垂直于弦的直径讲义教师版

24.1圆的有关性质

24.1.2垂直于弦的直径

教学目标：掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论.

教学重难点：垂径定理的综合应用

知识点一；圆的轴对称性

圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

例题.下列命题中，正确的是（•

A.圆只有•条对称轴

B.圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C.圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D.圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴

【分析】根据圆的有关基本概念，结合图形，逐一判断.

【解答】解：A,圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误；

B,结合上一条分析可知，圆的对称4口有无限条，错误；

C,对称轴为直线，直径只是线段，错误：

D,结合上述分析可知，此项正确.

故选D.

【点评】本题考查了圆的对称性知识及对称的概念，正确理解其含义是解题的关键.

变式1.下列语句中，不正确的是（）

A.圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.当圆绕它的圆心旋转89。57,时，不会与原来的圆重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

【分析】根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解.

【解答】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身西合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称

图形，正确：

B、正确；

C、根据A知错误；

D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确.

故选C.

【点评】理解圆的对称性是解题的关键.

变式2.下列结论正确的是（）

A.经过圆心的直线是圆的对称轴

B.直径是圆的对称轴

C.与圆相交的直线是圆的对称轴

D.与直径相交的直线是圆的对称轴

【分析】利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判断.

【解答】解।A.经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A正确：

B、直径所在的直线为圆的对称轴，所以B错误：

C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，所以C错误:

D、与直径相交的圆心的直线是圆的对称轴，所以D错误.

故选A.

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、

等弧等）.

知识点二：垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并II平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

例题.如图，AB是。0的弦，半径OCJ_AB于点D,若。O的半径为5,AB=8,则CD的长是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据垂径定理由OC_LAB得到AD=^AB=4,再根据勾股定理开始出OD,然后用OC-OD即可

2

得到DC.

【解答】解：•.•OC_LAB,

.\AD=BD=iAB=—x8=4,

22

在RiZkOAD中，0A=5,AD=4,

变式2.如图，AB是（DO的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,NAPC=30。，则CD的长为（）

A.V15B.2A/5C.2A/15D.8

【分析】作OH_LCD于H,连结0C,如图，根据垂径定理由OH_LCD得到HC=HD,再利用AP=2,B?=6

可计算出半径OA=4,则OP=OA-AP=2,接着在RlAOPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出

OH=LoP=l,然后在RtAOHC中利用勾股定理计算出CH=JfG所以CD=2CH=2任.

2

【解答】解：作OHJXD于H,连结OC,如图，

,.•OII±CD,

AHC=HD,

VAP=2,BP=6,

；.AB=8,

OA=4,

AOP=OA-AP=2,

在RtAOPH中,"：NOPH=30°,

.\ZPOH=30°,

.•.OH=ZP=I,

2

在RiAOHC中，VOC=4,OH=1,

CH=VoC^OlP=V15>

.,.CD=2CH=2A/15.

故选c.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查r勾股定

理以及含30度的直角三角形的性质.

变式3.如图.。0的直径AB垂直弦CD于E点，ZA=22.5°,OC=4,CD的长为（）

A.4B.8C.2&D.4V2

【分析】根据等边对等角可得NOAC=NOCA=22.5。，再根据三角形外角的性质可得NCOE=45。，然后利用

三角函数可得CE的长，再根据垂径定理可得答案.

【解答】解：〈COAO,

:.ZOAC=ZOCA=22.5°,

:.NCOE=45。,

VCD1AB,

/.ZCEO=90°,CD=2CE,

°=4x2^=2加,

.*.CE=CO*sin45

.\CD=4-J~2,

故选：D.

【点评】此题主要考查r垂径定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并iL平分弦所对的两条弧.

变式4.如图，在。0中，弦CD垂直于直径AB,垂足为H,CD=2&,BD=d&则AB的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】连接OD,利用吹径定理求得HD的长，在直角△BDH中，利用勾股定理求得BH的K.然后设半

径是r,在直角AOHD中利用勾股定理列方程求得半径，则直径即可求得.

【解答】解：连接OD.

VCD±AB,

DH=-1cD=-i-x2V2=V2-

•••在直角△BDH中，BH=JBD2_DH2=1,

则OH=OB-BH=r-1,

在△ODH中，OD2=HD2+OH2,

则H=（V2）2+（r-I）2,

解得：尸

2

则AB=3.

故选B.

【点评】本题考杳了吹径定理的应用和勾股定理，正确根据勾股定理列方程是关键.

变式5.如图，已知。O的半径为5,点A到圆心0的距离为3,则过点A的所有弦中，最短弦的长为(

【分析】最短弦是过A点垂直于0A的弦.根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：由垂径定理得，该弦应该是以OA为中垂线的弦BC.

连接0B.

已知0B=5,0A=3,由勾股定理得AB=4.

所以弦BC-8.

故选C.

【点评】此题主要考查了学生对垂径定理及勾股定理的理解运用.

