经济模型与应用

课题221经济模型与应用（2学时）

时间年月日

教

学

目

的

要

求

重点

难点

教精讲多练

学

方

法

手

段

1、常用的几种经济模型20分钟

主

例题25分钟

要2、其他常用的几种应用15分钟

例题30分钟

内

容

时

间

分

酉己

作业

备注

2.2.1经济模型与应用

1.财贸与金融方面的应用

(1)资本现值与投资问题

若现有。元货币，按年利率为广作连续复利计算，则f年后的价

值为。/元：反过来，若，年后有货币。元，则按连续复利计算，现

应有元，这就称为资本现值。

设在时间区间［0,7］内t时刻的单位时间的收入为R⑴,称此为

收入率，若按年利率为，•的连续复利计算，则在［0,7］内的总收入为

R=(R(t)e~rtdt

JO

若收入率RQ)=A(4为常数)，称此为均匀收入率，如果年利

率厂也为常数，则总收入的现值为

R=^Ae-r,dt=A—e-n\l=-(［-e-rT)

若在/=()时，一次投入的资金为。，则在［0,7］内的纯收入的贴

现值(也称投资效益)为R'=R-a=(TAe-ndt-a即

Jo

纯收入的贴现值=总收入现值-总投资

例1若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率为7.5%,

问其现值是多少？

解因均匀收入率A=7500元，〃=7.5%,所以现值为

R=]>)j=

「7500"°°不，力=2^(1-1侬心)=100000(1-0.7985)=20150

(元)

即现值为20150元。

例2现对某企业给予一笔投资〃，经测算，该企业在T年中可以

按每年A的均匀收入率获得收入，若年利率为)・，试求：

(1)该投资的纯收入贴现值：

(2)收回该笔投资的时间。

解（I）投资后T年中获总收入的现值为

R=CAe-r,dt=A—e-nI=-（\-e-rT）

Jorr

从而投资获得的纯收入的贴现值为

rT

=R_a=-{\-e-）-a,

r

（2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有

—（l—erT）=a

r

由此解得收回投资的时间

T,=-1।In----A----

rA—ar

如果回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为

R=R—a=[Ae~'dt-a

Jo

显然，R*的值越大，投资效益越好，除国家允许外，都应避免4<0

的情况出现。

例3若某企业投资。=800万元，年利率为厂=5%,设在20年

内的均匀收入率200万元/年，试求：

（1）该投资的纯收入贴现值：

（2）收回该笔投资的时间为多少？

解总收入的现值为

rT05x20

R=A（\-e-）=—（l-e-0）=4000（1—"1）=2528.4（万

r0.05

元），

从而投资所得纯收入为

R"=/?一。=2528.4-800=1728.4（万元），

收回投资的时间为

,11A-Lin

T=—In--------201nL25=4.46

rA-ar0.05200-8（X）x0.05

（年）。

例4有一个大型投资项目，投资成本为。=10000（万元），投资

年利率为r=5%,每年的均匀收入率A=2（XX）（万元），求该投资

为无限时期的纯收入的贴现值。

解由已知条件收入率A=2（XX）（万元），年利率为r=5%,故

无限期的投资的总收入的贴现值为

R=rAe-ndt=r2000e-r,dt=lim「2000dt

JoJo

00001

=lim[I-e-00Sb]=2000x—=40000（万元）

10.050.05

从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为

/?*=/?-«=40000-10000=30000（万元）。

例5某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万元，在10

年中每年可收回20万元，如果年利率为r=9%,并且假定购置的设

备在10年中完全失去价值，求其投资效益。

解由题童知，收入率4=2。(万元)，年利率为r=9%,投资

〃=5()(万元)，

故投资效益为N=R—a=CAe^dt-a

Jo

-0.09/10

20e^dt-50=-——-50

0.09o

2()

=——(1-(?-<,-9)-50«81.87(万元).

0.09

如果购置的设备不失去价值，每年的收入率仍为20万元，则投

资效益为

小2二『i=『2。产力-5。

20

至lime《网”50=-50=172.22（万

0.090X）9

元).

(2)资本形成

资本形成就是增加一定资本总量的过程，若此过程视为时间的连

续过程，资本总量函数为时间/的连续可导函数：Z=Z(r),则资本

形成率(资本形成的速度)为资本Z对时间，的导数也，此时，资

dt

本形成率也称为在时间，处的净投资，记为/«),即/(/)=—

dt

由导数与不定积分的关系，有Z(t)=Jo

设初始时刻小时的资本Z0,由积分上限函数的性质知，资本函数

可表为

Z(Z)=Z&)+"力

上式表明，在任意时刻f,资本总量ZQ)等于初始资本z0(或

z(f0))加上从灰时刻起到/时刻止所增加的资本数量。根据上式求出

在时间间隔M,%］上资本形成的总量。

Z(/2)=Z(，o)+£/⑺力Z(z,)=Z(r0)+［"(。波

Z(G)-Z(G=『-£l(t)dt=j：iwt

即，/(，W，=Z("；：=ZQ2)—ZG)。

\

例6设净投资函数/(f)=81(单位：万元/年)，求：

(1)第1年期间资本积累的总量：

(2)若原始资本Z(0)为100万元，问从开始到第8年末的总

资本是多少？

解(1)第1年期间所积累的资本为

Z⑴=£/«)力=18＞山二6八|=6(万元)

