云南省2025一2026学年玉溪市普通高中毕业生第二次教学质量检测 数学答案

云南玉溪市2025-2026学年普通高中毕业生第二次教学质量检测数学试卷【考试时间：4月13日15：00－17：00】注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合并集进行运算即可.【详解】由题可知，，，所以.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.5【答案】D【解析】【详解】因为复数，则，所以.3.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件，故选：C.4.记为等差数列的前项和．若，则（）A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.5.为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质计算即可求解.【详解】已知的频率为，组距为，因此，解得.又因为所有组频率和为，因此，

代入，计算得

，则，因此，.6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由，得，所以，所以，又因为，所以，所以，解得；在中，，由余弦定理可得，所以，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，所以面积的取值范围为.7.已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解.【详解】∵函数为奇函数，∴，又∵，∴，故选项C正确.其他三个选项条件不足无法计算，故选C.故选：C.8.已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】计算，再计算的面积和周长得出即可求出.【详解】令，其中，则，得，因为，所以，则由双曲线的定义可知，，则的面积为，周长为，则，则，则的离心率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知角的终边过点，下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【详解】由题意得，，则，故AC正确，B错误；，故D错误.10.设函数，其中，则下列说法正确的是（）A.可能为奇函数 B.既有极大值也有极小值C.不等式的解集是 D.若恒成立，则【答案】BCD【解析】【分析】根据奇函数的性质，判断A，判断导函数的零点个数，判断B，根据零点，解不等式，判断C，根据函数和的对称性，结合函数的零点和不等式的关系，判断D.【详解】对A，若为奇函数，则，且，则，，这样的三个零点不关于原点对称，则不是奇函数，故A错误；对B，，所以.由.，因为，所以，所以有两个不相等的零点，不妨设为，，得或；，得.所以函数的增区间为和，减区间为，所以是的极大值点，是的极小值点，故B正确；对C，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的解集为，故C正确；对D，与关于对称，若恒成立，则的零点关于直线对称，所以，故D正确.11.已知菱形ABCD的边长为与BD交于点，将沿AC翻折得到且分别为AB，BC中点，，设平面EFG截四面体所得截面面积为，下列选项正确的是（）A.若GE与平面ABC所成角为，则 B.若，则C.的极大值为 D.的极小值为【答案】ABC【解析】【分析】过作，分析可知截面为，且平面，平面，结合长度关系可得，，对于A：根据线面夹角可知，即可得结果；对于B：分析可知，代入运算即可；对于CD：令，，利用导数分析的单调性，即可得的单调性，进而可得极值.【详解】过作，设，，，因为分别为AB，BC中点，则，可得，可知平面截四面体所得截面为，又因为，则，，且，平面，则平面，由平面可得，即，，因为，，且，平面，则平面，由题意可知，，则，，，，可得，所以平面截四面体所得截面面积如下，为.对于选项A，因为平面，则GE与平面ABC所成角为，且，可得，故A正确；对于选项B，若，且为中点，则，即，解得，故B正确；对于选项CD，因为，，令，，则，因为，则，令，解得；令，解得或；可知在内单调递增，在，内单调递减，且在定义域内单调递增，则在内单调递增，在，内单调递减，所以的极大值为，极小值为，故C正确，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设抛物线的焦点为，点在C上，且，则__________．【答案】【解析】【详解】由题可知抛物线的准线为，由抛物线定义可得：，解得.13.已知均是第一象限角，，则______．【答案】【解析】【分析】根据条件分别求，再根据同角三角函数关系式求和，最后代入两角和余弦公式求解即可.【详解】由条件可知，，得，又，所以，因为是第一象限角，所以，解得，，又所以，解得，，所以，所以.14.是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种，进而判断出5的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再求概率即可．【详解】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种，因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位，当5排在第一位时，若4排在第二位，此时排列可以是（5，4，1，2，3），（5，4，2，1，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），共4种情况；当5排在第一位时，若3排在第二位，此时若4排在中间位置（如或），其邻居（来自剩下的数）必然都小于4，不满足题设条件，故4只能排在第五位，此时排列可以是（5，3，1，2，4），（5，3，2，1，4），共2种情况；当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位，此时排列可以是（5，2，1，3，4），共1种情况；当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位，此时排列可以是（5，1，2，3，4），共1种情况；由上可知，当5排在第一位时，共有8种情况；同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件；综上所述，共有种排列满足条件，所以该排列满足此条件的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接，设，可证，由线面平行的判定定理可证平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值．【小问1详解】如图，连接，设，因为，且，故，而，故，故，而平面，平面，故平面.【小问2详解】因为，故，故，而平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故，又.设平面的法向量为，则即，取，设平面的法向量为，则即，取，设二面角的平面角为，由题设可得为锐角，故.16.已知椭圆，直线．（1）若经过C的右焦点，求C的标准方程；（2）若与C交于两点，且，求C的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合题意建立方程求出，再求出，最后得到椭圆方程即可.（2）联立方程组并利用韦达定理得到，，再结合弦长公式建立方程求解参数，最后得到椭圆方程即可.【小问1详解】设C的右焦点为，因为经过C的右焦点，所以，解得，而，可得，故C的标准方程为.【小问2详解】如图，设，，联立方程组，得到，由韦达定理得，，由弦长公式得，因为，所以，化简得，整理可得，解得（负根舍去），故椭圆C方程为.17.有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同．（1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；（2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大．【答案】（1）（2）该球取自2号箱的可能性最大【解析】【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可；（2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可.【小问1详解】设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”，则，，可得，故取到红球的概率为.【小问2详解】根据（1）中数据，由贝叶斯公式知；；，因为，所以该球取自2号箱的可能性最大．18.已知数列中，．（1）证明：数列是等差数列；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积；（3）记，若恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）（3）.【解析】【分析】（1）两边同时除以即可证明数列是等差数列.（2）记梯形的面积为，根据题意得，再根据错位相减法求和即可得面积;（3）结合题意代入原式可得，再根据恒成立问题转化为，最后根据数列的单调性求的最小值即可得答案.【小问1详解】因为，两边同时除以，所以所以是首项为，公差为1的等差数列.【小问2详解】过向轴作垂线，垂足分别为，由（1）得，则.记梯形的面积为.由题意得所以①又②①②得所以.所以由该折线与直线所围成的区域的面积.【小问3详解】已知，则所以.由恒成立，即恒成立，即恒成立，由单调递增，故当时，，故，即，所以的最大值为.19.．（1）若，讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求的范围；（3）证明：．【答案】（1）在R上单调递减.（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据基本不等式判断导数的符号后可判断函数的单调性；（2）就、、分类讨论，结合局部保号性可求