变式6.A是半径为5的。。内的一点，且0A=3,则过点A且长小于1()的整数弦的条数是()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【分析】连接OA,作弦CD_LOA,则CD是过点A的最短的弦.运用垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：连接OA,作弦CD_LOA,则CD是过点A的最短的弦.

连接OC,运用垂径定理和勾股定理求得弦长是8.

・・・法弦V10,即过点A的最短整数弦有8、9（2条对称的）共三条.

所以过点A且长小于10的弦有3条.

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，正确作出过圆内一点的最短的弦，结合勾股定理和垂径

定理进行计算.

变式7.如图,ZPAC=30%在射线AC上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作。0交射线AP

于E、F两点，则线段EF的长是一6cm.

【分析】过O点作OH_LEF于H,连OF,根据垂径定理得EH=FH,在RlaAOH中，AO=AD+OD=3+5=8,

NA=30。,利用含30度的直角三角形三边的关系可得到OH=^OA=4,再利用勾股定理计算出HF,由EF=2HF

2

得到答案.

【解答】解：过。点作OH1EF于H,连OF,如图

则EH=FH,

在RiZkAOH中，AO=AD+OD=3+5=8,ZA=30°,

则OH'OA=4,

2

在RiZXOHF中，OH=4,OF=5,

=22=3.

则HF7OF-OH

则EF=2HF=6cm.

故答案为6.

【点评】本题考杳了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考杳了含30度的直角三

角形三边的关系以及勾股定理.

拓展点一；垂径定理及其推论的简单应用

例题.如图，AB是。0的直径，CD是弦，CD_LAB于E,则下列结论错误的是（）

A.ZAOC=ZAODB.BE=OEC.CE=DED.AC=AD

【分析】根据等腰三角形性质求出NCOB=NDOB,根据邻补角即可求出NAOC=NAOD,根据垂径定理即

可求出CE=DE,根据线段垂直平分线即可求出AC=AD.

【解答】解：A、VAB1CD,OC=OD,

:.ZCOB=ZDOB,

，ZAOC+ZCOB=180°,ZAOD+ZDOB=180°,

・・.NAOC=NAOD,故本选项错•误：

B、根据已知不能推出BE=OE,故本选项正确；

C、VAB1CD,AB为直径，

/.CE=DE,故本选项错误；

D、VAB1CD,AB过0,

，CE=DE,

/.AC=AD,故本选项错误；

故选B.

【点评】本题考杳了等腰三角形的性质，垂径定理，线段垂直平分线性质的应用，能熟记定理的内容是解

此题的关键.

变式1.己知：如图，弦AB的垂直平分线交。O于点C、D,则下列说法中不正确的是（）

A.弦CD一定是00的直径B.点0到AC、BC的距离相等

C./A与NABD互余D.NA与NCBD互补

【分析】根据垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及线段垂直平分线的性质对各个选项进行判

断即可.

【解答】解：:CD是弦AB的垂直平分线,

・••弦CD一定是。0的直径，A正确:

点0到AC、BC的距离相等，B正确：

1CD是OO的直径,

AZCBD=90°,即/ABC+NABD=90。，又NABC=NA,

・・.NA与NABD互余，C正确：

,:A、C、B、D四点共圆，

JNCAD与NCBD互补，D错误，

故选：D.

【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，掌握相

关定理、灵活运用定理是解题的关键.

变式2.如图，的半径为5,弦AB=8,CD=6,AB〃CDFL在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为

()

a

A.2B.3或4C.1D.1或7

【分析】连接OC、OA,作直线EF_LAB于E,交CD于F,则EF1CD,根据垂径定理求出CF,AE,根

据勾股定理求出OE、OF,即可得出答案.

【解答】解：如图所示，连接OA,0C.作直线EF_LAB于E,交CD于F,则EF_LCD,

V0E1AB,OF_LCD,

/.AE=^AB=4,CF-CD=3,

22

根据勾股定理，得

OE=VA02-AE2=V52-42=3*OF=VC02-CF2=V52-32=4,

所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE=1,

故选C.

【点评】本题考查了垂径定理的知识.此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情

况.

变式3.如图，AB是。0的直径，弦CD_LAB于点E,则下列结论正魂的是（）

A.OE=BEB.BC-BD

C.Z^BOC是等边三角形D.四边形ODBC是菱形

【分析】根据垂径定理判断即可.

【解答】解：VAB1CD,AB过0,

.,.DE=CF..BD=BC.

根据已知不能推出OE=BE,△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形.

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理的应用，生要考查学生的推理能力和辨析能力.

变式4.如图，EM经过圆心O,EM_LCD于M,若CD=4,EM=6,则弧CED所在圆的半径为（）

A.IP-B.—C.3D.4

33

【分析】连接0C,设弧CED所在圆的半径为R,则0C=R,OM=6-R,根据垂径定理求出CM,根据勾

股定理得出方程，求出即可.

连接0C,设弧CED所在圆的半径为R,则OC=R,0M=6-R,

•JEM经过网心O,EM_LCD干M,CD=4,

.\CM=DM=2,

在RtAOMC中，由勾股定理得：OC：=OM2+CM2,

R2=(6-R)2+22,

故选A.

