2025《金版教程高考数学复习创新方案》高考解答题专项突破（五） 第3课时 证明与探索性问题

第3课时证明与探索性问题

考点一证明问题（多考向探究）

考向1利用直接法证明

例1（2023•河南名校联盟押题）已知双曲线C：，一或=1（。＞0）的左、右焦点分别为广，F2.

过B的直线/交。的右支于M,N两点，当/垂直于x轴时，M,N到C的一条渐近线的距

离之和为2＜2.

（1）求。的方程;

I""Ml

（2）证明:为定值.

\MFIC\NF2\

解（1）根据题意，得尸2（小小0）,C的一条渐近线方程为y=x,

将代入C的方程，得a）,N（y[la,—a）,

所以M,N到直线＞=A的距离之和为吗1司十凶整回=2〃=2啦,

所以〃=6，所以C的方程为9-9=1.

⑵证明：当/垂直于x轴时，由（1）可知，\MF2\=\NF2\=a=y[2,

且由双曲线的定义可知|MF]|=|NB|=〃+2a=3a=3，L

心竺11Mli

取IMBI+INB厂

当/不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知|MR|=|MP2l+2a=|m31+2也,|NQ|=|N*2l+2，L

以\MF2\十w尸2lY尸2|

设/：y=k（x—2）,代入C的方程，

得（1一3*+4&—以2—2=（）,

设Mgyi）,MM1y2），

4F+2

则Xl+l2==，x片五二p

IMF2I+WF2I_|MM______________|内-X2I_____________

所以\MF2\+INF2I下布丽可=\MF2\-\NF2\=亚+由（项一2）（一一2）|

7（即+12）2—4X1X2

yfI+Zr|xiX2—2（内+及）+4|

I16116/+8_____

N（「-1）2」8d+8

二i岩-罟+4「所

=yj^,

所以能P■耨=2+26（j^j+矗）=2+2&x6=6.

综匕IS+耨的值为6（定值）♦

:名师点拨

对于证明问题，一般是根据已知条件，运用所涉及的知识通过运算化简，利用定义、定理、

公理等，直接推导出所证明的结论即可，证明不等式常月不等式的性质或基本不等式求得最

值.

卷命训练1.(2023・四川广安统考二模)已知椭圆E：a+^=1仅＞比＞0)经过40,1),

8

-

-5一号两点，M，N是椭圆E上异于7的两动点，H/MAT=/NAT,若直线AM,AN

的斜率均存在，并分别记为队，h

(1)证明:后心为常数;

Q

(2)记AAMN的面积为S,证明：SWg.

证明(1)设直线AM,AT,AN的倾斜角分别为a,0,B,因为/MA7=NN47,所以NM4N

=2ZNAT,

8

-

即"一a=20—。），故a+夕=2"因为4（0,1）,5所以ian0=—g——1＞所以。

5

=£，所以a+/?=2。=看则4次2=1211府116=121】〃1211e一，=1,所以kik2为常数1.

6

22

（2）椭圆E：，+方=1（〃＞於0）经过A（0,1）,p一加点，代入得

悬+身，

/=4,

解得

〃=1,

所以椭圆E'的方程为［+y=l.

设M（xi，yi）,Ng,1y2）,3=&（灯0,原1）,由（1）得&2=），

K

则直线人M的方程为y="+I,yi=Axi+I,直线AN的方程为y=*+I,”=%2+l，联立

4+’L消去y,得（4正+1）1+8h=0,则沏=一元军’

j=&r+I,

82

同理可得X2=—―---F+4,

4⑺+1

则S&wN=%M|AN|sin/M4N

—^\AM\\AN\\j1—cos2ZMAN

=1dlAA/piAA/l，（1—cos^/MAN）

=1yl\AMf\ANf-（\AM\\AN\cosZMAN）2

=1\I\AM\2\AN\2-（磁瓶）2

2

4V（x?4-Z;2xr）（6+/，6）一（工阳+左"％2

=3曲

64/r64S

（4^+1）2.（标+4）2

（43+173+4）2

32k-J

4

4公+三十17

At

令t=,r>0,

,1

32k-k32/328

32-

则S„N=4=42+25=汨5

4必+表+174,十254吟2

考向2利用转化法证明

例2（2024•江苏南通模拟）已知抛物线C：/=2〃刈＞（））的焦点到直线/：）=ZL5的距离为

6^5

5.

