换元法与分部积分法

2026/4/23(4)在定积分的定义中，总假设，为了

今后的使用方便，对于时作如下规定：即互换定积分的上、下限，定积分要变号.2026/4/23

牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)

记作定理3.6.函数,则2026/4/23定积分的换元法

上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。2026/4/23先来看一个例子例1换元求不定积分令则2026/4/23先来看一个例子例1故2026/4/23为去掉根号,令则

当x

从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3;于是尝试一下直接换元求定积分:2026/4/23换元并换限2026/4/23将上例一般化就得到定积分的换元积分公式

由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量2026/4/23一、换元公式2026/4/23应用换元公式时应注意:(1):(2):(3):2026/4/23计算o例2令解12026/4/23计算解2由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解3

故o例22026/4/23解令

例3计算2026/4/23如果用第一换元法(凑微分法)求原函数，一般不用设出新变量，因此原积分限不变.2026/4/23例４换元必须换限不换元则不变限凑微分另解原式解原式2026/4/23

几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.

换元积分例证由于由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.通常作变换,还可以证明一些定积分等式,2026/4/23利用这一结果计算:则2026/4/23可得:

由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有则则2026/4/23例2026/4/23定积分的换元积分法小结

1、基本换元规律，与不定积分相同；2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，但必须做到换元同时换限。若是凑微分，没有发生换元行为，那么就不用换限2026/4/23几个特殊积分、定积分的几个等式设

f(x)是以L为周期的连续函数：三角函数的定积分公式2026/4/23定积分的分部积分公式二、定积分的分部积分法设有连续的导数,则definiteintegralbyparts定理2由不定积分的分部积分法及N--L公式.2026/4/23例1.

计算解:原式=分部积分过程：已积出的部分要求值2026/4/23例2

求解:

令则原式分部积分过程：已积出的部分要求值2026/4/23例3

定积分的分部积分法已积出的部分要求值解原式 作业P90，（8）-（12）2026/4/23定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法三、小结定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式2026/4/23例8计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积2026/4/23思考题解令2026/4/23