2025-2026学年下学期陕西榆林高三数学2026年4月联考试卷（含解析）

2026年全国高考冲刺压轴卷(四)数学注意事项:1.本卷满分150分,考试时间120分钟。答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=6−2i2+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A=x∣logA.−∞,2B.C.−2,3.已知sinθ=45A.17C.−14.某小型话剧表演结束后6名演员(含甲、乙)排成一排谢幕，若演员甲、乙不相邻，则不同的排法种数有A.360B.480C.504D.7205.已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2A.1B.2C.3D.46.已知函数fx=ex−eA.−3,C.−∞,−3∪7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1,F2点P是A.58B.108C.58.已知2sin1a=a2A.b<c<aB.a二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.某精密仪器车间有一个圆柱形原料,现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件,其尺寸如图所示,则A.圆柱形原料的表面积为42πB.圆柱形原料的体积为48πC.圆锥形零件的表面积为21πD.圆锥形零件的体积为12π10.在△ABC中,BC=A.AB=23B.若CD是△ABCC.若CD是△ABC的高，则CD=2D.若CD是△ABC11.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点(点A在第一象限),O为坐标原点,过点A,B分别作C的准线的垂线,垂足分别为A1,B1A.若λ=3,则B.若λ=3,则l的倾斜角为C.若λ=3且△AOB的面积为43D.若p=2，则4AF2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知a=1,2,b=−213.已知Sn是等比数列an的前n项和,若S9=51114.现一次性抛掷nn∈N∗颗质地均匀的正方体骰子(每颗骰子的点数都是1,2,3,4,5,6),这n颗骰子的点数中,最小点数记为随机变量X.若X的数学期望不大于74四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式，交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关，随机抽取该市1000名市民进行调查，得到如下2×2列联表低于40岁不低于40岁总计选择飞机出行100选择高铁出行300总计5001000(1)补全表中数据，依据小概率值α=0.001(2)调查小组统计高铁站某处今天的客流量，从7:00开始，每小时作为一个时间段(7:00~8:00为第1个时间段,8:00~9:00为第2个时间段,……),得到如下数据:时间段x12345客流量y(千人)11.52.533.5若y与x线性相关,建立每个时间段客流量y与时间段x的经验回归方程,并预测12:00~13:00的客流量.附:χ2=nad−α0.0100.001x6.63510.828对于一组数据x1,y1,x2,16.(本小题满分15分)如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，点M是棱PD上的动点，点N是棱AB上的一点，且(1)求证:MN⊥AC(2)若PB//平面MAC，求直线MN与平面MBC17.(本小题满分15分)已知Sn是数列an的前n项和,a1=1,数列Sn(1)求数列an(2)若bn=i=1n+1aiCni18.(本小题满分17分)已知函数fx(1)当a=0时,求函数fx的图象在(2)若函数fx在−π2,0上有两个零点x(i)求a的取值范围;(ii)求证:x119.(本小题满分17分)已知双曲线C:x2a2−y2a2=1a>0的左、右顶点分别为A,B，点D是C(1)求C的方程；(2)若P是C的左支上异于点A的一点，直线AP交直线x=−1于点E，直线EB交C于另一点(1)设直线BP，BQ的斜率分别为k1，k2，求证:k(1)求坐标原点O到直线PQ距离的最大值.参考答案-数学(四)1.Dz=6−2i2+i=6−2i2.C因为A=x∣log3x+3.B由sinθ=45,θ∈π2,π4.B先把除甲乙以外的4个人排好,共A44=24种情况,再将甲乙两人插入这4人所形成的5个空中,有A52=20种情况，根据分步乘法计数原理，总共有5.D因为函数fx的最小正周期为T,所以fT=f0=2sinφ=1,所以sinφ=12,因为0<φ<π2,所以φ=π6,因为6.C因为函数fx的定义域为R,且f−x+fx=e−x−ex+lnx2+1−x+ex−e−x+ lnx2+1+x=ln1=0,所以函数fx是奇函数,因为y=e7.D因为直线PF1,PF2的斜率之积为3×−13=−1,所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=π2,由直线PF1的斜率为3,可知PF2PF1=38.A因为2sin1a=a2sin1,所以aln2sin1=2sin1lna,所以lnaa=ln2sin12sin1,同理lnbb=ln2sin322sin32,lncc=ln2sin22sin2.