数学中考三模试题A卷（教师版）

第1页/共1页2024年上海市彭浦第三中学九下三模测试卷A（满分：150分考试时间：100分钟）一.选择题（共24分）1.2的相反数是（）A.2 B.﹣2 C. D.【答案】B【解析】2与-2只有符号不同，所以2的相反数是﹣2，故选B．2.如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：作轴于，轴于，交于．在与中，，，，设，则，于是在中，；解得．；轴，轴，，，，，；又，．．故选：D．3.某班在统计全班33人体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A.a＜b B.a＝b C.a＞b D.无法判断【答案】A【解析】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a＝54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．4.如果用A表示事件“若，则”，用表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为A表示事件“若,则”是必然事件,所以事件A发生的概率等于1.故选A.5.如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（） B. C. D.【答案】B【解析】解：作于，设正方形的边长为，四边形是正方形，，，，，，，，，，，设，在中，，，∵，，，，．故选：B．6.如图，在等腰中，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为4．其中正确的结论是（）A.①②③ B.①②⑤ C.①③④ D.③④⑤【答案】C【解析】①连接，

∵是等腰直角三角形，且F是边上的中点，

∴，∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，①正确；②当D、E分别为、中点，即、分别为和斜边上的中线，∴，，∴，

∴四边形是菱形，又，

∴四边形是正方形，②错误；③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，

当时，最小，此时．

∴，③正确；④∵，

∴，

∴，∵F是边上的中点，∴∴四边形的面积保持不变，④正确；⑤由③可知当最小时，也最小，的最小值是3，则的最小值为，当面积最大时，此时的面积最小．

此时，⑤错误；综上，正确的是：①③④，故选：C．二.填空题（48分）7.的平方根是________．【答案】【解析】解：，∴的平方根是，故答案为：．8.函数的定义域为_______．【答案】【解析】解：根据题意得：，故答案为：．9.方程的解是__________．【答案】．【解析】原方程两边平方，得：－1＝4，所以，．故答案为．10.反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”）【答案】减小【解析】解：反比例函数，，反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小，在第三象限，y随x增大而减小，故答案为：减小．11.如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．【答案】5.4【解析】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°．∴△ACO～△BDO．∴．即．∴BD＝5.4（米）．故答案为：5.4．12.四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________【答案】6【解析】如图：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积=，故答案为：6.13.如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于_____度．【答案】22.5【解析】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，由题意得，，解得：，答：该三角形最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．14.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，…，第n个三角数记为，则_____（）．【答案】【解析】由题意可知，，，，…∴．故答案为：．15.在矩形中，，点O在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是____________．【答案】【解析】解：在矩形中，，，，，如图1，设与边相切于点，连接，∴，，，，，即，；如图2，设与边相切于，连接，同理可证明，，即，，；综上所述，如果与矩形的边没有一个公共点，那么．故答案为：．16.如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．【答案】1【解析】根据题意作图可分两种情况：1如图：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圆O上，∴BP=（垂径定理），又，∴OP===；因为ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情况不符合题意，舍去；2，如图，同理可得OP=，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．故答案是：1．17.如图，平面直角坐标系中，，反比例函数在第一象限内的图象分别与线段交于点，连接，如果点关于的对称点恰好落在边上，那么的值为______．【答案】12【解析】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示：则△BEF≌△DEF，∴BD=DF，BE=DE，∠FDE=∠FBE=90°，∴∠EDG+∠ADF=∠ADF+∠AFD，∴∠EDG=∠AFD，∵∠EGD=∠DAF，∴△ADF∽△GED，∴，∴AD：EG=BD：BE，∵A（8，0），B（8，4），C（0，4），∴AB=OC=EG=4，OA=BC=8，∵E、F在反比例函数的图象上，∴，∴，，∴，∴，∴

在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2=DF2

即：，

解得：k=12，故答案为12．18.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时，CM的长为__________________．【答案】2或8﹣4【解析】解：如图1中，当BN＝DM时，联结CC′交BM于J．∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM∥DN，∵CJ＝JC′，∴CM＝DM＝CD＝2．如图2中，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．∵CB＝CD，BN＝DM，∴CN＝CM＝MC′，在△BCM和△DCN中，，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴∠CDN＝∠CBM，∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，∴∠CBM＝∠C′CD，∴∠C′CD＝∠DCN，∴C′D＝C′C，∵C′T⊥CD，∴DT＝TC＝2，∵C′T∥CN，∴DC′＝C′N，∴C′T＝CN，设C′T＝x，则CN＝CM=MC′＝2x，TM＝x，∴2x+x＝2，∴x＝4﹣2，∴CM＝8﹣4，三.解答题（共78分）19.用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值．【答案】【解析】解：构造，其中，，延长到，使，连接，则，，设则，，，，．20.解不等式组：．【答案】【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为：．21.如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设．（1）求的正切值；（2）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点C，∴，∴；（2）解：如图，作轴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点的横坐标为，又∵轴，在上，∴，∵,均在反比例上：∴，解得：，∵四边形是矩形，∴舍去，∴，∴．22.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC=∠EGC．（1）求证：CG=DG；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，CE=AB，∴AB=CD=EC．又∵∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE，∴△ECG≌△DCF，∴CG=CF．∵点F为CE的中点，∴CF=CE，∴CG=CD，即：CG=DG．（2）延长AG、BC交于点H．∵△ECG≌△DCF，∴∠CEG=∠CDF，DG=CG．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∴△ADG≌△HCG，∴AG=HG．∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG．∴∠CEG=∠H，∴∠CDF=∠DAH．又∵∠AGD=∠DGM，∴△ADG∽△DMG．∴，∴又∵CG=DG，∴．23.某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．（1）请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式．____________（2）已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？（3）已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______．【答案】（1）100，40，图见解析，（2）（3）【解析】，，补全表格如下：120100605040305610121520阻值与压力的函数关系式为；故答案为：100，40；(2)电流表的示数为时，，解得，把代入得：，解得，该台秤最大可称的物体；（3），，，，，解得，故答案为：．24.如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接．（1）求证：与相切：（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若的半径为4，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：如图，连接，∵，，、，，是的直径，∴∠DBC=90°，，，，与相切；（2）解：过点作于点，连接，∵OC=OA，，∴，，，∴∠EBF=∠AOM，又，，，，，，又，；（3）解：，，，在中，，又，是等边三角形，，，，，∴EC=2EF，由勾股定理FC=设，则、，，，且，，在中，，，整理得△=242-16×23=208＞0解得：，，舍去，，．25.在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②求证：．（2）点在轴正半轴上