(2)Z(8)=Z(0)+］：8-故=100+6"|：=196(万元)

2.会计与统计方面的应用

定积分在经济上有着广泛的应用，常见的有以下几种类型。

(1)由边际函数求总函数

由于总函数(如总成本，总收益、总利润等)的导数就是边际函

数(如边际成本，边际收益、边际利润等)，当已知初始条件时，既

可以用不定积分求出总函数，也可以用定积分求出总函数。例如：已

知边际成本C'。)，固定成本G、边际收益RW，则

总成本函数C(x)=「C'(x)dx+C0,

JO

总收益函数R(x)=1*。)公，

Jo

总利润函数L(x)=「［?(#一。'。)］小一。0

J0

例7已知生产某种产品x单位时，边际收益为R'(x)=2()()--

20()

(元/单位).求：

(1)总收益函数R(x)和平均收益加x)；

(2)生产100个单位产品佗总收益；

(3)生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.

解(1)R(x)=£R'(x)dx=£(200-

R(x)=四也=200--—(元/单位).

x400

(2)/?(100)=(200x-|A=loo=19975(元)

r2ooxx2200

(3)R(x)=|(200----)公=(20()工-----)=19925

J@200400100

(元).

(2)由边际函数求总量函数的极值

设边际收益R'(x),边际成本C'(x),固定成本已知

R\x)=C(x),即x=/时利润最大，则最大利润为

＜，,

LU0)=£l^U)-C(x)］^-C0.

例8某工厂生产某种产品x单位时，其边际成本函数为

C(x)=0.4x-2,固定成本0(0)=100(单位：百元)。求：

(1)此产品从30个单位到50个单位所需的成本；

(2)总成本函数C(x)；

(3)若此产品的销售单价为10(单位：百元)，求总利涧函数

3)；

(4)何时才能获得最大利润，最大利润是多少？

解(1)从30个单位到50个单位所需的成本，就是边际成本在

区间［30,50］上的定积分，于是所需的成本为

(•50-、50

[(0.4."2)dx=(0.2x--2A)=280(百元)

J303()

(2)总成本函数为

C(x)=£C'(x)dx+Co

=f；(0.4x-2)dr+100=

(0.2X2-2X)\100=0.2X2-2X4-100

(3)设销售x单位商品得到的总收入为H(x),依题意有

R(x)=lO.r

因此，总利润函数为

L(x)=R(x)—C(x)

=lO.r-(0.2--2x+100)=12A:-0.2--100

(4)令L{x)-12-0.4x=0,得；r=30,向

八必修。=囚4<0,

所以当x=30时，LQ)有最大值，

L(30)=l2x30-0.2x302-100=80(百元)

例9某种产品每天生产x单位时的固定成本为C。=100元，边际

成本C'(x)=0.6x+20(元/单位)，边际收益"。)=38(元/单位),

求：

(1)每天生产多少单位时利润最大？最大利润是多少？

(2)从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润是

多少？

解(1)由利润最大原则知，当R'(x)=C'(x)时利润最大，即

38=0.6x+20

从而得毛=30,即/=30时利润最大，最大利润为

「30

L(30)=j[R'(x)-C'(x)]右-C0

=J：(38-0.6x-20)公—100

=(-0.3X2+18X)|J°-100=170(%)；

f40)40

(2)L=(X)-C\x)]dx=(-().38x2+18x)=-3()

(元)，

即从最大利润的生产量x=3()个单位，再生产10个单位的产品利润

减少30元.

(3)收入预测

例10中国人的收入正在逐年提高。据统计，深圳2002年的年人

均收入为21914元(人民币)，假设这一人均收入以速度

V(f)=600(1.05)'(单位：元/年)增长，这里，是从2003年开始算

起的年数，估算2009年深圳的年人均收入是多少？

解因为深圳年人均收入以速度V(/)=600(1.05)‘(单位：元/年)

增长，由变化率求总改变量的方法，这7年间年人均收入的总变化

为

R=£600(1.05)%=600JJ(1.05)7〃=600[p^]:

=-^-[(1.05)7-1]-5006.3(元)。

In1.05

所以，2009年深圳的人均收入为

21914+5(X)6.3=26920.3(元)

(4)国民生产总值

例111999年我国的国民生产总值(GDP)为80423亿元，如果

我国能保持每年8%的相对增长去，问到2010年我国的GDP是多少？

解(1)建立微分方程

设第，年我国的GDP为P«),f=0代表1999年。

由题意知，从1999年起，尸。)的相对增长率为8%,即

dP(t)

-^―=8%,且P(0)=80423

PQ)

(2)求通解

分离变量得也■=8%力

P(r)

两边同时积分，得InP(/)=0.08r+lnC

P⑺=Ce008/

(3)求特解

将P(0)=80423代入通解，得。=80423,

所以从1999年起第t年我国GDP为P⑴=80423e0°M.

