2025-2026学年下学期浙江杭州二中高一数学2026年4月周末练6试卷（含解析）

杭州二中2025级高一下数学周末练6一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1、已知向量AB=5,1,BC=m,9,CD=A.54B.-11C.11D.2、已知复数zi2023+2=10A.4+2iB.−3、如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=A.8+2C.6+24、设e1,eA.a=eC.a=35、在三棱锥A−BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是()A.1517B.35C.47、在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosCA.3B.33C.6D.8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为m的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动,则正数m的最大值是()A.23B.223C.二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9、已知复数z=m2−m−2+m2−A.当m=−1时,z为纯虚数B.当m=1C.当m=2时,z=−3iD.当10、在△ABC中,角A,B,C所对的边为A.若b=22B.若满足条件的△ABC有2个,则b的取值范围为C.△ABC面积的最大值为D.b+2c的最大值为11、在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AA.AB.过点A、P、CC.以点P为球心，2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2πD.三棱锥P−ABD外接球的体积是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12、已知复数z满足z−1=1，则z+213、已知:在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=1,AD=14、已知正n边形A1A2⋯Ann为偶数内接于单位圆O，且满足OA1+OAi≤3(i=1 2,⋯,n的顶点Ai四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15、已知向量a,b，满足a=2，b=3，向量a，(1)求a+2(2)求向量2a+b与b的夹角16、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,(1)求角B的大小(2)△ABC的内心为I，求△ACI17、如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点E，(1)根据多面体ADD1(2)求多面体ADD118、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是π3,所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数=219、已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为(1)求B；(2)若c=1，点D在AC上，直线BD上一点P满足CB⋅CP=CD⋅CP，在点(i)求PA2(ii)当PA2+PC2杭州二中2025级高一下数学周末练6一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1、已知向量AB=5,1,BC=m,9,CD=A.54B.-11C.11D.因为AB=5,1,又A、C、D三点共线,所以AC//CD,所以2、已知复数zi2023+2=10A.4+2iB.−因为i4所以z=10i2023+3、如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=A.8+2C.6+2由题意知直观图为等腰梯形A′则A′将直观图复原为原图,如图所示:则AB=作CF⊥AB于F,则所以BC=故四边形ABCD的周长为4+4、设e1,eA.a=eC.a=3e1,e2是平面内所有向量的一组基底,所以e1对于A,假设a=e1+2e2与b=−e1+2e2所以a=e1+2e2与对于B,假设a=−e1−e2与b=1所以12λ所以a=−e1−e2与b对于C,因为−2所以a=3e1+12e2对于D,假设a=−13e1+e2与b=e1+2e2共线,则存在实数λ,使所以能作为基底,所以D错误.5、在三棱锥A−BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上如图,∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG又平面ABC∩平面ACD故选:B.6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是()A.1517B.35C.4设圆锥与半球的底面半径为R,圆锥的高为h,母线长为l,轴截面的顶角为θ.则由V锥=V半球可得13所以圆锥的母线长l=由余弦定理可得cosθ所以圆锥轴截面顶角的余弦值是35,故其正弦值是47、在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosCA.3B.33C.6D.由bcos根据正弦定理得，sinBcos则sinB在△ABC中,sinA>0,则1=又0<B<π，则又S△ABC=12所以a2+c2≥2ac则a2+c8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为m的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动,则正数m的最大值是()A.23B.223C.