（1）求0的方程；

（2）若点P在/上，PA,PE是C的两条切线，4,B是切点,直线AB与/交于点Q,证明：

存在定点”，使得PH1QH.

2x0—2—5r

解（1）由题意可知C的焦点为（0,今），由点到直线的距离公式可得?$=绊

（p＞0）,解得〃=2.

所以C的方程为f=4y.

（2）证明：设A（xi，号），8（必于）.由尸率可知直线办的方程为厂3=郑一莺），即产苧

_五

~4,

同理，直线产力的方程为）=学一系

{_xix_x?

工：解得H中芳）

尸2一4'

卜1+及=21,

若记P（/,2/—5）,则…＜、由点A,B的坐标可写出直线AB的方程龙（用一

1x1X2=4（2r—5）,

心）（厂5=管一力LX2），

即）,=咛2aA.一詈，所以y=5-2f+5.

由A8与/相交，可知#4,

y=2x-5,

联立|/（

y=/-2/+5,

<4(z-5)3r—2G

可付4~-，1-4/

设H(x,y),则由PH1QH可知

'4(t-5)

丽圆=(八-1,y-(2/-5))-|x--------:—,y-—t,y—(2r—5))-((z-4>r—4(r

r—4

已不/f,2/-(y+5))-((x-4)/-4(x-5),°,-3)/-4。-5))=-

-5),(r-4)^-(3/-20))=

22

J4K1-4)户一(.r—20)/+4.r(.r—5)4-2(j,—3)户一(y+10y-55)/+4(y+5)(1y—5)J=士[(.，+

2y—10)尸一(x2+y2+10)，-75"+4(~+)?—51—25)]=。,

上式关于/恒成立，当且仅当

x+2y-IO=O,,

..k=0x=8,

,f+V+lO)，-75=0,解得或,

尸L

y+r-5.r-25=0,

因此存在定点”(0,5)或“(8,1),使得

方法总结

利用转化法证明圆锥曲线问题的三种策略

(1)证明三点共线或直线平行，用斜率相等.

(2)证明直线垂直，用斜率之积为-1.

⑶证明两角相等，用倾斜角互补，斜率之和为0.

卷命训练2.(2023・陕西宝鸡模考)已知点P是平面直角坐标系xOy异于O的任意一点，

过点P作直线尔尸室及/2：尸一彖的平行线，分别交x轴于点M,N,且IOMF+IOM

=8.

(1)求点2的轨迹。的方程；

⑵在x轴正半轴上取两点A(〃?，0),8(”，0),且〃"?=4,过点A作直线/与轨迹。交7E,

产两点，证明：sinZEBA=s\nZFBA.

解

(I)设点P的坐标为(r0・M)).

（2）证明：当直线/的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，sinN£6A=sinN/WA成立.

当直线/的斜率存在时，由题意，设直线/的方程为丁—〃?），£（X|,>'1）»F（X2,>2），

Jj,

由，43'得（3+4后）/一8后内+4标加2—12=0,

y=k（x-w）»

8炉用41cm2—12

由力>0得〃尸&2<3+4好,且

X|+X2=3+4小为X2=3+如

则kuE+kBF=-"+

内一〃X2~n

1yl（也―〃）+:2（为一〃）

（X|—7?）（X2-/?）

2"1X2—（km+kn）（xi+22）+2innk

（即一〃）（“2一〃）

又2kx\xi—（km+A:/?）（xi+x2）+2〃〃成

2k（4/〃「一⑵86"（km+kn）

3+4F3+4F\-2nmk

-24A+6〃〃次

=3+4标

因为〃7〃=4,所以kBE+kBF=0,

则s\nZEBA=s\nZFBA.

