方程是()

V2『

A苏一六=1B-20-16=1

2

F——y=1脸匾=1

Cc—I6201

答案B

解析由题意知2a=44，/=20,

若双曲线焦点在x轴上，则可设方程为*一当=1,

NU(J

代入点4(2,—5),得：.一患=1，即-声=祟矛盾.

因此设双曲线的方程为一条十苏=I.代入A(2,—5),得：%=—1+11=；,，。2=16.故

选B.

2.假如双曲线方一，=1H勺两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()

A.^2B.2C.小D.2小

答案A

解析因两条淅近线互相垂直.因此两新近直线的倾斜角为左亭.渐近线的方程为厂±x,

*,•~=1,即a=b,

c=7a2+b2=巾。,

3.双曲线与椭圆&+旨=1有相似H勺焦点，它的一条渐近线为)=x,则双曲线方程为

()

A.*一产96B./-?=160

C.『一）2=80D.9一『=24

答案D

解析由题意知双曲线日勺焦点为（0,±4小），即/=48,又因一条渐近线方程为），=x.

因此称=1.即。=b,，48=24,『=〃=24.故选D.

4.尸|、尸2为双曲线，一）?=一1时两个焦点，点P在双曲线上，且NBPB=90。,则

口勺面积是（）

A.2B.4C.8D.16

答案B

解析方程变形为32—3=1,

f||PFi|-|PF2||=2①

由题意，->,、■>

|Pn|2+|PBF=（24r）2②

由①式两边平方得：20-2|PFI||PF2|=4,

・••IPKII尸尸21=8,

5"|尸产2=如川.仍尸2|=98=4.

5.若方程而三+£=1表达双曲线，则实数勺取值范围是（）

A.k<-2,或2〈辰5B.-2<k<5

C.k<-2,或Q5D.-2<R2,或Q5

答案D

因一2>0,

解析由题意知：（|«-2煨一灯<0,即，，八

5—K<0,

肉一2<0.

或，八解得：Q5,或一24<2.故选D.

5—Q0.

6.已知双曲线，一今=1（心0,/»0）的两条渐近线方程为产米，若顶点到渐近线的距

离为1,则双曲线方程为.

答案A%=i

解析双曲线顶点为m,。）.渐近线为汇+小）=o,

•••1=忘=*"2.

乂“―3，,,0―3，

・•・双曲线方程为?一$2=1.

7.已知圆C«+）2-6.L4），+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一种焦点

和顶点，则适合上述条件的双曲线的原则方程为.

答案^-4=1

412'

解析由题意知双曲线仅与x轴有交点,

A2+y2—6x—4y+8=0,

即x2—6x+8=0,

y=o,

，x=2或x=4,即c=4,a=2.，\—为=1.

8.如图，已知定圆Fi：f+炉+10入+24=0,定圆B：-r+r-10x4-9=0,动圆M与

定圆B、B都外切，求动圆炭心M的轨迹方程.

解圆汽：（X+5）2+）2=],

・•・圆心吊（一5,0）,半径八=】.

圆”2：Q,—5）2+9=42.设动圆M的半径为R,则有

|MQ|=R+1,|MT=R+4,，|MF2|-|Mai=3.

••.M点的轨迹是以人、尸二为焦点的双曲线(左支),

3

乂

有

且a---941

5.

2,

3

1

•••动圆圆心M的轨迹方程为§工2—4./=W7

(-V^

2)

9.椭圆5+)2=1(〃Ql)与双曲线/一方=1(〃>())有公共焦点R、FltP是它们的一种交

点，求△人「出的面积.

解根据椭圆与双曲线焦点都在X轴上，不妨设P在第一象限，Q是左焦点，尸2是右焦

|PFI|+|PBI=2孙

点，则由椭圆与双曲线定义有•

\PFx\-\PF^=2n,

可解得|PQ|=〃?+〃，\PF^=m-n.

即|PFiF+|尸同2=2(nr+n1).

又•••两者有公共焦点，设半焦距为c.

贝1=/,/?24-l=C2,••・〃P+"=2/

，内尸2|2=4/=2而+"),

•••|FIEI|2=|PFI|2+|PB|2,，ZFIPF2=90°.

又V/H2-1=/+1=c2,，切2—“2=2

.,.5AFIPF2=1|PFI||PF2|

=1[(|PFI|+IP""一(|P加一|尸问)2]

因此△QPB的面积为1.

10.已知双曲线/一产=。2及其上一点p,求证:

(1)离心率6=也，渐近线方程)，=■：

(2)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方;

（3）过P作两渐近线的垂线，构成H勺知.形面枳为定值.

证明（1）由已知得c=y]cr-}-a2=y[2a,

，e=也，渐近线方程y=±x.