将，=2010-1999=11代人上式，得2010年我国的GDP的预测

值为

P(t)=80423e008x,1=193891.787(亿元)

3.经济管理与物流方面的应用

(1)一阶常微分方程在经济中的应用

有些经济问题往往可以转化成微分方程来求解。下面通过实例来

介绍常微分方程在经济中的应用

例12已知某产品的纯利润L对广告费x的变化率必与常数4

dx

和纯利润L之差成正比，当x=0,L=%时，试求纯利润L与广告费

工之间的函数关系.

解由题意列出方程为

^=k(A-L)

«dx

儿=o=

分离变量积分得

-\n(A-L)=依+InC}

即A-L=Ce-kx(其中。二」-)

G

kx

所以L=A-Ce-i

由初始条件4x=o=4)，解得C=A-L(),

所以纯利润与广告费的函数关系为

L=A-(A-L^e^.

例13某商店统计其月售货款额不超过。元。在一个月内前1日累

积售货款额y显然是，的增函数，已知y的增长速度与y(a-y)成正

比，本月共30天，已经过了10天，前5日累积售货款额为色元，前

3

10H累积售货款额为1•元，预计本月售货款额为多少？

解设前/H累积售货款额)，与/的函数关系为)，=)，«),定义域为

{力为正整数，1W，K3()},把它扩大为。=[1,30],从而)，的增长

速度可以用立表示。

dt

由题意知◎=

dt

(I)

其中，比例系数2>0°

所以，这个问题就转化成求常微分方程（1）在初始条件为），金二区,

3

）'|yo="|的特解。再令/=3°，此时的），值即为所求的货款额。

对方程（1）分离变量可得

1/1k///

—(-----+一)dv=kdt

aa-yy

两边积分，得—([--—dy+[―^)=\kdt

aJa-yJyJ

所以l(ln|y|-lnp-y|=kt+C、(G为任意常数)

于是方程（1）的通解为

(^―);=Cek,(tsD,。为任意常

a-y

数)

将）'金=?，代入通解中得

Dj

k=——

5a

根据初始条件得到方程（1）的特解

(re£>)

当，=30时，y=—a(元)

所以，预计本月售货款额为二〃元

17

例14（逻辑斯蒂曲线）在商品销售预测中，时刻/时的销售量用

x=表示.如果商品销售的增长速度华正比于销售量用x（r）

及与销售接近饱和水平的程度。-x（f）之乘积（。为饱和水平），求销

售量函数X”）.

解根据题意建立微分方程

华=（左为比例因子）

dt

分离变量积分得

她一=皿,

工(/)(〃7(/))

上式变形为

----+----------}dx=akdt.

x(r)a-x(f)

两端积分得

（G为任意常数）

♦"=/闵=C、e曲（C为任意常数）

a-x（t）2

从而可得通解为

X（t）=:=------7-（C为任意若

ak,ak,

\+C2e1+Ce-

其中为任意常数C将由给定的初始条件确定.

例15（市场动态均衡价格）设某种商品的市场价格夕⑺随时

间/变动，其需求函数为Q/=〃—aP(a,%>0),供给函数为

Q,=—c/+cP(c,d>0)。又设价格P随时间Z的变化率与超额需求

(色一。,)成正比，求价格函数P=P")。

解由题意，价格函数P=P(f)满足微分方程：

华=4Q〃-QS)=-4〃+c)P+AS+d)

<at

儿。=2。)

利用一阶微分方程通解公式得

-A((i±c)l4s+d)gAg+c”+cb+d+c^-A(a+c)t

C-1

A(a+c)a-\-c

根据初始条件/=o,P=P(O),得G=P(O)—生乂，代

a+c

入上式有

p=\p(o)

la+c)a+c

由解的表达式可得，当+oo时，PQ)一称"U为

a+ca+c

均衡价格，即当+8时，价格将逐步趋向均衡价格。

(2)生产效益计算

生产效益指的是在一定条件下，生产了多少产品，得到了多少收

入，获得多少利润，一般说来得到的(产量、收入、利润)越多，生

产效益就越高。

已知某产品总产量Q的变化率为

半=/⑺

则该产品在时间区间［4句

dt

内的总产量为

fh

例16(求生产的总费用)已知某种产品每小时生产x台，总费

用的变化率为

/(x)=6x-15(千元/台)

⑴求总费用:

(2)如果该产品每台售价3千元，每小时产量为多少台时才能获利

最大？最大利润是多少？

解⑴设总费用为产(或,则F\x)=/(x),所以

F(x)=(⑹-15)4=(3产-15啖=3/-15x

(2)由题意销售该产品x台时的总收入

R(x)=3x

于是L(x)=R(x)-F(x)=3