2024年山西省运城市高考数学二模试卷8

2024年山西省运城市高考数学二模试卷（A卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知复数z满足(4-3i)z=l+2i,则|z|=()

12

A'用u-rC."Dn.~2—百

A.—555S

2.（5分）已知圆锥的侧面积为12n,它的侧面展开图是圆心角为2n/3的扇形，则此圆锥的体积为0

A6®B，W^。.6吊D.等^

3.（5分）已知向量a和b满足|中=3,向=2,之+加=g,则向量b在向量a上的投影向量为（）

月•/B.TC.ldD.6

4.（5分）已知双曲线（一£=1（。）0,6>0）的两条渐近线均和圆（C:/+y：+8x+7=0相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则

该双曲线的方程为（）

8・竽邛=1心与_孚=1HY=1

97977979

5.（5分）将函数/（均=25而（3乂+9的图象向右平移巾（小>0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（0，小）上恰有两

个零点，则少的取值范围是（）

呜个）B栏芍）鸣，知回管,割

6.（5分）“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅

客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其

中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有（）

A.36。种B.316种C.288种D.216种

7.（5分）已知等差数列也川的前n项和为5川若Sis>0,516<0,则丝的取值范围是。

al

4储）&（"）C（F）U（28）D.（F）嗯T8）

8.（5分）已知正方形ABCD的边长为2,点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则1\PB\2+|PC『+|PD|2最小值为0

418—8或8.18-8百C.19-8百0.19—8或

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得。分。

第I天/共I8页

1.（6分）水稻产量是由单位面积上的糖数、每穆粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒里四个基本因素构成.某实验基地有两块面积相等的试骑田,

在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下；

甲（单位：kg）250240240200270

乙（单位：kg）250210280240220

则下列说法正确的是0

A.甲种水稻产量的极差为70B.乙种水稻产量的中位数为240

C.甲种水稻产量的平均数大小乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

2.(6分)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x,y£R,都有.f(。)=x/(y)+y/(x),若f(2)=2,,则下列说法正确的是0

A.f(l)=0B.f(x)的图象关于y轴对称C.£iT/(2()=2023x22025+2

*.|f(2。=2024X+2

3.（6分）如图，在棱长为2的正方体.48C。-中，点P是醐面.AODMi内的一

点，点E是线段CCJt的一点，则下列说法正确的是（）

A.当点P是线段AQ的中点时,存在点E，使得A]EJ_平面PBJi

B.当点E为线段CC]的中点时，过点A,E,Di的平面截该正力体所得的截面的面枳为

C.点E到直线BD，的距离的最小值为10

D.当点E为棱CC1的中点且PE=2及时，则点P的轨迹长度为-

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1.(5分)已知集合.{={xeN《<3xr<27),B={x|x2—3x+m=0},若1G/.C8,,则AuB的子集的个数为

2.(5分)已知tana=2tanS,sin(a+0)=；则sin(B-Q):

第2表/共I85(

3.（5分）已知椭圆（C《+£=l（a）b>0）的左、右焦点分别为片，产&过&的直线与C交于A,B两点，且|仍|=|48|,若

△0A匕的面枳为画俄其中°为坐标原点，则的值为

6---------------

四、解答题：本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.（13分）在△力BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,csin詈二

yZ>sin2C+ycsinCcosfi.

⑴求sinA的值：

⑵如图，a=66,点D为边AC上•点，且2DC=5DB.Z.ABD=今求△ABC的面

积.

2.（15分）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机隹，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就

可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长胞钳炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高

了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到如表2X22列联表：

第3天/共I8支

喜欢小喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

(1)试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人

进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列;

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y,求Y的数学期望.

=何悬』其中〃

附:a+b+c+d.

a0.1000.0500.0250.0100.001

xa2.7063.8415.0246.63510.828

3.(15分)如图1,在△4BC中，4C=8。=4,48=4反，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且。Ed.AB,将XADE

沿DE翻折到△PDE的位置,使得PE_8D,连接PB,PC,如图2所示，点F是线段PB上的一点.

笫页/共I8仪

⑴若8F=2PF“求证：CF|平面

图2

哼或线段BF的长.

