2024年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

2024年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

1.已知集合A={1,2,3},3={2,4,5},则集合4U8中元素的个数为_4_.

【答案】5

【解析】因为A3={1,2,3,4,5},所以该集合元素的个数为5.

2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为▲.

【答案】6

【解析】这6个数的和为36,故平均数为6.

3.设复数z满意z2=3+4iC•是虚数单位），则z的模为▲.

【答案】N/5

”"9=3,解得.

【解析】设z=x+）”（x,y£R）,则z2=V-y2+2w"结合条件得<

2xy-4,;力彻

\z\=y]x2+/=>/5

4.依据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲.

【答案】7

【解析】“追踪”循环体（就在图形的•旁标注，这样不简单出错）:

|||循环体

753S—S+2

于是，输出S=7.

[1074/<-/+3

（第4题）

5.袋中有形态、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从

中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_A_.

【答案】-

6

【解析】从4个球中一次随机地取2个球，有6种取法：（白，红），（白潢1）,（白，黄2）,（红，黄1）,（红,

黄2）,（黄1,黄2）,其中，两个球不同颜色有5种取法，故所求概率为』.（或先求颜色相同的概率为工，

66

再川对立事务求）

6.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+成=(9,一8)(八R),则〃?的值为▲.

【答案】-3

2m+〃=9,m=2,

【解析】由"也+〃）=（9,一8）,得〈八、解得《故m-n=-3.

m-In=-8,n=5.

7.不等式2、J<4的解集为一▲.

【答案】（—1,2）

【解析】原不等式即2*r<22,得/7<2,即X2一%一2<0,得解集为｛x[T<x<2｝.

8.已知tana=-2,tan(«+/7)=y,则tanB的值为▲.

【答案】3

1+2

tan+tan

【解析】tan/?=tan[(a+/?)-6z]=(^-=7_=3

1+tan(a+/?)tana।

~7

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新

制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为▲.

【答案】用

【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为R,原圆锥的体积％徘=；S禽=g(25万“4=与"，

%柱=(41八8二32乃，由题意得上(万/?2)-4+(万乃).8=四乃，解得斤=7,即/?=近.

10在平面直角坐标系x0y中，以点(1,0)为圆心且与直线如一》一2〃7-1=0(〃2£1^)相切的全部圆中，

半径最大的圆的标准方程为_4_.

【答案】1)2+)3=2

【解析】直线/nr-y-2〃Z-1=0(〃ZER),即〃?5-2)-()，+1)=0,该直线过定点(2,-1).以点(1,0)

为圆心且与直线加1-)，-2〃7-1=0(〃2£1^)相切的全部圆中，最大半径为这两点间的距离0,故所求圆

的标准方程为Q-+4=2.

11.设数列｛qj满意q=1,且。向一a“=〃+l(〃£N"),则数列【」-1前10项的和为▲.

…小20

【答案】一

11

【解析】q=l，

q=2,

ay-a2=3,

〃「明=〃，

将上面各式叠加得q=1+2++〃=("〃)〃(〃=1也满意).

2

所以」-=二一二2(，一一—i.

an77(1+n)nn+\

所以数列｛、-｝的前10项和Eo=2(l-g+g-g++-^-^)=2(1--^)=^.

12.在平面直角坐标系xQy中，P为双曲线f-),2=i右支上口勺一个动点.若点。到直线工一),+i=o的

距离大于c恒成立，则实数c的最大值为▲

【答案】--

2

【解析】双曲线的一条渐近线x-)，=0与已知直线x—)，+1=0平行，由题意知，所求。的最大值，即这

两条直线间的距离

2

0,0<x<1,

13.已知函数/(x)=|ln4g⑶2J。।则方程|/(x)+g(x)|=l实根的个数为一

x—4—2,x>I,

【答案】4；

【解析】由|/(x)+g(x)|=l,得/(x)+g(x)=±l,即8。)=一/。)+1或8。)=一/(划一1,问题转化

为求函数y=g(x)与y=-/(x)±l的图像交点个数.

先画出y=g(x)的图像和y=-/(x)+l的图像(图1),由图知y=g(x)与y=-/(x)+l的图像有

2个交点，)，=g(x)与了二一/(/)一1的图像也有2个交点(图2),共4个交点，即方程|/(x)+g(刈=1

k冗kjr7T-LL

14.设向量&=(cos—,sin—+cos—)(攵=0,1,2・・・,12),则工(0・％—)的值为▲.