⑵设P（My0）,则焉一%=。2,

又Q（一也〃,0）、尸2（ga,0）,

工|Pfi||Pf2|=4（沏+&。）2+亦4（Xo—yj2a）2+yi

=A2A8+/+2由aw]2x5+a2-2薄L

=h/Zro+alh/lvo-o|

=|2亩一同=阑+M=|PO|2.

••・P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的二方.

（3）设垂足分别为Q、R,则由点到直线距离公式知

ko-vol,0+Vol

10。1=飞一，

SPQOR=\PQ\\PR\=1|A^—v^|=1«2.

・•・该矩形日勺面积为定值.

讲练学案部分

2.3.1双曲线及其原则方程

对点讲练

知识点一双曲线定义的应用

>例1

如图所示，在AABC中，已知|AB|=4，E,且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB,

建立合适口勺坐标系，求顶点CR勺轨迹方程.

解

如图所示，以AB边所在时直线为x轴，AB的垂宜平分线为y轴，建立直角坐标系,

贝ijA(-2&,0)、B(2a,0).

由正弦定理得sinA=sinB=-^-,sinC=-^-.

2R2R2R

V2sinA+sinC=2sinB,.*.2a+c=2b,即b-a=£.

从而有|CA|-|CB|=-|AB|=2>/2<|AB|.

2

由双曲线的定义知，点C/、J轨迹为双曲线的右支.

a=>/2,c=2\/2,/.b2=a2=6.

因此顶点C的轨迹方程为土-二=1,(x>V2).

26

【反思感悟】使用双曲线的定义时易遗漏“差的绝对值"，即||PB|-|PF2||=2a,而

|PF"-|PF2|=2a表达一支.

〃是双曲线看一为=1上一点，R、尸2是双曲线的两个焦点，且|PFi|=9,

求IP用的值.

解在双曲线看一击=1中，。=4,〃=2小.

故c=6.由P是双曲线上一点，

得||PQ|-|PB||=8.

或|PBI=17.

又|PBBc—a=2,得俨用=17.

知识点二求双曲线的原则方程

⑥例2根据下列条件，求双曲线的原则方程.

⑴过点小，印，C?(一冬5),且焦点在坐标轴上：

(2)c=\[6,且过点(5,2),焦点在入轴上；

92

(3)与双曲线光一，=1有相似焦点，且通过点(36，2).

解(1)设双曲线方程为3+9=1,

VP,。两点在双曲线上，

2|娑=1

m116/i1m=—16

%，解加

25625〃=9

.而+7=1

・•・所求双曲线方程为上一它=1.

(2)、•焦点在x轴上，c=#,

・••设所求双曲线方程为：y力=1（其中0<A<6）.

/I

•・•双曲线通过点(-5.2),

?54

，・一—=1,解得2=5或7=30（舍去）.

zo—X

・•・所求双曲线方程是［一）2=1.

（3）设所求双曲线方程为：

信一击=1（其中-436）.

•••双曲线过点（3小，2）,

.134_

*,16-24+厂人

解得2=4或2=—14（舍去），

・•・所求双曲线方程为5一5=1.

1Zo

【反思感悟】用待定系数法求双曲线的原则方程，首先要定型，即确定双

曲线的类型.看焦点位置/假如短点位近不确定.要分类讨论或设一般式Ax2+B.v2

=1其中AB<0）设出原则形式，再定址.即确定方程中的参数日勺值.

已知双曲线过P（—2,部）和刑$万，4）两点，求双曲线H勺原则方程.

变式迁移2

解由于双曲线的焦点位置不确定，因此设双曲线方程为因外、

尸2在双曲线上，因此有

4〃i+竽〃=1

W=-16

，解得‘

1

§X7〃?+16〃=1n=9

・••所求双曲线方程为一言+*=1

呜一泊】•

知识点三双曲线的实际应用

电.例3一炮弹在A处的东偏北60。的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处

早4秒，已知4在3时止东方、相距6卜米，P为爆炸地点，(该信号的传播速度为每秒1

千米)求A、P两地的距离.

解以直线AB为x轴，纥段A8日勺垂直平分线为，轴，建立直角坐标系,

则43,0)、3(—3,0)

V|/J£?|-|/M|=4X)<6

•*.«=2,b=巾,c=3

是双曲线宁一［=1右支上的一点

•・•一在4时东偏北600方向,

.•.k/iP=tan60°=小.

・•・线段八P所在的直线方程为丁=小。-3)

即P点口勺坐标为(8,5J5)

:.A、P两地日勺距离为|AP|二J(3-8)2+(0-56)2。0(千米).

【反思感悟】解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为X轴，

以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出原则方程，再由原则

方程解有关问题.

变式迁移3已知A、B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在8地晚2s,且声

速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

如图所示，建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x轴上，并且坐标原点0与线段AB

的中点重叠.

设爆炸点P的坐标为(x,y),

贝|]|PA|-|PB|=34OX2=68O,

即2a=680,a=340.