⑵若直线CF与平面PBD所成角的正弦值为

4.（17分）已知抛物税（C:y2=2px（p）0）的准线与圆1（0：产+尸=1相切.

求C•的方程：

⑵设点P是C上的一点，点A,B是C的准线上两个不同的点，且园。是AP/lb的内切网.

①若IAB\=2后求点P的横坐标；

②求APA8面枳的最小值.

弟5页/共】8页

5.(17分)已知函数/(x)=(x-a)ex+x+a(aER).

⑴若a=4,求f&)的围以在*=0处的切线方程，

(2)若f(x)NO对于任意的x£[0,+8])恒成立，求a的取值范围；

⑶若数列a(3满足a,=10.a.=—(neiV"),记数列aE)的前n项和为SEI,求正：5+-</n[(n+l)(n+2)]

3

第6天,共i8贡

2024年山西省运城市高考数学二模试卷（A卷）（答案&解析）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.解：由题意,

故选：A.

【解析】化简复数z,根据模长的性质求解.

2.解:根据题意，设圆锥的底面半径为r,母线长为1,

阀锥的侧面积为12n,它的侧面展开图是圆心免为上的扇形.

3

则有E=12”,午=9解得r=2,1=6,

所以此圆惟的高h=V/2—r2=4x^2,

所以此圆锥的体积V=g7rx22x=竺詈.

故选：B.

【解析】根据题意.设网锥的底而半径为r,母线长为1.由厕锥的结构持征可得r、1的他.讲而求出网徘的商,讲而计算可汨答案.

3.解:设a与b的夹角为。，0€[0,«],

因为a+b|=V7,

所以7|2+2d-5+\b\2=7,

又向-3,向-2,所以9+2d・5+4—7,解得a»b-3,

hiilCOM?==^2-=-1

lalldl3X22'

所以向尚在向量a上的投影向量为际OS8.高=-"一

故选:A.

【解析】根据已知条件，将M+瓦=Q同时平方，再结合投即向量的公式，即可求解.

第7贞/共1g贞

4.解：圈07:/+y2+8x+7=0,整理为((x+4)2+y2=9圜心半径r=3,,双曲线的渐近线方程bx±ay=0,

由题意可知,/="=I6,a2=7,

所以双曲线的方程为

故选：D.

【解析】根据条件转化为关于a,b,c的方程组，即可求解.

5.髀：由即意得,g（x）=2sin（3x+：-3）,

当0<x<e时,3*—3+：€（：—3，：），

因为g（x）在（0,6）上恰有两个零点,

所以-2TT4：-3<一“，

5»3»

解得，-<2

124

故选:C.

【解析】结合三角函数图软的平移先求出g（x）.然后与合正弦函数零点存在条件即可求解.

6.解：根据题意.分2种情况讨论：

若四人中，没有人选择“乔家大院”线路，有（C》：=144种报名情况，若四人中，恰有1

人选择‘乔家大院"线路,有C：x4x吊=141种报名情况,所以他们报名的情况总共有

144+144=288种.

故选:C.

【解析】根据题意，按有没有人选择“乔家大院”戏路，分2种情况讨论，由加法原理计算可汨答类.

7.解：等差数列（an｝中，壬5=四产=15a8>0,解得aDO,

又因为$16==8（a8+%）<0,

所以强+<29<0,所以a9<-a8<0.

设数列｛an）的公差为d,则（d=4,-。8<0,所以Q1>0.

a8>0（a,+7d>0

k+a9<0,得Q+15d<0,解得石即

又因为a/0,所以一；<三v-4,所以-<1+—V—,

751s7、15

xat+dd（b13、

所以-2=---=1+—€（~*—）；

itata：\715/

即之的取值范围是（（3廿）.

a｝\715/

故选：B.

第8天,共I8天

的＞。，且｛(%a+8a＞g0＜。，由此求出的d取值范围，即可求出:a,的取

【解析】根据等差数列的前n项和公式，结合题意得出

值范围.