666jt=o

【答案】9&

JI。八.ll

解析：。()=(1,1),aa2=^2,2+~*。3=(。/)，=(_/，_/+

(6\6、.n百i百、一i16

a),=(0,-1),

%=(一___&二(-1，-1)，-=(一___Y*%=一]'22

1

fl,0=一+%=(1，D-

2,22

nrz13^3x/31V313x/31

J-fl,o,=-\/3+—»4•%=———F1,a.=——+—.a,a,=---------…丁-1,

0■223422

3GlV31_x/3_l

%=—»a8a9=­+-，---，

O/oLI11

-io，an=——】，4i"12=73—彳，所以Z(%•6+])=94.

42Jt=o

15.在V48C中，已知A8=2,AC=3,A=60°.

(1)求BC的长；

(2)求sin2c的值.

解：(1)在VA3C中，由余弦定理得，BC2=AB1+AC2-2AB-AC-cosA=7,所以6c=J7.

(2)①由(1)知，)，=粤(54/《20),则点尸”,粤).设在点尸处的切线/交轴分别于AB点,

>'=一驾，则切线/的方程为》一竺竺二一邛(XT),由此得4包,0),8(0,理).

xrt2r

,,、/口、2/3()(X)、,3I,4xl06<//”、

故/'=｛万"+丁厂(5-Z-20),

②设g(r)=J+±^(5Vf«20),则g'(r)=2f-生平.令g'(5=0,解得，=10&.

当£6(5』0底)时，g'⑺<0,g(f)单调递减；

当f£(IO夜,20)时，g'Q)>0,g⑺单调递增.

所以当，=10匹时，g。)有微小值，也是最小值，即gQ)min=300,此时/⑺而n=158.

答：当1=10及时，马路/的长度最短，最短长度为15百千米.

22py

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆*■+方=1(。>〃>0)的离心率为半，且右焦点尸到

左准线/的距离为3.

(I)求椭圆的标准方程;

(2)过产的直线与椭圆交于48两点，线段A8的垂直平分线分别交直线/和A8于点P,C,若

PC=2AB,求直线AB的方程.

解：(I)由题意得£=巫且c+土=3,解得。=0,。=1,则

a2c

2

b=\,所以椭圆的标准方程为2+V=i

2

(2)①当AB_Lx轴时，AB=4i,CP=3,不合题意；

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-1),

2

设A(x，y),B(x2,y2),将片©x—1)代入三+V=1,得

(1+2公)f-4二x+2(公一1)=0,则x=2"-」回+内)

,l+2/r

2左2-k

因为C为AB的中点，所以C(------------),

1+2K1+2H7

A8=](%—%)2+(%-5<=’(1+、2)但7|)2=2严(；：§).

1i"乙K

若火=0,则线段的垂直平分线为)，轴，与左准线平行，不合题意；

k\2k2(Sp+2

从而女工0,故直线PC的方程为y+-----=一一(%-------r),令x=-2,得P-2,-------三

1+2公7k1+2Fkg2k2)

2（3公+l）J/+i2（3公+1）“2+14夜（1+公）

于是PC=,由0C=2A8,得，解得k=±l.

|矶1+2公）H（I+2F）1+2公

于是直线AB的方程为y=彳-1或y=-x+1.

19.已知函数/（x）=/+公2+〃（a,Z>uR）.

（I）试探讨/（力的单调性;

（2）若c—。（实数。是与。无关的常数），当函数/（%）有三个不同的零点时，。的取值范围恰好是

(TO,-3)I23^)^(^,+0°),求c的值.

2

2

解：(1)/V)=3x+2r/x,由八x)=0,解得王=0,x2=~.

①当。=0时，因为r(x)=3fN0,所以/(x)在(-oo,+oc)上单调递增；

②当。>0时，XG(—00,--^~)U((),+00)时，ff(x)>0;XG(--^~,())时，/'(X)<0，

所以/（力在（YO,—2）和（0,+OC）上单调递增，在（-网,0）上单调递减;

33

③当。<0时，XG(—CO,0)J(----,4~50)时，/'(X)>0;XG(0,----)时，/'(X)V0;

3

所以/（力在（f0）和（T，+x）上单调递增，在（0,-争上单调递减.

