2024年高考数学真题（新高考Ⅰ卷）试题试卷原卷答案解析

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2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）

数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项:

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.己知集合A={H-5vx3<513={-3T0,2,3},则从。3=(

)

A.{-1,0}B.{2,3)C.{-3-1,0}D.{—1,0,2}

2.若----=1+i,则z=()

z-1

A.-1—iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.已知向量a=(()/).〃=(2,x),若人_LS—4a),则工=()

A.-2B.-IC.1D.2

4.已知cos(a+tancrtan=2,则cos(ez-P)=()

m

A.-3mB.--D.3m

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为G，则圆锥的体积为（）

A.2后B.3技C.6小D.9扃

—x*—2cix—cix<0

6.已知函数为/（工）=v',在R上单调递增，则。取值的范围是（）

e'+ln（r4-1）,r>0

A.(-oo,01B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oc)

7.当xl[0,2m时，曲线y=sinx与y=2sin交点个数为()

I6)

A.3B.4C.6D.8

8.已知函数为/*)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/a-2),且当xv3时/(x)=x,则下列结论中一

定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后百收入的样本

均值元=2.1,样本方差/=0.0],已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8,0.12）,假设推动

出口后的亩收入y服从正态分布N（元一）,则（)(若随机变量Z服从正态分布N(〃,02),

P（Z<〃+b）右（）.8413）

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(r>2)>0.5D.P(y>2)<0.8

10.设函数/(X)=(X-1)2(X—4),则()

2

A.X=3是/(x)的极小值点B.当Ovxvl时，/W</(x)

C.当lvx<2时，-4</(2x-l)<0D.当一1cx<0时，J\2-x)>f(x)

ii.造型R可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线c的一部分.己知c过坐标原点o.且c上的点满足横坐

标大于-2,到点?（2,0）的距离与到定直线x=〃（4<0）的距离之积为4,则（）

A.a=—2B.点（2加,0）在。上

4

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点（%,%）在。上时，）'。4—一弓

*0+2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设双曲线力＞0）的左右焦点分别为£、K,过凡作平行于y轴的直线交。于A,B

ab~

两点，若14Al=13,IAS|=10,则C的离心率为.

13.若曲线y=e，+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+。的切线，则。.

14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡

片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的七片中随机选

一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得。分，然后各自弃置此轮所选的卡

片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记内角A、8、C的对边分别为mb,c,己知sin。=J^cos8，a2+b2-c2=y/2ab

（1）求B；

（2）若的面积为3+G，求C.

（3^1r2v2

16.已知40,3）和P3,-椭圆C:j+4=方＞0）上两点.

V2Ja~b~

（1）求C的离心率；

（2）若过P的直线/交。于另一点3,且的面积为9,求/的方程.

17.如图，四棱锥尸一A3CO中，Q4_L底面ABC。，PA=AC=2,BC=\,AB=B

（l）若，证明：平面P8C；

（2）若ADJ.OC,且二面角A—CP—。的正弦值为叵，求4D.

7

18.已知函数/（x）=ln，^+ar+〃（x-l）3

2-x

（1）若8=0,且/'（x）NO,求。的最小值；

（2）证明：曲线y=/（x）是中心对称图形；

（3）若/。）＞一2当且仅当求〃的取值范围.

19.设〃?为正整数，数列4，%，…，。4”,+2是公差不为。的等差数列，若从中删去两项N和%（，＜/）后剩余

的4m项可被平均分为机组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列4，%，…，，*+2是（力）-可分数

列.

⑴写出所有（/；，），l«ivj'V6,使数列《吗,…,小是（V）-可分数列；

（2）当〃后3时，证明：数列二,。2，・・・，。4,”+2是（2,13）一可分数列；

（3）从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和4/•＜/）,记数列％,生，”+2是亿J）一可分数列的概率为

%，证明：匕

O

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数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合A={L＜5卜”{-3T023},则人仆人（）

A.{TO}B.{2,3}C.{-3-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【解析】

【分析[化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|-迅＜X＜正}]={-3,-1,0,2,3},且注意到1＜指＜2,

从而A:8=

故选:A.

7

2.若---=l+i,则z=（）

z-1

A.-1-iB.-l+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【解析】

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【洋解】因为二二三±1=1+」一=1+匕所以z=i+!=i-i.

z-lZ-1Z-11

故选：C.

3.已知向量。=(0,1),〃=(2,幻，若〃_1_(〃一4〃)，则x=()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为b_L(b-甸，所以〃••一甸=(),

所以广_4。2=0即4+/-4%=0,故X=2,

故选:D.