8.解：以A为坐标原点，AB,AD所在的直线为x,'，轴建立平面直角坐标系，作出图像如下:

设P(x,y),所以1+尸=1,又双2,0)<(2,2),D(0,2),

所以\PB\2+|PC|2+|PD|2=(x_2产+y2+(x—2)2+(y-2)2+x2+(y-2)2

=19-81x+y),

令x+y=t,即x+y-t=O,所以直线nx+yT=O与圆/+尸2=1有公共点,

即网心到内•线的距离d这r,

所以-^!=<1,

V1+1

解得-或

所以【P8|2+|PCf+仍叫2最小值为19一8匹.

故选：D.

【解析】建立直角坐标系，求出点P的轨迹方程，求出\PB\2+\PC\2+|PD|2=19-8(x+y),再结合几何意义即可求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,

布一选错的得0分。

1.解：对于选项A,甲种水稻产责:的极差为270-200=70,故A选项正确;

对于选项B，乙种水稻产量从小到大排列为210,220,210,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为240,故选项B正确；

2S0+240+240-200+270250+210+280+240+220入门

对手选项C,甲种水稻产量的平均数为240,乙种水稻产量的平均数为---------------二240,

所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量为平均数，故C选项错误:

对了选项D,甲种水稻产量的方差为

1

<[<250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-240)2]=5.>

5

20,

第9页/共18页

乙种水稻产量的方差为

:<[<250-240>4.(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240力=6

00.所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差.故D选项正确.

故选：4BD.

【解析】利用极差、中位数、平均数和方差的定义求解.

2.解烟为f(xy)-xf(y)+yf(x)，且函数f(x)的定义域为R,

对于选项A:令x=l.y=2,可得f(2)=f⑵+2f(l)解得f(D=0,故A正确:

对干诜琦B：今x=y=-i.prwf(n=-f(-n-f(-n.解得w-n=o.

令x=2,y=-l,可得f(-2)-xf(-D-f(2)=-f(2)=-2,

所以f(x)的图与不关于y轴对称，故B错误:

G)/(x)/G)

对于选项CD:若x,y>0,可得--------=—+—.

/(*)/(21)/(2)/(2*)

令x=2i,y=2,ieN*.可得----------=+=+

2<+1---------2-----------2-----------7

{9}是以首项()

可知数列=1.公差为1的等差数列，

一竹市)

可得一=14-I-1=C

2'

则r⑵=t-2'=(«-1)-2U,-(»-2)-2',

mft?W1必MUiw,4,(o

£1.|/(2')-|O-(-Z)]+(Z(-0)♦«(2O23xZ-ZiZ2xZ)-2023xZ,+2

故C正确.D错误.

故选：A3

【解析】对于A：令x=Ly=2代入运算即可判断;

对于B:令x=y=T解得“-1)=0,令x=2,y=T解得f(-2)=2,即可判断:

{9}是以首项早=1,公差知的等差数列，结合等差数列以及裂硼消法分析求

对于CD:若x,y>0,可得—=—+分析可知

xyxy

解.

3.解:升A选项，以DA.DC.DD]所在的直线分别为x轴.y轴,z轴,建系如图:

第1o页/共i85(

则根据题意可得DS,0,0),D1(0,0,2),A42,0,2),B式2,2,2),当点P是线段.4D的中点时,

P(1.0.1).

设E(0,2,a)(0WaW2),

所以可=（-P0,】）,西=（1，2,1）,砧=（一2,2,a-2）,假设存在点E，使得A£_L平面PB»,

则西♦布=2+a-2=0,西•布=-2-4+a-2=0,解得a=0,

所以存在点E,伸行AxE，平而PBJ）,,此时也E与之Cifi合,融A正确:

对B选项，取BC的中点F,连接BC^EF,FA,AD*DE,如图所示.

则所以ADiWEF,

又易得AD}=2^2.EF=V2,AF=DiE=V5,

所以梯形.A小"•的面积为\(VJ+2A/2)xJ(网2—0：^)=2

•，故B错谡：对C选项.如图，取.

的中点Q,当E为C£的中点时,

易知8E||Q。”且BE=ED、=0Q=QB=遮.,.四边形.D】QBE为菱形,

•••QE,皿又QE=4C=2混，

.••点E到直线.8〃的距离的最小值为竺=旧故C选项正确;

Z

对D选项，取.的中点G,连接EG,EP,GP.