（2）由（1）知，函数/（幻的两个极值为/（0）=〃，=—则函数/（x）有三个不同零点

327

a>0,a<0,

9/74

等价于/（（））•/（一一）=〃（一/+〃）＜（）,从而•4a或<4

327----a</?<()()</?<----

2727

44

又Z?=c-a,所以当。＞0时,—/一。+c>0或当。<0时，——/一。+c<0.

2727

4

设§^1)=—^-a+c,因为函数/（x）有三个不同零点时，。的取值范围恰好是

(f-3)U(碎呜同，

则在（rc,-3）上g（〃）＜0,且在心9[信代°）上g（〃）＞0均恒成立,

^(-3)=c-l<0,

从而3因此c=l.

^(-)=c-l>0,

此时,/（x）=xi+ax2+\-a=（x+l）[x2+（a-l）x+[-a].

因为函数有三个不同零点，所以炉+3.1口+1一。=0有两个异于T的不等实根，所以

△=3-1尸一4（1一。）=/+勿_3＞0,且（-I）?一（。-1）+1-aw0,解得ae（-«＞,-3）U（L1|）U伎，+«＞卜

综上c=l.

20.设4,是各项为正数且公差为“（4。°）的等差数列.

(I)证明：2臼，2"2,2"3,24依次构成等比数列；

(2)是否存在q,d,使得依次构成等比数列？并说明理由；

(3)是否存在4“及正整数〃#,使得4",小"",4"3,4,3,依次构成等比数列？并说明理由.

2q舟2a32"4

(I)证明：因为F=2%r4=2d5=1,2,3）是同一个不为0的常数（或证三不二F=二；n=2"），

乙乙乙乙

所以2"，2出，2“3,2%依次构成等比数歹U.

（2）解：不存在，理由如下：

令q+d=a,则Qi，%,%,4分别为a-d,a,a+d,a+2d（。>d,a>一2d,d工0）.

假设存在q,d,使得依次构成等比数列，

a=(a-d)(a+d\,d.1.八、1=(1-)(1+况

则,,4再令i=一(一二<fvl/wO)则化简得

(a+d)6=a2(a+2d)4.a2(1+/)6=(l+2r)4,

5+2/一2=0(*),

将产=，+1代入（*）式，得，什+1）+2«+1）-2=5+3.=。，因为1工0,所以

/2=r+1,

r=-3,明显，二一3不是上面方程的解，冲突，所以假设不成立.

因比不存在4,d,使得4,42，％3，〃；依次构成等比数列.

（3）解：不存在，理由如下：

假设存在%,d及正整数n、k,使得。「,心”“必”皿必也依次构成等比数列，则

%"（%+2"）"2人=（《+〃）2（”+&）,且（《+4）〃+"q+3。向=（q+2〃产"2人），

分别在两个等式的两边同除以。及。；。向），并令，=4。〉—J,”0）,

q3

则（1+2t）n+2k=（1+/产+幻，且（1+产（1+3t产=（1+2/严+24）,

将上述两个等式两边取对数，得（〃+2A）ln（l+2/）=25+Qln（l+z）,且

(〃+k)ln(l+，)+(〃+3Z)ln(l+3t)=2(〃+2k)ln(l+2t),

化筒得2k[ln(l+2r)-ln(l+r)]=n[2ln(l+z)-ln(l+2/)],

且弘[ln(l+3f)—ln(l+川=〃[31n(l+r)—ln(l+3f)]，将这两式相除，化简得

lm：l+3r)ln(l+21)+3ln(l+2r)ln(l+r)=41n(l+3r)ln(l+r).(**)

令g(f)=4ln(l+3r)ln(l+r)-ln(l+3t)ln(l+2r)-31n(l+2t)ln(l+1),

则，⑺二比丫ln(l+3r)-3(l+2/)2ln(l+2/)+3(1+1)2ln(l+

(l+f)(l+2f)(l+3f)

再令(p(t)=(1+3/)2ln(l+3r)-3(1+2f>ln(l+2r)+3(1+1)2ln(l+/),

则。Q)=6[(l+3f)ln(l+3f)-2[l+2，)ln(l+2f)+(l+，)ln(l+，)].

令仪(/)二(p\t),则%⑺=6[31n(l+3r)-41n(l+2/)+ln(l+1)].

12

令夕2«）=“⑺,则"2。）=>0.

(1+/)(1+2/)(1+3/)

由g（0）=。（0）=8］（0）=。2（°）=0，氏⑺>0，知gQ）,叭式4在（一；，。）和（Q+8）上均单

调,故g（z）只有唯一零点/=（），即方程（**）只有唯一解，=0,故假设不成立.

