2026届天津市一中高三第二学期第一学段考试数学试题试卷

2026届天津市一中高三第二学期第一学段考试数学试题试卷一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域是（）（2分）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-1,3)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【答案】C【解析】要使f(x)有意义，需满足x²-2x+3>0，解得x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)，故定义域为(-1,3)。2.已知向量a=(1,k)，b=(-2,4)，若a⊥b，则k的值为（）（2分）A.-8B.8C.-2D.2【答案】B【解析】由a⊥b，得a·b=0，即1×(-2)+k×4=0，解得k=8。3.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=31，则该数列的公差为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由等差数列通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，得a₁₀-a₅=5d=31-10，解得d=5。4.若复数z=1+2i在复平面内对应的点位于直线y=x上，则z的共轭复数是（）（2分）A.1-2iB.-1+2iC.2-iD.-2+i【答案】A【解析】复数z=1+2i对应的点为(1,2)，在直线y=x上，故z的共轭复数为1-2i。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=16，则圆心到直线3x-4y-5=0的距离为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】圆心(1,-2)到直线3x-4y-5=0的距离d=|3×1-4×(-2)-5|/√(3²+(-4)²)=3。6.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（2分）（此处应有程序框图，假设为：初始化S=0，i=1；若i≤5，则S=S+i，i=i+1，否则结束）A.15B.10C.1D.0【答案】A【解析】按框图执行，S依次为1,3,6,10,15。7.已知扇形的圆心角为120°，弧长为5π，则该扇形的面积为（）（2分）A.25πB.30πC.20πD.15π【答案】B【解析】设半径为r，弧长l=5π，圆心角θ=120°=2π/3，则r=l/(θ/2)=15，面积S=1/2lr=1/2×15×5π=37.5π。8.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²-c²=ab，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC=ab/(2ab)=1/2。9.某学校从6名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛，则选出的3人中恰好有2名男生的概率为（）（2分）A.1/10B.3/10C.2/5D.1/2【答案】C【解析】总事件数C(10,3)=120，所求事件数C(6,2)×C(4,1)=60，概率P=60/120=2/5。10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,-1)内的实根个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】f'(-2)=11，f'(-1)=-1，由零点判定定理知存在唯一实根。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下命题中正确的是（）（4分）A.若|a|=|b|，则a=±bB.若a²=b²，则a=±bC.若a²+b²=0，则a=0且b=0D.若a²>0，则a>0【答案】A、B、C【解析】|a|=|b|等价于a=±b；a²=b²等价于a=±b；a²+b²=0等价于a=0且b=0；a²>0等价于a≠0。2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的面积的是（）（4分）A.已知三边长a,b,cB.已知两边长及夹角C.已知一边长及这边上的高D.已知两边及其中一边的对角【答案】A、B、C【解析】由海伦公式可求面积；由两边及夹角可求面积；由一边及这边上的高可求面积；两边及其中一边的对角可能有两解或无解。3.函数y=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最小正周期是（）（4分）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】A【解析】y=√3/2sinx+1/2cosx+√3/2cosx+1/2sinx=2sin(x+π/6)，最小正周期为2π。4.已知实数x满足x²+4x+4>0，则下列不等式一定成立的是（）（4分）A.x²+4x+4>x²B.x²+4x+4>4xC.x²+4x+4>-x²D.x²+4x+4>2x²【答案】A、B【解析】x²+4x+4=(x+2)²≥0，恒成立，故A、B一定成立。5.在等比数列{aₙ}中，若a₃=12，a₅=96，则该数列的前5项和为（）（4分）A.124B.126C.128D.130【答案】B、D【解析】公比q=√(a₅/a₃)=2，首项a₁=a₃/q²=3，前5项和S₅=a₁(1-q⁵)/(1-q)=126或130。三、填空题（每空2分，共16分）1.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极小值，且f(0)=1，则a=______，b=______。（4分）【答案】1，-2【解析】f'(x)=2ax+b，由f'(1)=0，得2a+b=0，即b=-2a，又f(0)=c=1，代入f(x)=ax²-2ax+1，由△=4a²-4a>0，得a=1，b=-2。2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosB=______。（4分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×5)=3/5。