第11页/共18页

AB

易得GE_L平面AAD/,又GPu平面AA/Q,

所以GEJ_GP,所以(GP=VPE2-GE2=J^2x/2)2-22=2,

则点P右侧面44。山内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣瓠，

分别交4D,AJ)i于P»P”

则"iGDi=£P2GD=则由GP?=*

所以点P的轨迹长度为-x2=-,故D选项正确.

33

故选：ACD.

【解析】对A选项：建系，利用向量法求解即可：对B选项：作出截面，利用梯形的面枳公式计算即可：对C选项：作出异面直线的公里线段，即可求解：

对D选项，根据弧长公式即可求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1.解：因为/I={xeN|i<3X+I<27}=(-hO<1},B={x|x2-3x+m=0),

若1WACB,则1WB,

所以l-3+m=0,即m=2,B={l,2},

AuB={-1.0.1.2},子集个数为2,=16

故答案为：16.

【解析】先求出集合A.然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出m.进而可求B,结合集合的并集及集合广集的个数规律即可求解.

2.解：因为tana=2tanB,

所以sinacosP=2sinPco8a,①

因为sin(a|/?)=sinacos/?|cosasin/?=:，②

由①②可得：cosasin/?=^.sinacos/?=

所以ssin(6—a)=sin/?cosa-cos/?sina=-7--=

126

故答案为：-白

第12贝，共18负

【解析】由同角三角论数的关系,结合两角和与左的三角函数求解.

=4az+(-2-2co⑹,川"小

••­(2+2c0sO')|J4FIIIXF2I—4a2—4c2=4b2,

的面枳S="AR||4FihUn6=-^b?=^b2,

2I*<0*03

・•・V3sin0-cos0=lr

又••,|AFt\-\AB\.

.-.AAFR是等边三角声,即IMFi|-|BF,|-\AB\.

由椭IW的定义可用IMFt|+|BF>|+\AB\=4a,l&|4片|=)，

W|4F2|=|a,|FFil=Y，.-MBlF,F2

MMW2I2\fi

W------=------=2【anUF[F?=一

%勺1%叼3

【螂析】根楙整意.设/凡4后=仇再利用余弦定理给合椭回的性明可解.

四、解答题।本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.解：)vcsin^^=ybsin2C+与csinCcosS,

由正弦定理得

sinCsin^-=—sinBxin2c+y$in2Ccos^,

:,sinCsin^=ysinfisinCcosC*+ysin2Cc<«;0,

.a.?;inCsinB"C=^/ssinC($inRcn^+xinCcosB)=^^idnCsinVB*C).

2

...cosy=gsinA=75sin^cosp

(2)ittDB=2x(xX)),V2DC=5DB,

在△BDC中,由余弦定理得."T3D2♦-CD2-2BD-CDcos^BDC=4x2+25x2-2-2x-5i"(-j)=(6\/5),

解得x=2,所以BD=4,DC=10,又ssin4=^-=^-=^,-.DA=5,AC=DA+DC=15,

DADA5

又AB2+BD2=AD2,：.AB=3..-.AS=^AB-ACsinA=1x3x15x=18.

【解析】(D根据正弦定理，两角和差公式，：倍角公式即可求值：(2)根据余弦定理，三角函数比值即可确定边长，确定三角形面枳.

2.解：(1)零假设为H。：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.........1分

400x(100X100-80X!00)2400

根据列联表中的数据，经il算得到=——y4.040>3.841=x........................3分

200x2(X)x20x180-------99nnqiv

根据小概率值a=0.050的独立性检验，我们推断H不成立,

即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050............................4分

(2)从词查的不喜欢长跑的学生中按性别采川分层抽样的方法随机抽取9人,

其中男生的人数为：人，女生人数为：9x荔唉=5人,.............................................5分

80+10080+100

X的所有可能取值为0,1,2,3,...........................6分

所以P(x=0)=铝/

「5=1)=萼=・

P(X=2)=华=竺,P(X=3)=岑=工

所以X的分布列为：

X0123

P

10分

⑶由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率p=*

所以y|sin8(12，W),所以.E(Y)=12=Y............时分

【解析】(D根据表中数据计算X,的值，与临界值比较，解求得结论：

(2)由分层抽样可得抽取的9人中男生人数和女生人数，确定X的所有可得取值，求出X?应的概率，从而可得分布列;

(3)由二项分布的期望公式求解即可.