4.己知cos(a+£)=m,tanatan0=2,则cos(a-/7)=()

A.—3/nB.——C.—D.3机

33

【答案】A

【解析】

【分析】根据两角和的余弦可求cosacos/?,sinasin£的关系，结合tanatan/7的值可求前者，故可求

cos(a-/7)的值.

【详解】因为cos(a+/)=〃?，所以cosacos/7-sinasin/?=〃?，

而lanatan/7=2,所以sinasin0=2coscrcos/7,

故cosacosft-2cosacosp=in即cosacosp=-m,

从而sinasin尸=-2m,故cos(a—£)=-3m,

故选：A.

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为则圆锥的体积为()

A.B.367rC.66兀D.9岛

【答案】B

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为「，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径〃的方程，求出解后可求圆锥的体

积.

【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为户与，

而它们的侧面积相等，所以2兀，”6=川％677即26=75彳，

故r=3,故圆锥的体积为」兀、9、6=36兀.

3

故选:B.

-Y2一^CIX—4X<0

.',在R上单调递增，则。取值的范围是()

{e+ln(x+l),x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1J]D.[0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不笔式组，解出即可.

【详解】因为/(X)在R上单调递增，且工之0时，J'(x)=e'+m(x+l)单调递增，

—>0

则需满足J2x(-1),解得TKaVO,

-a<e()+In1

即。的范围是[-LO].

故选：B.

/\

7.当小。2万]时，曲线y=sinx与y=2sin3x-2的交点个数为()

<6,

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】画出两函数在[0,2句上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数丁=，由人的的最小正周期为7=2兀，

函数y=2sin(3x-F]的最小正周期为7=

所以在无w[0,2可上函数y=2sin(3x-1|有三个周期的图象，

I。/

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示:

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选:C

8.已知函数为/(用的定义域为R,/«>/(X-1)+/(A-2),且当XV3时/(X)=X,则下列结论中一

定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当xv3时/。)二九所以"1)=1,/(2)=2,

又因为f(x)>f{x-1)+f(x-2),

则f(3)>/(2)+/(l)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(B)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(ll)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(ll)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(l5)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选:B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,/(2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求,全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本

均值工=2.1,样本方差己知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N0.8,0.『），假设推动

出口后的亩收入y服从正态分布N（£$2）,则（）（若随机变量z服从正态分布

P（Z<w+cr）«0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X〉2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正态分布的3。原则以及正态分布的对称性即可解出.

【详解】依题可知，了=2.1,=（）.01,所以yN（2.1,0.1）,

故p（y>2）=尸（y>2.1-01）二尸（YvZl+Ol）合08413>。5,C正确,D错误；

因为XN（1.8,o.l）,所以P（X>2）=P（X>1.8+2xO.l）,

因为尸（Xvl.8+0.1）《0.8413,所以尸（X>1.8+0.1）al—0.8413=0.1587v0.2,

而P（X>2）=P（X>1.8+2xQl）vP（X>1.8+0.1）<0.2,B正确，A错误，

故选：BC.

10.设函数/。）=（3一1）2（3一4）,则（）

A.%=3是八幻的极小值点B.当OVKVI时，/（x）</（x2）

C.当1<工<2时，-4</（2x-l）<0D.当一l<x<0时，/（2-A）>/（A）

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出函数/（月的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数/（X）

在（1,3）上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数/(x)的定义域为R,而r(x)=2(x-l)(A：-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

易知当xe(l,3)时，/\%)<0,当xw(e,l)或xw(3,+x>)时，/z(x)>0

函数/(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+动上单调递增，故％=3是函数/(力的极

小值点，正确；

对B,当Ovxvl时，X-X2=A(1-X)>0,所以I〉1〉/〉。，

而由上可知，函数/(X)在(Q1)上单恫递增，所以错误；

对C,当l<x<2时，Iv2x—lv3,而由上可知，函数/(力在(1,3)上单调递减，

所以/(1)〉/(2工―1)>/(3),即-4</(2戈-1)<0,正确；

对D,当—]<1<0时，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2A)>0,

所以f(2-x)>/(x),正确;

故选：ACD.

