四川省蓉城名校联盟2026届高三第二次联合诊断性考试数学+答案

考试时间120分钟，满分150分擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知全集U={2,3,4,5,6,7,8},M={3,4,5,6A.{2,8}C.{2,3,7,8}2.复数的虚部是A.1B.iA.(-4,3)B.(-3,4)C.(-∞,-4)U(3,+∞)D.(一∞,-3)U(4,+0)4.已知双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为4x-3y=0,则该双曲5.6的展开式中，常数项为A.-240B.-16C.166.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间T=m₀lgN(单位：h),其中m₀为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为8h,当训练m个单位的数据量A.10000B.15000C.20000是二面角C-AB-O的平面角.其中，所有正确结论的序号是A.①②B.①③C.②③D.①②③A.10B.12C.14二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。A.事件A与B互为对立事件B.如果A≌B,那么P(AB)=0.4C.若a=4,则弦PQ的中点的轨迹方程为y²=2x-8D.若a>0,直线PO与直线l:x=-a相交于点R,则直线QR⊥1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,-1),b=(4,m),且a//b,则实数m=的取值范围是·四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出15.(13分)16.(15分)(2)当三棱锥B-B₁EF的体积取得最大值时，求平面B₁EF与平面BEF的夹角的余弦17.(15分)设函数f(x)=2lnx+ax²-2(a+1)x+3.数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共4页)18.(17分)已知直线1:x=4,椭圆C:,过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于点A,B.(1)判断直线1与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论；(2)过点F作直线AB的垂线，与直线l相交于点P,(i)求△PAB面积的最小值；(ii)证明：直线PA与椭圆C有且只有一个公共点.19.(17分)某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为;如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和;如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为.现开启这种提示灯，第一次亮红灯.(1)求第三次亮灯为红灯的概率；(2)设第n次亮灯为红灯的概率为P₁,当n≥2时，(ii)该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大?为什么?1数学参考答案及评分意见1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继4.只给整数分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。12345678CABCDADB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。9三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程【解析】即…………3分…………6分(2)由(1)的结论有∴c=4,∴a=√13,…………12分∴△ABC的周长=a+b+c=7+√13.…………13分2系、二面角、空间向量等基础知识，考查线面平行的性质定理的运用方法以及二面角的余弦【解析】方法1:故AC//EF,…………4分即F为BC的中点，(2)不妨设AB=1,BF=t(0<t<1),…………8分此时，E,F分别为AB,CB的中点，…………10分过点B作BG⊥EF于点G,∴∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，…………12分故当三棱锥B-B₁EF的体积取得最大值时，…………15分3方法2:系B-xyz,则A(0,1,0),C(1,0,0),E(0,1-t,0),F(t,0,0),B₁(0,0,1),AC=(1,-1,0),EF=(t,t-1,0),B₁E=(0,1-t,—1),…………2分设平面B₁EF的法向量为n=(x,y,z),取y=1,则平面B₁EF的一个法向量…………4分欲使A₁C₁//平面B₁EF,即使AC//平面B₁EF,可知E为AB的中点，…………8分当且仅当即时取“=”,…………1平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),…………12分可知0<θ<90°,…………15分4【解析】(1)由f(x)=2lnx+ax²-2(a+1)x+3,可知x>0,…………②当0<a<1时，…………3分③当a=1时，,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；…………4分④当a>1时，…………5分+0)上单调递增；)上单调递增；…………6分5(2)方法1:…………8分二时则是g(x)的极大值点，则g(x)的值域为(-∞,2ln2-1),即f(x)的极小值取值范围是(一∞,21n2-1),…………12分∴存在正实数a₀,使得a∈(0,ao)时，函数f(x)有且只有3个零点.