当正四面体的外接球为圆锥的内切球时,m的值最大.因为圆锥的底面半径为1,轴截面为正三角形,所以正三角形的边长为2,如图(一)，圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，r=233sin30∘因为正四面体的边长为m,则补全为正方体时其棱长为m2图(一)图(二)所以正四面体的外接球半径R=123×故选:B.二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9、已知复数z=m2−m−2+m2−A.当m=−1时,z为纯虚数B.当m=1C.当m=2时,z=−3iD.当对A:当m=−1时,z=0∈对B:当m=1时,z=−2∈R对C:当m=2时,z=0+3i=3i对D:当m=−2时,所以z==100=10,故10、在△ABC中，角A,B,C所对的边为A.若b=22B.若满足条件的△ABC有2个，则b的取值范围为C.△ABC面积的最大值为D.b+2c的最大值为对于A,由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA,即对于B，由正弦定理得b=asinBsinA=22sin要使角B有两个值，则sinB∈32,1，所以b对于C,因为a=6,A=π3,所以所以△ABC面积S=12bcsin对于D,由正弦定理得bsinB=c所以b+其中tanφ=32,φ∈0,π2,因为B∈0,2π3,所以当11、在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AA.AB.过点A、P、CC.以点P为球心，2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2πD.三棱锥P−ABD外接球的体积是设AA1=h,A1P=在直角△DD1P中,根据勾股定理得22=h2+4−x2延长AP,DD1相交于点Q,连接QC交C1D1于点在△ADQ中,利用三角形相似可得QD=43,在△CDQ∴PR=2,RC=10，又底面ABCD故截面周长为AP+PR+RC+AC点P到底面ABCD的距离为1,球的半径为2，设球面与底面ABCD(正方形)的交线为半圆,圆心在线段AD上且与D距离为1,圆的半径r=22−12=1,可得交线长为在△PAD中,∠PDA=∠DPD1=45∘,则△PAD的外接圆半径因此三棱锥P−ABD的外接球的球心O在线段AB的中垂线上,球心O到平面PAD的距离为则球半径R=r2+d2=5+4=3,故三棱锥三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12、已知复数z满足z−1=1，则z复数z满足z−1=1,则复数z对应的点Zx,y在以而z+2+4i=z−−2−4i圆心C到定点A距离为:d所以z+2+4i(i是虚数单位)13、已知:在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=1,AD=由长方体的性质可知,AB将△AB1C与△D1CB1易证四边形AB1D1C是平行四边形,所以当APD根据平行四边形对角线和四条边的性质即:A代入数据得:AD12+13∴AP+D1P14、已知正n边形A1A2⋯Ann为偶数内接于单位圆O，且满足OA1+OAi≤3(i=1 2,⋯,n的顶点Ai由题知正n边形顶点为A1,A2,⋯,An,设OA1由题意可得,满足OA1+OAi>3不等式两边平方可得OA因为正n边形A1A2⋯An所以OA1=OA所以1+1+2cosθ>3故满足条件的顶点只能为A1,所以有2πn<π3≤4πn,解得6<n≤下面求PO的最大值.如图,由正三角形PMN中,取MN中点H,连接OH,则OH⊥MN,PH⊥MN,故则OH=所以OP=sinθ+3cosθ故i=1nPAi≤12PO≤24故答案为:24.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15、已知向量a,b，满足a=2，b=3，向量a，(1)求a+2(2)求向量2a+b与b的夹角(1)由题意可得,a⋅则a+(2)由已知，2a+2则向量2a+b与b的夹角θ的余弦值为16、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,(1)求角B的大小(2)△ABC的内心为I，求△ACI(1)根据正弦定理,得sinAcosB+sin而sinC>0,故cosB=12(2)由(1)可得∠B=π3，即设△ABC的内心为I,即∠ACI+∠CAI=设∠ACI=θ0<θ<π3，则所以CI=所以△ACI的周长为433sin所以π3<θ+π3<2π故△ACI的周长取值范围为417、如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=(1)根据多面体ADD1(2)求多面体ADD1(1)几何体ADD1因为点E,F分别是棱BC,CC1的中点,连接且EF=12BC1延长AE,D1F相交于点G,因为G∈所以G∈平面ABCD又因为G∈D1F,D1F⊂平面CD因为平面ABCD∩平面CDD1C1所以直线AE,DC,D1所以几何体G−AD由于平面ECF//平面ADD底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体ADD1(2)因为AB=2，所以CE=CF=1在等腰梯形AEFD1中，EF=2，AD1所以S梯形又因为S梯形所以三棱台ADD1−ECF因为三棱台ADD1−ECF的高所以棱台ADD1V18、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是π3,所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足:顶点