【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中.

变式5.如图，CD是。O的直径，弦AB1.CD于点E,NBCD=30。，卜列结论：®AE=BE：②OE=DE：

@AB=BC：④BE=J^DE.其中正确的是（）

A.①B.①®@C.①③D.®@③④

【分析】根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断.

【解答】解：•・（口是。O的直径，AB1CD,

...AE=BE,故①正确：

■:ZBCD=30°,

:、ZBOD=60°,

又・・・OB=OD,

••.△OBD是等边三角形，

VABXCD,

，OE=DE,BE=V3DE,故②®正确：

连接AC,VZACB=2ZBCD=60°,

又•.，AC=BC,

/.△ABC是等边三角形，

，AB=BC,故③正确.

故选D.

【点评】此题考查了垂径定理.此题难度不大，注意掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平

分弦所对的两条弧.

变式5.如图，在。0中，C为弦AB上一点，AC=2,BC=6,。。的半径为5,则OC=()

A.V13B.4C.3D.2\J~3

【分析】根据相交弦定理列方程求解•.

【解答】解：设OC=x,利用圆内相交弦定理可得：2x6=(5-x)(5+x)

解得X=V13.

故选A.

【点评】圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等.

变式6.如图，过。0内一点M的最长弦长为12cm,最短弦长为8cm,那么OM长为()

A.6cmB.C.D.9cm

【分析】过M的最长弦应该是00的直径，最短弦应该是和OM垂直的弦（设此弦为CD）:可连接0M、

OC,根据垂径定理可得出CM的长，再根据勾股定理即可求出OM的值.

【解答】解：连接0M交圆0于点B,延长MO交圆于点A,

过点M作弦CD_LAB,连接0C

,过圆0内一点M的最长的弦长为12cm,最短的弦长为8cm»

直径AB=12cm»CD=8cm.

VCD1AB,

.*.CM=MD=^CD=4cm.

2

在RiZXOMC中，0C=L\B=6cm：

2

•*-0M=Voc2-CM62-4-

故选B.

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

拓展点二：垂径定理在实际生活中的应用

例题.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（

m

A.lOcmB.16cmC.24cmD.26cm

【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案.

【解答】解：如图，过O作ODJLAB于C,交。O于D,

VCD=8,OD=13,

.,.OC=5,

XVOB=13,

22=12

二BCO中，BC=7QB-OC-

，AB=2BC=24.

故选：C.

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键.

变式1.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=I2米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（）

A.6.5米B,9米C.13米D.15米

【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O.

连接0A.根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是0

连接0A.根据垂径定理，得AD=6

设圆的半径是r，根据勾股定理，得F=36+（r-4）工解得「6.5

故选：A.

IlliII-

0A......2.^B

o

【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行

有关的计算.

变式2.如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6m,桥拱半径OC为4m,则水面宽AB为（）

A.C.4A/3BD.6A/3B

（分析]连接OA,根据桥拱半径OC为4m,求出OA=4m,根据CD=6m,求出OD=2m,根据AD=]0卜2

求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.

【解答】解：连接0A,

•・•桥拱半径0C为4m,

OA=4m.

VCD=6m,

，OD=6-4=2m,

•*,AD=V0A2-0D42-22=2'

，AB=2AD=2x2心(m)；

故选C.

【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理.

变式3.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6cm,如果再注入一些油后，油面上升1m,

油面宽度为8m,圆柱形油槽的直径为（）

A.6mB.8mC.10mD.12m

【分析】如图，油面AB上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线，垂足为

E,交CD于F点，连接OA,OC,由垂径定理得AE=2AB=3m,CF=LcD=4m,设OE=xm,则OF=（x

22

-Dm,在RtAOAE中和RlAOCF中，根据勾股定理求得OA、OC的长度，然后由OA=OC,列方程求x

即可求半径0A,得出直径MN.

【解答】解：如图，依题意得AB=6m,CD=8m,过。点作AB的垂线，垂足为E,交CD于F点，连接

OA,OC.

由垂径定理，得AE=LAB=3HI,CF=—CD=4m»设OE=xm,则OF=(x-1)m>

22

在RiAOAE中，OA2=AE?+OE2,

在RiAOCF中，OC2=CF2+OF2,

VOA=OC,

32-i-x2=42+(x-1)2,

解得x=4,

半径OA=y32+q2=5(m),

・•.直径MN=2OA=10m.

故选：C.

【点评】本题考查了垂径定理的运用.关键是利用乖径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径

的平方，根据半径相等列方程求解.

变式4.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的•个何题：“今有圆材，埋在壁中，不知大

小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为。0的

直径，弦AB_LCD于点E,CE=I,AB=10,求CD的长”.根据题意可得CD的长为

D

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：连接OA,AB1CD,

由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=2-AB=5,OE=OC-CE=OA-CE,

2

设半径为r，由勾股定理得,