又|AB|=800,因此2c=800,c=400,

b2=c2-a2=44400.

由于|PA|-|PB|=340X2=680>0,因此xX).

因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为

.课堂小结：

1.平面内到两定点F1，F2口勺距离之差的绝对值为常数2a(0<2a<|FF2l)的点的轨迹叫双曲线，

两定点R,F2叫双曲线的焦点，两焦点间H勺距离叫双曲线的焦距.

x22

v2

2.焦点在x轴上口勺双曲线口勺原则方程是七一T=1(a>0,b>0),其焦点为Fi(-c,0),F2(c,

a~b~

0).

22

3.焦点在y轴上的双曲线H勺原则方程是=-与=1(a>0.b>0),其焦点为F,(0,-c),F2

a-b-

(0,c).4.c2=a2+b2,焦距|FF2|=2C.

课时作业

一、选择题

1.若加+力2=伙"<0),则这个曲线是()

A.双曲线，焦点在x轴上

B.双曲线，焦点在)，轴上

C.椭圆，焦点在x轴上

D.椭圆，焦点在)，轴上

答案B

1-2K

解析原方程可化为5+)2=1,由于"<0,因此上：0,因此曲线是焦点在)，轴上的双线,

故选B.

2.一动圆与两圆：f+)2=i和『+V一8五+12=0都外切，则动圆圆心日勺轨迹为()

A.抛物线B.圆

C.双曲线H勺一支D.椭圆

答案C

解析由题意两定圆的圆心坐标为Oi(O.O),5(4,0),设动画圆心为O,动圆半径为r,

则|0Oi|=r+l,|0。2|=广+2,.•.|OQ|一|OOi|=1<|。。2|=4,故动圆圆心的轨迹为双曲线的

一支.

3.双曲线8米22=8的一种焦点坐标是(0.3),则AI内值是()

A.IB.-1C.lD.一弓

答案B

r,

解析原方程可化为下一8

T由一种焦点坐标是（0,3）可知c=3,且焦点在y轴上，L

K

=（一》+（一7）=-%=9,因此&=一|,故选B.

4.已知双曲线中心在坐标原点且一种焦点为八（一小，0）,点P位于该双曲线上，线段

PQ的中点坐标为（0,2）,则该双曲线的）方程是（）

A.'-VfB.『七=1

答案B

〜，92

解析设双曲线方程为方弋=1,由于。=小1=1+乩因此尻=5一/,因此5一言不

=1.由于线段PR附中点坐标为（0,2）,则尸点日勺坐标为（小，4）.代入双曲线方程得W一罟3

=1,解得〃=1或〃=25（舍去），因此双曲线方程为『一9=1.故选B.

5.双曲线，一的左、右两焦点分别为Q、B，尸在双曲线上，且满足|PQ|+|PB|

=2听点，则的面积为（）

A.1B.1C.2D.4

答案B

解析不妨设|PQ|>|P6|,则|PQ|-|PF2|=25，

由|产/川+俨6|=2而工，

解得|「尸||=Y〃+2+5,—=6+2—币,

|尸画=2而1

22:

因此|PFi|+|PF2|=|F|F2|,因此NFiPF2=90°.

因此SZ\PQB=3PRHP乃1=1.

二、填空题

x2£

6.Q是双曲线;64361上一点,R、尸2是双曲线的两个焦点,且|PQ|=17,则仍川的

值为

答案33

解析在双曲线效一功=1中，〃=8,b=6,故c=10.由P是双曲线上一点，得IIPBI-

仍产加=16.由于|PFi|=17,因此|PBI=1或|P尸21=33.又|P用Nc-a=2,

得|PBI=33.

7.£+吾=।表达双曲线,则实数'的取值范围是

答案>4或r<l

解析由题意知：(4—E)(f—l)<0,即(r—4)(f—1)>0,

z>4或/<1.

8.R、B是双曲线］一帘=1H勺两个焦点，M是双曲线上一点，旦|MFMMB|=32,求

△FiMF2H勺面积为

答案16

解析由题意可得双曲线的两个焦点是/i(0,—5)、F2(O,5),

由双曲线定义得:||MFi|一|M&ll=6,联立|M尸1卜

得『=2

|MB|=32|MR|2+|MB1OO=|FIF2|,

因此△RMB是直角三角彩，从而其面积为5=如尸小也巴=16.

三、解答题

9.某电厂冷却塔H勺外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线H勺虚轴漩转所成

的曲面，其中A、A'是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B'是下

底直径的两个端点，已知AA'=14m,CC=18m,BBf=22m,塔高20m.建立坐标系

并写出该双曲线方程.

解(1)如图建立直角坐标系xOy,以AA'为x轴，AA'的中点为坐标原点O,CCr

X22

与BB'平行于x轴.设双曲线方程为与一=v=l(a>0,b>0),

ab

则a=；,AA'=7.又设B