所以不存在4，4及正整数〃M,使得叼"*%"'"，。广”依次构成等比数列.

21.A.［选修4-1：儿何证明选讲］

如图，在A4BC中，AB=AC,A48C的外接圆。O的弦AE交BC于点D.

求证：\ABD^^AEB.

证明：因为AB=AC,所以N/$O=NC.又因为NE=NC,所以

/43。=4：.又4!4£为公共角，所以AA33s.七区

B.［选修4-2：矩阵与变换］

(第21-A题)

已知wR,向量a=是矩阵A二的属于特征值-2的一个特

-1J\_y0

征向量，求矩阵4以及它的另一个特征值.

11x—1=-2,X=

解：由已知得Aa=-2a,即则4c解得所

yoy=2,)，=2.

—ii

以柜阵4二

20

于是矩阵A的特征多项式/(；1)=+~=(2+2)(2-1).

—2A

所以矩阵A的另一个特征值为1.

C.［选修4-4：坐标系与参数方程］

已知圆C的极坐标方程为22+2&psin(。一巳)一4=0,求圆C的半径.

4

解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点0,以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系x0v,

则pcos0=x,ps\nO=y,p2=x2+y2.

原极坐标方程即p2+2叵p-冬(sin。一cos。)-4=0,

化简，得p2+2psin6>-2pcos6>-4=0,即x24-/+2y-2x-4=0,化为标准方程

(x-l)2+(y+l)2=6,所以圆C的半径为卡.

D.［选修4-5：不等式选讲］

解不等式x+|2x+3|22.

Y<Y>］

解：原不等式可化为｛2'或J-2'解得或xN-L.所以原不等式的解集为

-x-3>2［3x+3>2,3

xx<-5,取>——>.

3

22.如图，在四棱锥P—A8C。中，已知Q4_L平面A8CO,且四边形

ABCD为直角梯形,ZABC=ZBAD=-,PA=AD=ZAB=BC=\.

2

•1)求平面PA5与平面PCO所成二面角的余弦值；

12)点Q是线段8P上的动点，当直线CQ与OP所成的角最小时，求线

段BQ的长.

解：(1)以4为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-QN,则

40,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),尸(0,0,2).

因为ADJ_平面％8,所以AO=(0,2,0)是平面RW的一个法向量.

因为PC=(l/,—2),PD=(0,2,-2),设平面PC。的一个法向量为

m1PC,x+)'-2z=0,,x=z,〜

m=(x,y,z),则，即、得4可取机二(i」,i).

m1PD,2y-2z=().[y=z.

x

(第22题)

ADm=旦

设句量AIM〃的夹角为。，所以cos8=

AD\-\m\~Tf

所求二面角的平面角与。相等或互补，依据图形可知，所求二面角的平面角为锐角，

所以平面Q钻与平面PCD所成二面角的余弦值为2_.

3

(2)因为3P=(-1,0,2),设50=>83=(-4,0,22)(0<2<1),又C8=(0「l,0),则

CQ=CB+BQ=(-2,-1,2/1),DP=(0,-2,2).

从而cos/CQyDP)=1-g-j---r=..设1+2/1=/,/€[1,3],

\/\CQ[\DP\，10万+2

72724网2(当且仅当『二』时取等

1109-I"5、220109

5-V俨13)+3

号)，此时2二2.因为y=8sx在(0,乙)上是减函数，所以此时直线CQ与0P所成角取得最小值.又因为

5

网=#+()+22=6,所以==詈.

23.已知集合*={1,2,3},4={1,2,3,,〃}(〃£1<),1={(。,切|。整除〃或〃整除。,〃€乂/£4},

令/(〃)表示集合S“所含元素的个数.

(1)写出/(6)的值；

(2)当〃之6时，写出/(〃)的表达式，并用数学归纳法证明.

解：(1)〃=6时，X={1,2,3},工={1,2,3,…,6},

当。=1时，Z?可以取1,2,3,…,6；当。=2时，Z?可以取1,2,4,6；当。=3时，〃可以取1,3,6,故

/⑹=13.

〃+2+('+—),n-6r,

23

cn—\n—i

il十4十1十rl—l

23

八，〃〃一2、,-

〃+2+(―+----),〃=6f+2,

23(/eN-)

(2)当〃26时,/'(〃)=,1

­/〃1〃、/C

n14tlrri—T

23

c