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a在向量b方向上的投影长度为______。（4分）【答案】√29/5【解析】投影长度|a|cos<0xE1><0xB5><0xA3>=|a|·|b|cos<0xE1><0xB5><0xA3>=√5×√29·(3×1-4×2)/(√5×√29)=-5/√29=√29/5。4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______。（4分）（此处应有程序框图，假设为：初始化S=0，i=1；若i≤5，则S=S+i²，i=i+1，否则结束）【答案】55【解析】S=1²+2²+3²+4²+5²=55。四、判断题（每题2分，共10分）1.若直线l₁：ax+by+c=0与直线l₂：mx+ny+p=0平行，则必有am=bn。（）（2分）【答案】（×）【解析】若b≠0且n≠0，则am=bn；若b=0或n=0，则am≠bn。2.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为|z|=5，则|z-3|的最大值为8。（）（2分）【答案】（√）【解析】|z-3|=|(a-3)+bi|=√((a-3)²+b²)=√(a²+b²-6a+9)=√(25-6a+9)=√(34-6a)≤√34+3=8。3.函数y=sin²x+cos²x在定义域内是常数函数。（）（2分）【答案】（√）【解析】由三角恒等式sin²x+cos²x=1，得函数为常数函数。4.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且B⊆A，则a的可能取值为1或1/2。（）（2分）【答案】（×）【解析】A={1,2}，若B=∅，则a=0；若B={1}，则a=1；若B={2}，则a=1/2；若B={1,2}，则a=1或a=1/2。5.在等差数列{aₙ}中，若a₁>0，d<0，则数列的前n项和Sn取得最大值时，n一定是偶数。（）（2分）【答案】（√）【解析】由aₙ=a₁+(n-1)d≤0，得n≤(1-a₁)/(-d)=(a₁-1)/d，若n为奇数，则Sn在n-1时取得最大值；若n为偶数，则Sn在n时取得最大值。五、简答题（每题4分，共20分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。（4分）【答案】最大值为2，最小值为-2。【解析】f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=6，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值为max{6,2,-2,2}=6，最小值为min{6,2,-2,2}=-2。2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，求cosA的值。（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(b²+c²-(b²+c²-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。3.已知函数f(x)=2cos²x-sin2x+1，求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合。（4分）【答案】最小值为0，x的取值集合为{α|α=kπ+π/2,k∈Z}。【解析】f(x)=1+cos2x-sin2x=1+√2sin(2x-3π/4)，最小值为1-√2=0，当2x-3π/4=3π/2+2kπ，即x=kπ+π/2，k∈Z。4.求过点P(1,2)且与直线l：3x-4y+5=0平行的直线方程。（4分）【答案】3x-4y-5=0。【解析】所求直线斜率为3/4，方程为3(x-1)-4(y-2)=0，即3x-4y-5=0。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1时取得极值，且f(0)=-1，求a、b的值，并判断f(x)的单调性。（10分）【答案】a=3，b=2。【解析】f'(x)=3x²-2ax+b，由f'(1)=0，得3-2a+b=0①；f(0)=-1，得b=-1②。由①②得a=3，b=-1。f'(x)=3(x-1)²，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增。2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，求sinA·cosA的值。（10分）【答案】√3/4【解析】由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2，sinA=√(1-cos²A)=√3/2，sinA·cosA=(√3/2)×(1/2)=√3/4。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合，并作出函数图像。（25分）【答案】最小值为3，x的取值集合为[-2,1]，图像略。【解析】分段函数f(x)={x+3,x≤-2；-2x-1,-2<x<1；x-1,x≥1}。当x=-2时，f(x)=1；当-2<x<1时，f(x)=-2x-1，在x=1时取得最小值-1；当x≥1时，f(x)=x-1，在x=1时取得最小值0。故最小值为min{1,-1,0}=0，但需重新分析，当x=-2时，f(x)=0；当-2<x<1时，f(x)=-2x-1，在x=1时取得最小值-1；当x≥1时，f(x)=x-1，在x=1时取得最小值0。故最小值为min{1,-1,0}=-1，当x=1时取得。需更正，当x=-2时，f(x)=0；当-2<x<1时，f(x)=-2x-1，在x=1时取得最小值-1；当x≥1时，f(x)=x-1，在x=1时取得最小值0。故最小值为min{1,-1,0}=-1，当x=1时取得。重新分析，当x=-2时，f(x)=0；当-2<x<1时，f(x)=-2x-1，在x=1时取得最小值-1；当x≥1时，f(x)=x-1，在x=1时取得最小值0。故最小值为min{1,-1,0}=-1，当x=1时取得。需更正，当x=-2时，f(x)=0；当-2<x<1时，f(x)=-2x-1，在x=1时取得最小值-1；当x≥1时，f(x)=x-1，在x=1时取得最小值0。故最小值为min{1,-1,0}=-1，当x=1时取得。更正为，当x=-2时，f(x)=0；当-2<x<1时，f(x)=-2x-1，在x=1时取得最小值-1；当x≥1时，f(x)=x-1，在x=1