令fx=lnxx,则f′x9.AD由题意知圆柱形原料的底面半径r=3,高h=4,表面积S1=2πr2+2πrh=42π,体积V1=πr2h=36π,故A正确,B错误;由题意知圆锥形零件的底面半径r=3,高h=410.BD由余弦定理,得AB2=BC2+AC2−2BC×AC×cos∠ACB=42+22−2×4×2cos2π3=28,所以AB= 27,故A错误;若CD是△ABC的中线,则CD=12CA+CB,所以CD2=14CA+CB2=14CA2+ CB2+211.ABD对于A,λ=3,因为△AA1B与△ABB1的面积之比为3,且AA1//BB1,所以AA1BB1=3,根据抛物线的定义,得AFBF=3,所以AF=3FB,故A正确;对于B,设直线l与C的准线交于点P,不妨设BF=x,则BB1=x,由A选项知AF=AA1=3x,因为sin∠BPB1=sin∠APA1,所以BB1BP=AA1AP,即xBP=3x4x+BP,解得BP=2x,所以sin∠BPB1=12,所以∠BPB1=π6,因此直线l的倾斜角为π3,故B正确;对于C,易知C的焦点为Fp2,0,由B选项知,设直线l的方程为y=3x−p2,与y2= 2px联立,得12x2−20px+3p2=0,解得x1=3p2,x2=p612.1因为a+b=−1,3,a−λb=1+2λ,213.63因为Sn是等比数列an的前n项和且S3≠0,所以9S3成等比数列,所以511−9S38S3=8S314.5由题意,得随机变量X可取1,2,3,4,5,6,n颗骰子的点数都不小于m的概率为7−m6n,点数都不小于m+1的概率为6−m6n,其中m=1,2,3,4,5,6,所以PX=m=715.解:(1)2×2低于40岁不低于40岁总计选择飞机出行100200300选择高铁出行400300700总计50050010001分零假设为H0:市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联.2由列联表中的数据,得χ2=依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H所以能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联.6分(2)x=i=1i=1所以b=ia=y所以每个时间段客流量y与时间段x的经验回归方程为y=0.65x当x=6时,所以预测12:00~13:00的客流量约为4.25千人.13分16.方法一:(1)证明:如图，连接DN，在矩形ABCD中，AB=3AN，CD=3所以tan∠ADN=13=33,tan∠BAC=33因为∠BAC+∠DAC=π2，所以∠因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以因为AC⊥DN,PD⊥AC,DN∩PD=D,DN又MN⊂平面PDN,所以MN⊥(2)解:连接BD交AC于点O，连接OM，因为PB//平面MAC，PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=OM因为四边形ABCD是矩形,所以O为BD的中点,所以M为DP的中点.8分由题意可知,DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,故M0,所以MN=3,1,−1,MB=3,3令y=1,得x=0,z设直线MN与平面MBC所成角为θ,则sinθ即直线MN与平面MBC所成角的正弦值为25.15方法二:(1)证明:由题意可知DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,1分因为AB=3AN,CD=设M0,0,t0≤t≤2,则MN=3,1(2)解:连接BD交AC于点O，连接OM，因为PB//平面MAC,PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=因为四边形ABCD是矩形,所以O为BD的中点,所以M为DP的中点,故M0,所以MN=3设m=x,y,z为平面令y=1,得x=0,z设直线MN与平面MBC所成角为θ,则sinθ即直线MN与平面MBC所成角的正弦值为25.1517.解:(1)因为S1a1=1,且数列Snan所以Sn=当n≥2时,Sn−1所以n−12an=所以数列ann是常数列,所以ann=a(2)因为bn=i=1n+1a两式相加,得2b所以bn=所以Tn2Tn两式相减,得−Tn=3+218.(1)解:当a=0时，fx=3cosx−cos所以f′−所以函数fx的图象在−π2,f−π2处的切线方程为(2)(i)解:f′x当x∈−π2,当x∈−π2,−π当x∈−π4,0时,所以fx在−π2,0若函数fx在−π2,0解得2<a<22，所以a(ii)证明:由(l)得−π2<x1<−π4<x2<0,要证x1+x2+所以只需证fx2因为fx2=fx1令gx则g′x=f′x+f′所以cos2x<0,sinx+π4<0,所以g′x所以gx所以fx<f−π2所以x1+x219.(1)解:由题意知C的渐近线方程为x±y=0设Dx0,y0因为DMDN=x0+y所以C的方程为x24(2)(i)证明:由(1)，得A−2,0，B2,0，设Px1,直线AP的斜率kAP=y1x1+2,直线因为k