华东师范大学《数字信号处理》2021-2022学年第一学期期末试卷

华东师范大学《数字信号处理》2021-2022学年第一学期期末试卷考试时间：120分钟满分：100分院(系)__________班级__________学号__________姓名__________注意事项：1.答题前请填写个人信息，字迹清晰；2.所有答案写在答题纸上，写在试卷上无效；3.考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。题号一二三四五总分得分批阅人一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上。下列关于离散时间信号的说法中，错误的是（）

A.单位脉冲序列δ(n)在n=0处取值为1，其余n处取值为0

B.绝对可和的离散信号一定是能量信号

C.周期离散信号的频谱是离散的，且具有周期性

D.线性时不变（LTI）系统具有叠加性和时不变性

已知离散时间信号x(n)=(0.8)^nu(n)，其Z变换X(z)的收敛域为（）

A.|z|>0.8

B.|z|<0.8

C.0<|z|<0.8

D.全z平面（除z=0外）

DFT的频谱泄漏现象产生的主要原因是（）

A.采样频率过低

B.时域信号截断（加窗）

C.采样频率过高

D.信号存在噪声干扰

对于N点DFT，若输入序列x(n)为实序列，则其频谱X(k)满足（）

A.X(k)=X(N-k)

B.X(k)=X*(-k)

C.X(k)=X*(N-k)

D.X(k)=-X(N-k)

基-2FFT算法能大幅提高运算效率的根本原因是利用了旋转因子W_N^{kn}的（）

A.线性性

B.周期性、对称性和可约性

C.时不变性

D.因果性

下列关于线性相位FIR滤波器的说法，正确的是（）

A.线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)满足h(n)=h(N-1-n)（偶对称）或h(n)=-h(N-1-n)（奇对称）

B.线性相位FIR滤波器一定是因果稳定的

C.线性相位FIR滤波器的极点全部位于单位圆内

D.线性相位FIR滤波器的阶数一定为偶数

已知某因果LTI系统的系统函数H(z)=(z²-1)/(z²-1.2z+0.35)，该系统的极点个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

对连续时间信号进行采样时，为避免混叠，采样频率f_s与信号最高频率f_m需满足（）

A.f_s≥2f_m

B.f_s≤2f_m

C.f_s≥f_m

D.f_s≤f_m

下列哪种窗函数的旁瓣衰减最小，适合用于频谱分析中减小泄漏效应（）

A.矩形窗

B.汉宁窗

C.海明窗

D.布莱克曼窗

已知序列x(n)的4点DFT为X(k)=[10,-2+j2,-2,-2-j2]，则x(n)为（）

A.[1,2,3,4]

B.[1,3,2,4]

C.[4,3,2,1]

D.[2,1,4,3]

二、填空题（本大题共5小题，每空2分，共20分）请将正确答案填在答题纸上对应的位置。单位阶跃序列u(n)与单位脉冲序列δ(n)的关系为：u(n)=__________，δ(n)=__________。已知离散时间信号x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)，则其3点DFTX(0)=__________，X(1)=__________（其中W₃=e^(-j2π/3)）。线性时不变系统的输出y(n)与输入x(n)、单位脉冲响应h(n)的时域关系为__________，频域关系为__________。因果LTI系统稳定的充要条件是：其单位脉冲响应h(n)__________，对应的系统函数H(z)的收敛域__________。FFT算法分为按时间抽取（DIT）和按频率抽取（DIF）两种，其中DIT-FFT是将__________序列按奇偶分治，DIF-FFT是将__________序列按奇偶分治。三、简答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）请简要回答下列问题，要求条理清晰、要点明确。简述离散傅里叶变换（DFT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）的区别与联系。简述线性相位FIR滤波器的两种对称形式（偶对称和奇对称），并分别说明其对应的相位特性和适用场景。什么是栅栏效应？产生的原因是什么？请说明两种减小栅栏效应的方法。四、计算题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请写出详细的解题步骤，结果保留必要的小数或复数形式，写在答题纸上。已知离散时间信号x(n)=(0.5)^nu(n)+2^nu(-n-1)，求其Z变换X(z)，并指出其收敛域（ROC）。已知序列x(n)=[1,2,3,4]（n=0,1,2,3），直接计算其4点DFTX(k)（k=0,1,2,3），要求写出每一步的计算过程（其中W₄=e^(-j2π/4)=-j）。五、综合分析题（本大题共1小题，共10分）已知某因果LTI系统的系统函数H(z)=(z-0.5)/(z²-1.5z+0.5)，请完成下列问题：求该系统的单位脉冲响应h(n)；（5分）判断该系统是否为BIBO稳定系统，并说明理由。（5分）参考答案及评分标准（附页）参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.B8.A9.D10.A二、填空题（每空2分，共20分）1.Σₖ=-∞ⁿδ(k)；u(n)-u(n-1)