11.造型上可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点。.旦C上的点满足横坐

标大于一2,到点/(2,0)的距离与到定直线x=〈0)的距离之积为4,则()

A.a=-2B.点(2加,0)在。上

4

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(%,%)在。上时，

%+2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求“，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利

用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

【详解】对于A：设曲线上的动点P(XQ),则”>一2且历了万乂,一《二4，

因为曲线过坐标原点，故］（0-2）2+0葭|0-4=4,解得〃=-2,故A正确.

对于B：又曲线方程为瓜彳下x|x+2|=4,而入>-2,

故^（x-2）2+y2x（_r+2）=4.

当x=2a,y=0时，,（2五一2）2%（2及+2）=8—4=4,

故（2血,0）在曲线上，故B正确.

对于C：由曲线的方程可得丁二

,641^641.645256-245八.曲―21

则nil尸=------，而--------1=---------=-------------->0,故此时旷>1,

49449449449x4

故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

对干D：当点（毛,％）在曲线上时，由C的分析可得:=/、2一（玉）-2）七I，

（%+2）（%+2）

44

故------->o——故D正确.

玉）+2两+2

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等

来处理.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设双曲线y=1（〃>0力>0）的左右焦点分别为4、F,,过F2作平行于）'轴的直线交c于A,B

两点，若|耳A1=13,11=10,则C的离心率为

【答案】-

2

【解析】

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出结合双曲线第一定义求出|A£|,即可得到Ac的值,

从而求出离心率.

2

【详解】由题可知A8,5三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入二

CT

/.2\/,2\

b2(b2}2b

得？=±«^—,即Ac,—,Bc,----->故,同==10»|AF,|=—=5,

a)

又同|八用=幼，得|八用=|八周12a=2aI5=13,解得a=4,代入£=5得6=20，

c63

故F=36,,BPc=6,所以0=—=—=—.

6742

13.若曲线y=e'+x在点（0,1）处的切线也是曲线），=皿（戈+1）+。的切线，则。=.

【答案】In2

【解析】

【分析】先求出曲线y=e'+x在（0,1）的切线方程，再设曲线y=ln（x+l）+〃的切点为

（豌,』n（xo+l）+a）,求出利用公切线斜率相等求出方,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求

解.

11

【详解】由>=e'+x得=e+1,y|x=0=e°+1=2,

故曲线y=e'+x在（0,1）处的切线方程为y=2x+l；

由y=ln（x+l）+a得y=—,

设切线与曲线y=ln（R+l）+a相切的切点为（不［11（.%+1）+力，

由两曲线有公切线得了二」彳=2,解得/二一;，则切点为（一+

%+12\22）

切线方程为），=2（x+g

+a+ln—=2x+l+a-ln2

2

根据两切线重合，所以a—ln2=0,解得。=ln2.

故答案为：In2

14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡

片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的T片中随机选

一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡

片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2，X3，X4,四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六科，从而甲在

该轮获胜的概率。(X*=l)=捷所以石(Xj=](k=l,2,3,4).

44oo

从而E(X)=E(X+X2+X3+XJ=ZE(XJ=ZD.

i=l*=l"Z

记&=P(X=&)(A=O,1,2,3).

11

如果甲得。分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以外二*；

A424

11

如果甲得3分,则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以〃3=*二h.

A424

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故〃o+Pi+P2+〃3=l，Pl+2/?2+3p3=E(X)=-.

所以Pi+〃2+J;=l，〃I+2〃2+J=]，两式相减即得〃2+，7=＜，故〃2+〃3=].

12822422

所以甲总得分不小于2的概率为P2+〃3=g.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量同题，利用期望的可加性得到等量关系，从

而避免繁琐的列举.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=J^cosB，a2+b2-c2=y/2ab

(1)求8；

(2)若JWC的面积为3+G，求C.

【答案】(1)8=方

⑵2五

【解析】

【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC,最后结合已知5抽。=近856得以）53值

即可;

（2）首先求出A8,C,然后由正弦定理可将•。/均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程

求解.

【小问1详解】

由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC，对比已知/十从一=6ab，

/+〃2工y/2ab_42

可得cosC=

2ah2ab-V

因为。£（0,兀），所以sinC>0,

从而sinC=Vl-cos2C=、、叵

又因为sinC=J^cos3，即COSB=3,

注意到8£（0,兀）,

所以8=1.