综上所述，sinZEBA=sinZFfiA.

考点二探索性问题（多考向探究）

考向1肯定顺推法解决探索性问题

例3（2023•湖南岳阳模拟）已知双曲线C：》>0）的离心率为当，点46,4）

在C上.

⑴求双曲线C的方程;

⑵设过点8(1,0)的直线/与双曲线。交于两点，问在x轴上是否存在一点P,使得协•独

为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.

解(1)因为双曲线。的离心率为尊，

所以闺2=1+生，化筒，得，=2尻

将点4(6,4)的坐标代入％一$=1,

当1816,

付百一京=।，

解得〃=2.

所以双曲线c的方程为±*1.

(2)由题意可知，直线/的斜率存在，故设直线/的方程为)，=双”-1),0(笛，yt),E(X2,g)，

y=k(A—1),

联立方程组消去乃

得(1-2后)1+4在1-2M—4=0,

由题意可知1-2炉翔且/>0,即好且严巳，

匚6?I4s2/^+4

所以汨H-X2=—|—2^2*XX2——j_9^2.

设存在符合条件的定点P(i,0),

则可>=(加一7,yi),度=(及一/,)，2),

所以pf)Pk=(X2—/)(xi—/)+y1竺=(3+1).r1X2—Q+炉)(.*+也)+户+k2.

所以协瓦：

(好+1)(-2^-4)+4S(/+3)+(产+炉)-21c)

=

B(一2"+4/—5)+(1-4)

-2一+1.

因为用•度为常数，

叱…一？/2〉山-5Z2-4_13

所以2^2=-j-，解得，=不

此时该常数的值为尸一4=噂，

所以在x轴上存在点喈，0）,使得可）•屋为常数，该常数为号.

方法总结

处理探索性问题，一般首先假设所探求问题的结论成立或存在，然后在这个假设条件下进行

推理论证，如果得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得

到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答.

⑥^训练3.（2024・湖南名校阶段检测汜知双曲线，一方=1过点（3,9和点（4,屏）.

⑴求双曲线的离心率；

（2）过M（0,1）的直线与双由线交于P,Q两点，过双曲线的右焦点尸且与P。平行的直线交

双曲线于A,8两点，试问胃犀1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解（1）将点（3,|）和点（4,小5）的坐标代入也一1=1,

f925.

“2=4,

得《解得

b2=5,

I7-'?-1,

所以双曲线的离心率e

（2）依题意可得直线夕。的斜率存在，设P。：y=kx+\.

（y=kx~\~\,

联立£_得（S-4必），一区h一24=0,则5—4炉封，

/=64炉+96（5-4炉）>0=>^<|,

一24

设尸（即，）1）,Q（X2，巾），则〃"2=5_孰2,

所以|MPHMQ|=（,]+仇口—。1）・（41+公仅2—0|）=（1+炉）仅同

24（1+N）

|5—4妁•

已知尸（3,0）,则直线38：/=总—3）.

y=k（x—3）,

联立

m=i，

得（5—43”+24乒%—36^—20=0,

则5—4月0,

且4=2423+4（363+20）（5一妹2）=400（3+1）>0,

设A（X3,”），5（X4,>'4）»

卜+必=手,

一36一一20

邛=5—49’

则凶B|=N1+F|X3—X||=,\Jl+k2-y/（X3+X4）2—4.V3X4=W+F・

l（-24ky_-36/7-2020C1+A2）

¥（5-4划―45一4仆=|5—4妁'

|MF|-|M2|_24_6

所以\AB\-20-5?为定值♦

考向2探究转化法解决探索性问题

x2v26

例4（2024.山西大同模拟）已知椭圆G：5+3=1（公协>0）的离心率为与，直线），=x+4是抛

物线G：V=4x的一条切线.

