动点在直角三角中的分类讨论(基础训练) (学生版)

动点在直角三角中的分类讨论

【专题说明】

在全国各地的中考试卷中，动点产生的直角三角形问题经常出现，有好多同学看见这样的题目，找不.到

思考的方向。下而给大家总结一下这类题常用的解法，很有参考价值，以下内容都是干货，不凑字数，力

求精炼。

1、两个定点求一个动点。这种题目找点方法是过两个定点做垂线，以定长为直径画圆，司称''两个垂

直一个圆”。通过这样的作图法，可以快速找到符合题意的点，这就是常说的找点。求点的方法，构造三垂

直模型，根据直角两侧有相似就可以求解。

2、两个动点或三个动点。因为三角形只有三个角，所以分三种清况讨论就可以了！当然有时乜有直角不成

立的情况。当它们分别为直角时，用相似或勾股定理求解，.一般情况下，相似求解比勾股定理要简单一些.。

【精典例题】

I、如图，在RIAABC中，ZACB=90°,NA=30。，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、

点C重合），连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转64）。，得到线段PQ,连接BQ.

（卜）如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；

（2）如图②，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明

理由；

（3）如图③，当点P在BC延长线上时，若NBPO=45。，AC=#,请直接写出BQ的长.

2、如图1,二次函数y=a（f—2侬-3评）（其中〃、jn是常数,且a>0,m>0）的图像与x轴分别交于A、

8（点A位于点8的左侧），与y轴交于点。（0,—3）,点。在二次函数的图像上，CD//AB,联结AO.过点A

作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分ND4E.

1

（1）用含〃?的式子表示“：

（2）求证：二二为定值；

AE

（3）设该二次函数的图像的顶点为凡,探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、

40、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，,并用含

，”的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

图1

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3、如图I,抛物线），=；/一］工一4与k轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C,连结

BC，以BC为一边，点。为对称中心作菱形8OEC,点尸是工粗上的一个动点，设点P的坐标为（〃八0）,过

点P作x轴的垂线/交抛物线于点Q.

（I）求点4、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线I分别交BD、BC于点M.M试探究/»为.何值时，四边形CQMD

是平行四边形，此时，请判断四边形CQ8M的形状，并说明理由；

（3）当点尸在线段仍上运动时，是否存在点Q,使AB。。为直角三角形，若存在，请直接写出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

4、如图1,抛物线丫=-3/一34+3与x轴交于八、B两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点C.

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（1）求点A、B的坐标;

2

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当^ACD的面枳等于AACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线/过点E（4r0）,M为直线/上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个

时，求直线/的解析式.

图I

5、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数1）的图象交于点4（1用和点B（—1,—A）.

（1）当％=—2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是），随工增大而增大，求女应满足的条件以及X的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为。，当AABQ是以A8为斜边的直角三角形时，求k的值.

6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—3n/+训工+加2-3〃2+2与x轴的交点分别为原点O和点

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A,点8（2,〃）在这条抛物线上.

（1）求点8的坐标；

（2）点。在线段。人上，从点。出发向点八运动，过点P作x轴的垂线，与直线08交于点七，延长

PE到点。，使得£。=尸£,以户。为斜边，在尸。右侧作等腰直角三角形PCO（当点尸运动时，点。、D

也随之运动）.

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求0P的长；

②若点尸从点。出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段0A上另一个点Q从点A出

发问点。作匀速运动，速度为每秒2个单位，（当点。到达点。时停止运动，点P也停止运动）.过Q作x

轴的垂线，与直线交于点尸，延长到点M,使得尸M=QF,以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直

角三角形QMN（当点Q运动时，点M、/也随之运动）.若点P运动到/秒时，两个等腰直角三角形分别

有一条边恰好落在同一条直线