小问2详解】

由（1）可得8=工，cosC=—»CG（0,K）,从而C=二，A=it----=—,

3243412

工...（5兀）.，兀兀、叵g6\x/6+>/2

HusinA=sin—=sin—+—=-----x-------1------x—=-------------

U2j（46）22224

b

由正弦定理有.5兀.7T.71

sin——sin—sin—

1234

从而好"产回普.缶邛s

由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为

c1..173+1V6y/23+62

S.=—ahsinC=--------c----c----=-------c

AIR{rC222228

由已知“8C面积为3+6,可得，=3+6,

所以c=2V2•

(3^1r2V2

16.已知40,3)和P3,彳为椭圆。：二十==1(。＞方＞0)上两点.

V2；a-b-

(1)求C的离心率；

(2)若过。的直线/交。于另一点儿且,八8P的面积为9,求/的方程.

【答案】⑴

(2)直线/的方程为3A2y-6=0或x-2y=0.

【解析】

【分析】(1)代入两点得到关于〃泊的方程，解出即可；

(2)方法一：以恒片为底，求出三角形的高，即点4到直线A尸的距离，再利用平行线距离公式得到平移

后的直线方程，联立椭圆方程得到8点坐标，则得到直线/的方程；方法二：同法一得到点8到直线AP的

距离，再设B(~,)，o),根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点6到

直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线

丁=履+3,联立椭圆方程，得到点8坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线相斜率

3

不存在的情况，再设=3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设

线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘5表达面枳即可.

【小问1详解】

1

法一：,2_1，则直线AP的方程为＞二一一x+3,即x+2y—6=(),

kAP-----二—2

0-32

|AP"(O_3)2+(3可普,由⑴知。：^十卷一1，

2x912逐

设点??到直线A夕的距离为d，则”=与后二三一，

F

则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移呸5单位即可，

5

此时该平行线与椭圆的交点即为点3,

设该平行线的方程为：x+2y+C=0,

则"0=心与，解得C=6或。=一18,

V55

工+《=1

x=0

当C=6时，联立，129，解得或，3，

)，二一3

x+2y+6=0

即8(0,-3)或13,一1

当8(0,—3)时，此时勺=3,直线/的方程为y=31一3,即缄-2〉一6=0,

(3)11

当时，此时&=2,直线/的方程为y=即x—2)，=0,

《+匚1

当C二—18时，联立，129得2y2-27），+117=0,

x+2y-18=O

A=272-4X2X117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.

综上直线/的方程为3X一2)，-6=0或x—2)，=0.

法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y—6=0,

点B到直线AP的距离d=以5

5

区0+2），。_6|=12右

毛二-3

―忑—-亏%=0

设8伉，%)，则，，解得《3或，

29）。=一3

正+范=1

129

（3、

即B（0,3）或—3,一不，以下同法一.

I乙）

法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y—6=0,

点8到直线小的距离4=超5

5

|2Gcos0+6sin0-6

设8（2Gcose,3sinO）,其中6«0,2兀），则有1275

~5~

cos3=——-

解得cos8=0

联立cos?夕+sin?。=1，J2

.八1sin6?=-l

sin，=——

2

3、

即B（0,—3）或-3--,以下同法一;

法四：当直线4B的斜率不存在时，此时3（0,-3）,

133

S,"=5X6X3=9,符合题意，此时々=5,直线/的方程为y=]x-3,即3工一2），-6二°，

当线A3的斜率存在时，设直线43的方程为y二"+3,

y=kx+3

联立椭圆方程有,则（4攵2+3）x?+246=0,其中攵工心尸即k丰—,

2

J29

-24k1

解得x=0或x=—；，攵00,k丰—,

4K+32

一244-12F+9-24%-⑵?+9

令工二则y=,则8

4公+34A2+3、4公+3’4r+3

同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,

点8到直线”的距离]=用5,

5

一2伏。一12公+9（

—9-----F2x---------6（-3

则软？+34尸+3_12方，解得攵二；，

忑~

（3\11

此时则得到此时勺=/,直线/的方程为），=5,即x—2y=0,

综上直线/的方程为3x-2），-6=0或x-2），=0.

法五：当/的斜率不存在时，/：x=3方（3,-1）,归同二34到距距离1=3,

19

此时5八期二二乂3、3二二工9不满足条件・

3

当/的斜率存在时，设-/=4"一3）,令尸（玉/）]（%,%），

3

>?=^(A-3)+-

消y可得(4公+3卜2_(24公_12%卜+36公-36k-27=0,

129

△二（24%2_12火丫一4（4攵2+3乂36%2—36%—27）＞0,且我工心夕，即kw-g,

2

24k-\2k46，F+[3公+%+2

x+x2=---；----------------------

产+3"="2+I+)2-=V4

36k?—36k-27'1”

4F+3

4"/公+]/3尸+9八与H

A到宜线相距离d=H，S.二」

_________V__________4_.1____2|=9，

VF7T424代+3JF7T

1313

.•/=一或一，均满足题意，.•./:），=一工或y=一工一3,即3%一2），-6=0或x-2y=0.