…………15分方法2:…………8分取…………12分∴存在正实数ao,使得a∈(0,ao)时，函数f(x)有且只有3个零点.…………15分6【解析】(1)直线1与以线段AB为直径的圆相离，…………2分其中-2≤x₁≤2,-2≤x₂≤2,令点A,B到直线I的距离分别为d₁,d₂,设D为AB的中点，点D到直线1的距离为d,∴直线1与以线段AB为直径的圆相离；…………5分(2)(i)方法1:…………7分…………7方法2:由题意知直线AB不与x轴重合，联立得(3m²+4)y²+6my-9=0……………………8分∵过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=-m(x-1),则P(4,-3m),PF|=√(4-1)²+(-3m)²=3√m²+1,…………9分令t=√m²+1,t≥1,故△PAB面积的最小值为…………11分(ii)欲证直线PA与椭圆C有且只有一个公共点，只需证明在点A处切线I'的斜率等于直线P则I'的方程为y-y₁=k(x-x₁),联立得(3+4k²)x²+8k(y₁-kx₁)x+4(y₁-kx₁)²-12=0,则由△=0,得64k²(y₁-kx₁)²-4(3+4k²)[4(y₁-kx₁)²-12]=0,…………12分8即(4-x²)k²+2x₁y₁k+3-y²=0,过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=-m(x-1),则P(4,-3m),即证明4y²+12my₁=9+6my₁-3m²y²,根据(i)中的方程(*),……………………由此可知，直线PA与椭圆C有且只有一个公共点.…………17分【解析】P(A₃)=P(A₂A₃+B₂A₃)…………2分=P(A₂)P(A3|A₂)+P(B₂)P…………4分(2)方法1:(i)设事件Cₙ=“第n次=P(An)P(Bn+1|An)+P(Bn),①…………6分即由于为首项…………8分9=P(An)P(Aₙ+1|An)+P(Bn②…………10分即…………12分,an+1≥bn+1,当且仅当n=1∴亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，…………13分=P(An)P(Cₙ+1|An)+P(B即…………方法2:=P(AnAn+1)+P(BnAn+1)+P(CnAn+1)=P(An)P(An+1|An)+P(Bn即…………6分=P(An)P(Bn+1|An)+P(B即,②…………8分P(Cn+1)=P(AₙCn+1+BCn+=P(An)P(Cn+1|An)+P(B*③…………,④,且即…………即亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，…………13分…………15分∴an+1>Cn+1,即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，解析：合的表示方法，考查运算求解能力。【解析】由题可得M∩N={4,5,6},二v(MNN)={2,3,7,8}.也可以由Venn图求解.2.【命题意图】通过复数创设情境，设计基础性问题，主要考查复数的概念，复数运算等基础知识，考查运算求解能力。3.【命题意图】通过不等式创设情境，设计基础性问题，主要考查不等式的【解析】由,得,即,故-3<x<4,故选B.4.【命题意图】通过双曲线问题创设情境，设计基础性问题，主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知5.【命题意图】通过二项式问题创设情境，设计基础性问题，主要考查二项式定理，展开式的通项公式，常数项等基础知识，考查运算求解能力。【解析】由展开式的通项得,得k=4,∴常数项6.【命题意图】通过人工智能大语言模型训练创设生活实践情境，设计基础性、应用性问题，考查指数、对数的运算等基础知识，考查数学运算、数学建模等数学核心素养。m₀=4,∴T=41gN.当训练m个单位的数据量所需的时间为16h时，则有41gm=16,解得m=10000.7.【命题意图】通过三棱锥中的线面关系问题创设情境，设计基础性问题，主要考查直线与平面垂直的判【解析】由己知得，直线CO⊥平面AOB,∴CO⊥AB,且∠CDO等于直线CD与平面AOB所成的角；由线面垂直的判定定理可知，直线AB⊥平面CDO,由二面角的定义可知，∠CDO是二面角C-AB-0的平面角.于是，结论①②③均正确.8.【命题意图】通过函数性质创设情境，设计综合性、创新性问题，主要考查函数奇偶性、基本不等式等基础知识，考查函数性质及基本不等式的应用，考查数学抽象、逻辑推理等核心素养。【解析】,则函数f(x)为奇函数，又由可知f(x)在定义域R上单调递增.由f(a-1)+f(2b)=0可得f(a-1)=-f(2b)=f(-2b),∴a-1=即当时，等号成立，∴的最小值为12.9.【命题意图】本小题通过两个随机事件的关系创设情境，设计基础性问题，考查互斥事件和独立事件的概念与性质等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。【解析】若事件A与B互为对立事件，则必有P(A)=1-P(B),显然不成立，选项A错误；如果A≌B,则若事件A,B相互独立，则事件A与B