⑴求椭圆G的方程；

（2）过点《0,一；）的动直线/交椭圆a于A,8两点,试问：在直角坐标平面上是否々在定

点、T，使得以A8为直径的圆恒过定点T?若存在，求出7的坐标；若不存在，请说明理由.

fy=x+Z?,

解（1）由,得1+（2。-4次+从=0,

［），-=4x,

因为直线y=x+/?是抛物线Q：）2=4x的一条切线，

所以/=（）=/?=1,又e=：=¥，/=〃+/,则〃=&,

所以椭圆G的方程为5+/=1.

（2）当直线/与x轴平行时，以人8为直径的圆的方程为

f+Q+3=（柔

当直线/与y轴重合时，以A3为直径的圆的方程为』+产=1,

所以两圆的交点为点(0,I),猜想所求的定点7为点(0,I).

证明如下：当直线/与x轴垂直时，以A8为直径的圆过点(0,1)；

当直线/与x轴不垂直时，可设直线/的方程为＞＞，=去一/

得（183+9）『一\2kx~16=0,

/=144。+64（183+9）〉（）.

⑵

内十问=*历,

设4（汨，yi）,8（X2，”），则＜

-16

3M=18乒+9'

则用.油=3,

।।、J6,—164,12k।16

+匕）%用—辛（为+也）+万=（1+上）］8如+9一手依］8芯+9+勺=0,

所以仅1宿，即以48为直径的圆过点(0,1),

所以存在定点7(0,1),使得以AB为直径的圆恒过定点7.

名师点拨

探究转化法是指将所探究的问题转化为其他明确的问题，使所探究的问题更加具体、易求.对

于角度、垂直问题的探究，一般转化为斜率、向量数量积来研究.

卷令训修4.(2024•福建厦门适应性考试)已知点0(0，0)，点尸(0，1)，点M是x轴上的

一个动点，点N在)，轴上，直线MN与直线M广垂直，N关于M的对称点为P.

(1)求点尸的轨迹〃的方程；

(2)过尸的直线/交「于4,B两点,A在第一象限，厂在A处的切线为八厂交y轴于点G

过C作08的平行线交/于点。，/ACO是否存在最大值？若存在，求直线/的方程；若不

存在，请说明理由.

解(1)解法一：设M(a,0),M。，b),P(x,y),因为MQJLMM

所以办•外=0,即苏+匕二。

又x=2a,y=-b,所以g)—y=0,即f=4y,易知〃加，

所以点P的轨迹〃的方程为f=4y(/0).

解法二：

如图，设尸关于M的对称点为Q，由已知得，FQ,NP互相垂直平分，

所以四边形PFNQ为菱形，

所以|Pf]=|PQ|.

因为M为尸。的中点，

所以y>Q=-yr=-1，

即点。在定直线y=-l上，

因为PQ〃FN,所以PQ与直线)，=一1垂直，

即点P到定点F(O,1)的距离等于点尸到定直线y=—1的距离，又易知点尸的轨迹不过点(0,

0)，

所以点。的轨迹是以尸(0,1)为焦点，y=-l为准线且除去点(0,0)的抛物线.

所以点P的轨迹〃的方程为『=4)，(/0).

(2)/AC。存在最大值.

设直线。8交AC于点£,ZAEB=ZACD,

所以NACO最大即直线OB与「的倾斜角之差最大.

由题意可知，直线/的斜率存在，

设/：y=kx+1,A(x\,ji)(xi>0),B(xiry?)»

y=Lr+1,

由L

,x-=4y,

得『一4旅一4=0,

所以xi+%2=4k,X]X2=—4.

因为给弓，

所以/，的斜率B苣。8的斜率「言得

设直线r与OB的倾斜角分别为仇，仇,

X2_X£X2_X1

ri八八tan。?一tan仇ki-k\4242(X2x\\xi(2.

则3(纵一仇)=]十1aMan〃77^=7^=^?=2匕=_匕+内卜

I+TI+H

-2y/2,

当且仅当看=汨，即汨=啦，X2=—2啦时，等号成立.

因为tan(&一仇)v0，所以，2一仇£《，兀)，

所以当tan(分一4)最大时，合一仇最大，即N4CO最大，

此时4(啦，灯，所以仁哼土=—奉

所以直线/的方程为y=-£+l.