2.6；1+2W₃+3W₃²（或1-1.5-j(√3/2)）

3.y(n)=x(n)*h(n)（线性卷积）；Y(e^(jω))=X(e^(jω))H(e^(jω))

4.绝对可和；包含单位圆

5.时域；频域三、简答题（每小题10分，共30分）1.区别：（1）DTFT是对离散时间信号x(n)的频域描述，频谱X(e^(jω))是连续的、周期为2π的；（2）DFT是对DTFT的离散采样，频谱X(k)是离散的、周期为N的；（3）DTFT适用于任意离散信号，DFT仅适用于有限长离散信号（或周期信号的一个周期）。（6分）

联系：DFT的频谱X(k)是DTFT频谱X(e^(jω))在ω=2πk/N（k=0,1,...,N-1）处的采样值，即X(k)=X(e^(j2πk/N))。（4分）2.（1）偶对称：h(n)=h(N-1-n)（N为滤波器阶数+1），对应的相位特性为φ(ω)=-ω(N-1)/2，为纯线性相位，无相位失真，适用于对相位要求较高的场景（如音频信号处理、图像处理）。（5分）

（2）奇对称：h(n)=-h(N-1-n)，对应的相位特性为φ(ω)=-ω(N-1)/2-π/2，线性相位叠加固定相移，适用于差分、滤波等对固定相移不敏感的场景（如边缘检测）。（5分）3.栅栏效应：DFT仅能计算离散频率点ω=2πk/N处的频谱值，无法获取相邻频率点之间的频谱信息，如同通过栅栏观察频谱，可能漏掉峰值频率，这种现象称为栅栏效应。（3分）

产生原因：DFT的频率分辨率是固定的（Δω=2π/N），仅能对连续频谱进行离散采样。（3分）

减小方法：①增加DFT点数N（可通过补零实现），提高频率分辨率；②对信号进行整周期采样，使信号频谱峰值落在采样频率点上。（4分）四、计算题（每小题10分，共20分）1.解：分别计算两个序列的Z变换并叠加（2分）

（1）对于因果序列(0.5)^nu(n)，其Z变换为X₁(z)=Σₙ=0^∞(0.5)^nz^(-n)=1/(1-0.5z^(-1))，收敛域ROC₁：|z|>0.5（4分）

（2）对于反因果序列2^nu(-n-1)，其Z变换为X₂(z)=-1/(1-2z^(-1))，收敛域ROC₂：|z|<2（4分）

故X(z)=X₁(z)+X₂(z)=1/(1-0.5z^(-1))-1/(1-2z^(-1))，收敛域ROC：0.5<|z|<2（10分）2.解：根据DFT定义X(k)=Σₙ=0^3x(n)W₄^(kn)，W₄=-j（2分）

（1）k=0：X(0)=x(0)W₄⁰+x(1)W₄⁰+x(2)W₄⁰+x(3)W₄⁰=1×1+2×1+3×1+4×1=10（4分）

（2）k=1：X(1)=x(0)W₄⁰+x(1)W₄¹+x(2)W₄²+x(3)W₄³=1×1+2×(-j)+3×(-1)+4×j=-2+j2（6分）

（3）k=2：X(2)=x(0)W₄⁰+x(1)W₄²+x(2)W₄⁴+x(3)W₄⁶=1×1+2×(-1)+3×1+4×(-1)=-2（8分）

（4）k=3：X(3)=x(0)W₄⁰+x(1)W₄³+x(2)W₄⁶+x(3)W₄⁹=1×1+2×j+3×(-1)+4×(-j)=-2-j2（10分）五、综合分析题（共10分）1.解：对H(z)进行部分分式展开（2分）

H(z)=(z-0.5)/(z²-1.5z+0.5)=(z-0.