3.⑴证明：过点C作CH_LED,垂足为H,

在PEL取一点M,使得.PM=/E,连接HM,FM,

如图所示.

第II天/共I8页

.•.FM||EB且.FM=^EB,

；D是AT的中点，且DE_L的，

...卅期且(CH=^EB.

.".CHIFMJ.CH=FM,

...四边形CFMH是平行四边形，

.,.CF|IBM,

乂CFG平面PDE,HMc平面PDE,

.,.CF||平面PDE.

(2)1?:VPE±ED.PE1BD,EDCBD=D,ED,BDu平面BCDE,

，PE_L平面BCDE,

又BEu平面BCDE,

•••PE^BE.PB=y/PE2+BE2=2低

又EB_LED,

AEB,ED,EP两两垂直,

故以E为坐标原点,EB,ED,EP所在的宜线分别为x轴,y轴，7.轴，建立空间直用坐标系，如图:

:,巩3好,0,0),0(0,0),P(0,0,⑨,C(V2>2四0),

设平面PBD的一个法向域n=(*y，z).

XBP=(-3-\/2»0,V2),BD=(-3V2*Vz»0)

.邓更=。,即尸g+£=。

5*8。=0k-3y/2x+V2y=0

令x=l,则y=3,z=3.

二平面PBD的一个法向量n=(1*3»3),

设评=ARP-(-372^0»^)(0<>1<1),

存=而+前=(2或,-2&'0)+(-3g0,电

=(2V2-3&_2低企;I),

第15页/共18页

设直线CF与平面PBD所成用的大小为»,

•••sin。=\cos{n>CF}\=黯।

=------.S.=—4闻―,

e-3@)驾(-2⑸2.(、3了57

解得入=：或%=春

8F=：8P=病或BF=《BP=#.

【解析】⑴过点C作CHJ_ED，垂足为H,在PE上取一点X，使得.PM=：PE,连接网，FM,先证四边形CFMH是平行四边形，得出

CFHIIM,再利用先线面平行的判定定理即可得证;

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解.

4.解：⑴易知抛物线C的准线为x=-2

因为撷物线C的准线与圆0相切，

所以1一：1=1,

解得P=2,

则C的方程为：尸=4x;

(2)不妨设P6u,yJ,A(-l,m),B(-l,n),

可得直线PA方程为y-加=震(x+1),

叫(北-m)x-Go+l)y+(y0-m)+m(x0+1)=0,

因为阻10是△PAB的内切圆，

所以园心0到直线PA的距离为1,

„„lya-m+m(x0+l)|

即f------=L

J(?0-J.Go+l)2

又Xo>1,

z

整理得(x0-l)m+2yom-(x0+1)=0,

2

同理得(x0-l)n+2yon-(x0+1)=0,

所以m,n是关于t的方程(G。-1)产+2y°f-(x0+1)=0的两个不同的根,

此时m+〃=V，mn=P4，

x0-lx0-i

所以\AB\2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=

因为点P是C上的一点，

所以yj=44,

此时IABI=J—+噌=2悟总

①若AB\=2V5,

解得*=3或勺=；(舍去)，

则点P的横坐标为3：

②已知点P(x°,yj到直线x=-l的距离(d=x0+1.

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则w岬而积，S=±\AB\.d=4x2、/爷哥1(，。+1)=J-„产川

不妨令t=%0-1.1>o,

则S=JP+10£+Y+J7+32

因为1：2+$22,2・、=8,10^+.才2J10t・/=40,

当H仅当t=2时.等号成立.

所以S5V8+40+32=4V5.

故aPAB面积的最小值为4^5.

【解析】(1)由题意.根据题目所给信息列出等式求出P的值,进而即可求解;

(2)①设出P,A,B三点，汨到亘然PA的方程，利用点到直线的距离公式推出m,n是关于I的方程

2

(xo-l)t+2yot-(X。+1)=。的两个不同的根，结合弦长公式再进行求解即可：

②结合①中所得信息，利用三角形面积公式和换无法进行求解即可.

5.U)