课时作业

1.(2023•福建福州华侨中学高三上学期第二次考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点尸(2,

0),直线/：尸/点M到/的距离为由若点M满足|MF]=2d,记M的轨迹为C

(I)求C的方程；

⑵过点尸(2,0)且斜率不为。的直线与C交于P,Q两点，设4(-1,0),证明：以P,Q为

直径的圆经过点A

解(1)设点加。，y),则4=卜一g,

\MF]=yj(x-2)2+/,

由|Mf]=2d,得ga—2)2+4=2X—J,两边平方，整理得3『一尸=3,

则所求C的方程为f—m=1.

(2)证明:设直线m的方程为x=fy+2,P(x\,yi)，Q(xi，yi)，

x=（y+2,

联立方程L27-消去x并整理，得（3产-1））2+12/『+9=0,

、3广一=3,

因为直线机与C交于两点，故心此时/=（12。2—4（3产—1）-9=36（尸+1）>0,

⑵9

所以yi+>'2=—3/2_j»yO'2=3/2_|»而XI+X2=«N+『2）+4,X\X2=（ty\+2）（0,2+2）=^1^2

+2心[+”）+4,

又办=（即+1,yi）,地=〔m+1，”），

所以#・也=（X|+1）*2+1）+）D'2

=）'】"+即+&+即彳2+1

=（户+1）），1”+3r（vi+>,2）+9

9』+936,…

后7一后7十?

9（一311）

卜9

3一一1

=0.

所以4P_LAQ,即以P,Q为直径的圆经过点A.

2.已知双曲线八『一方=l(b>0).

(1)若离心率为小，求力的值及双曲线厂的顶点坐标、渐近线方程；

(2)若。=小,是否存在被点M(l,1)平分的弦？如果存在，求弦所在直线的方程；如果不存

在，请说明理由.

解⑴由6=.=[1+*=〈1+从=小,

得从=4,

所以〃=2.

又。=1,故双曲线厂的顶点坐标为(±1,0),渐近线方程为y=±2x.

(2)当8=小时，双曲线的方程为/一1=1,假设存在被点M(l,1)平分的弦，设弦的两个端

点分别为人(为，yi)tB(X2，yi)，则加+及=2,yi+A=2,

p?一1=l,①

因为A,8在双曲线上，所以〈？

由①一②，得

()"+”),()"一》)

(X|+X2)(X|—X2)=

5

■VI一”5(片+也)

则kAn==5,

x\-X2yi+y2

所以弦A8所在直线的方程为y—1=5。-1),即y=5x—4,

代入双曲线方程，得20『一404+21=0,

因为4=4()2—4x20x21=-8。<0,所以A8与双曲线无交点，假设不成立.

故不存在被点M(l,1)平分的弦.

9

3.(2023•河南郑州模拟)已知圆C：(x—a)2+G，-〃)2=w的圆心。在抛物线f=2p)，s>0)上，

圆。过原点且与抛物线的准线相切.

(1)求该抛物线的方程；

(2)过抛物线的焦点/的育线/交抛物线于A,B两点,分别在点A,5处作抛物线的切线，两

条切线交于点P，△以B的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直

线/的方程；若不存在，请说明理由.

解⑴由已知可得圆心cm，b),半径一=|,焦点电，9,准线方程为尸一§

因为圆C与抛物线的准线相切，所以。=微一多且圆C过焦点F.

又圆C过原点，所以圆心C必在线段Or的垂直平分线上，即b=£

所以/?=1-2=4,解得"=2.

于是抛物线的方程为』=4)，.

(2)由抛物线的方程为f=4)，，知产(()，1).易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为)，=履

+1.

产去+1,

由，，消去y并整理，得X2—4丘一4=0,1=(-44)2—4x(—4)=16&]6>0,

..r=4y,

设A(xi，yi),8(x2，儿)，

则xi+x2=4k,X]M=-4.

对求导,得y，=y即直线AP的斜率k"=g,

则直线AP的方程为y—)1=，(x—内)，

即尸势一%?