2222

法六：当/的斜率不存在时,=34到阳距离d=3,

19

此时SA肝=/x3x3=]=9不满足条件.

3

当直线/斜率存在时，设/：＞=—¥-3）+-，

2

设/与）'轴的交点为Q,令x=0,则。（。,一3左+1

联立.y=kx~3k+2,则有(3+4公卜2一8左,—3[x+36公—36攵-27=0,

3八4/=36I2)

(3+4公产一叫3k-2x+36父一36%—27=0,

2)

(Q

其中4=8抬3k--一4（3十4二）（36女2_36左一27）＞0，且々#一,，

l2

皿n36^-36^-27\2k2-nk-9

则3/=3+底

3+4火2

…•IriI1312Z+18八13

则§=#@阵_"力二产+72皿2=%解的A=—或k=[,经代入判别式验证均满足题意.

乙乙乙DI/C22

即3/_2)=6=0或元-2y=0.

17.如图，四棱锥「一AACO中.%_1_底面八"。),PA=AC=2,BC=1,AB=C

（1）若ADJLP8,证明：A。//平面P3C；

（2）若AO_LOC,且二面角4-CP-O的正弦值为叵，求AO.

7

【答案】（1）证明见解析

⑵G

【解析】

【分析1（1）先证出AD±平面PAB，即可得ADJ.AB，由勾股定理逆定理可得BC1AB,从而AD//BC,

再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）过点。作4c于£,再过点E作EF_LCP于尸，连接Ob,根据三垂线法可知，ZDFE^

为二面角A-C0一。的平面角，即可求得ian/OFE=&，再分别用AO的长度表示出。区所，即可

解方程求出AO.

【小问1详解】

（1）因为QA_L平面ABC。，而A3u平面ABC。，所以Q4_LA0,

又A£>1,尸」B,PB（\PA=P,P8,PAu平面RW，所以AZ>J_平面R43,

而45u平面Q42,所以AOSA5.

因为3c2+AB?=A。？，所以BC_LA8,根据平面知识可知AD//8C,

又ADu平面PBC,8Cu平面P8C,所以4。//平面PBC.

【小问2详解】

如图所示，过点D作。E1AC于E，再过点E作砂_LC尸于E,连接。尸，

因为P4_L平面A8CO,所以平面R4C_L平面A3CO,而平面A4CC平面A3CD=AC,

所以平面P4C，又EF上CP,所以CP_L平面DEF，

根据二面角的定义可知，ADFE即为二面角A—CP—O的平面角，

即sin/DFE=且，即tanNZ）也二遍.

7

因为AOJ.DC,设AD=x,则COT”/,由等面积法可得，DE=\"一尸

A2（4-X2）_4-x24-r~

又CE=J（4-f）而上MC为等腰直角三角形'所以EF=*.

42

xy]4-x2

，即AD=6

(1)若人=0,且/'(x)NO,求。的最小值;

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

(3)若/(#＞一2当且仅当1VXV2,求8的取值范围.

【答案】(1)-2

2

(2)证明见解析(3)b＞—

3

【解析】

【分析】⑴求出了'("由=2+。后根据可求。的最小值；

(2)设P(n为y=/(x)图象上任意一点,可证P(以〃)关于(1,。)的对称点为Q(2-nL,2a-n)也在

函数的图像上，从而可证对称性；

(3)根据题设可判断/.(1)=—2即。=-2,再根据/")＞一2在(1,2)上恒成立可求得心一£.

【小问1详解】

匕=0时，/(x)=ln^—+av,其中xw(O,2),

2-x

ii2

因为X(2_X)W(2；+J)=],当且仅当x=l时等号成立，

故了'(x)min=2+a，而/'(x)NO成立，故4+220即。2-2,

所以。的最小值为一2.，

【小问2详解】

/(x)=lnf—+QX+Z?(X-1)’的定义域为(0,2),

设为y=图象上任意一点，

〃）关于（1,的对称点为。（2-利,2a-n）,

因为P（w）在y=/（x）图象上，故〃=Inm+am+Z?（m-1）3,

2—tn

而f（2—m）=ln^——+^（2-/??）+/?（2-A??-1）3=-In-^―+〃〃?+