同理可得，直线期的方程为尸*―；冠

设P(XO,yo),

联立直线AP与8P的方程,

X|+A'2

A'O==2k.

得3

X\X2

9。=工

即P(2h-I).

又依8|=yj\-H?\x\—X2\=弋1+4・「(xi+x2)2—4片及=#1+F・「(4Z)2+i6=4(1+k2),

点P到直线43的距离d="二^=2、1+9,

y/l+K

I_____2

所以△%B的面积S=]x4(l+S)x2护N=4(l+S)224,当且仅当k=0时，等号成立.

故面积的最小值为4,此时直线/的方程为y=l.

j2

4.(2024•江苏无锡等四地三模)已知A,B,。为椭圆八£+看=1上三个不同的点，满足求

=7温+〃成，其中方+"2=］记A8的中点M的轨迹为£).

⑴求。的方程;

(2)若直线/交。于P,。丙点，交厂于5,T两点,求证：\PS\=\QT\.

解⑴设4(为，yi),8(x2,”)，则。(找+必?，加+@2卜

?9

将A,B代入厂£+专=1,得

2V1V2

所以7413

所以。的方程为即,+]=L

(2)证明：设sr的中点为G,PQ的中点、为G1

当/垂直于x轴时，由对称性可得

阙=1。71，

当/不垂直于x轴时,

设/：y=kx+m,

将直线/的方程代入八3+(=1，

得(3+4炉]+8切?x+4〃p—12=0,

设S(X|,9)，T(X2,>'2)»则/>0，X1+X2=3；•/+》2=&Q1+%2)+2”?=3曾F，

所以w=瑞，>。=而，即

同理G(瑞,而)

由此可知俨S|=|Q7].

5.(2023•青海西宁大通回族土族自治县高三二模)已知椭圆(7：，+/=1(。>〃>0)过点(1,李)

直线/：)，=x+(与C交于M,N两点，且线段MN的中点为H,。为坐标原点，直线。，的

斜率为一宗

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线)，=心:+2与。有两个不同的交点A,B,P为x轴上一点.是否存在实数.匕使

得△以8是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出左的值及点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

解(l)i^M(x,,yi),MMg),

则不中,哨,

所以由题意知直线。〃的斜率痴=*=4.

因为M,N在椭圆C上，

所噂+g=1,1+*=1,

两式相减得5+念,（即一,）+

（.V1+.V2）5一竺）,、

~~=0>

醺!+（“+”）（.VL.V2）

“crb1（xi+x2）（xi—A2）'

又&MN=?，二=1，所以/一中？=°，

即a2=2b2.

又因为椭圆C过点（1,乎），所以点+/=1，

解得/=4,从=2,

所以椭圆。的标准方程为反+芸=1.

»=履+2,

（2）联立方程，2+9_]消去>，整理得（2标+1]+8丘+4=0.

因为直线与椭圆交于A，8两点、,故/>0,解得任当.

-8k4

设4内，”），8（X4，）4），则X3+X4—W4=

2炉+1'2F+7-

设A8的中点G（M）,泗）,

心+内—4k2

则xo=-5—=声口?’和=心.。十2=而不7’

假设存在实数k,使得△以B是以点P为直角顶点的等腹直角三角形，此时点P（加，0）,则

PG1AB,故依G必8=—1,

2

2-+1-2k—2k\

所以----xk=-\,解得小=元可［故5m0〉

2FH-W

又因为NAPB=4，所以用.彷=0,

所以（北一，〃，）3）•（必—"?，3'4）=0,

即（黑—m）（X4—m）+巾＞'4=0,

整理得（太+1）xg+（2A—“1）（X3+入4）+fri2+4=0.

48Z-

所以（3+1+j_（2々_加）.产+]+序+4=0,

—2k

代入力=云二j]，整理得A'=l,即F=l,

所以％=1或4=—1,即存在实数比使得△附8是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.

当攵=-1时，点尸的坐标为序0）；

当左=1时，点P的坐标龙（