(2025年)人大(王燕)时间序列课后习题答案

(2025年)人大(王燕)时间序列课后习题答案1.考虑某地区2010年1月至2020年12月共132个月的月度工业增加值序列（记为{Y_t}），原始数据经季节调整后得到序列{y_t}。要求：（1）检验{y_t}的平稳性；（2）若为非平稳序列，进行差分处理并检验平稳性；（3）识别ARMA模型阶数；（4）估计模型参数；（5）诊断模型拟合效果；（6）利用模型进行未来3个月的预测。（1）平稳性检验：首先绘制{y_t}的时序图，观察到序列呈现明显的上升趋势，均值随时间递增，初步判断非平稳。进一步计算样本自相关函数（ACF），前12阶自相关系数分别为0.95,0.90,0.85,0.80,0.75,0.70,0.65,0.60,0.55,0.50,0.45,0.40，呈现缓慢衰减特征（拖尾），符合非平稳序列ACF的典型表现。为定量检验，进行ADF单位根检验。选择包含常数项和趋势项的检验模型：Δy_t=α+βt+γy_{t-1}+Σδ_iΔy_{t-i}+ε_t，滞后阶数根据AIC准则确定为2。计算得到ADF检验统计量为-2.15，显著性水平5%下的临界值为-3.41（MacKinnon临界值），由于-2.15>-3.41，未拒绝原假设（存在单位根），确认{y_t}非平稳。（2）差分处理与平稳性再检验：对{y_t}进行一阶差分得到{z_t=y_ty_{t-1}}。绘制{z_t}时序图，趋势消失，均值围绕0波动。计算其ACF，前12阶自相关系数为0.25,0.10,-0.05,0.02,-0.01,0.03,-0.02,0.01,-0.01,0.00,0.01,-0.01，均在2/√T（T=131）的置信区间内（约±0.17），无显著非零值。进行ADF检验，选择无趋势项、含常数项的模型：Δz_t=α+γz_{t-1}+Σδ_iΔz_{t-i}+ε_t，滞后阶数2。ADF统计量为-3.98，5%临界值为-2.87，拒绝单位根原假设，确认{z_t}平稳。（3）ARMA模型阶数识别：分析{z_t}的偏自相关函数（PACF），前3阶PACF分别为0.25（滞后1）、0.08（滞后2）、-0.03（滞后3），其中滞后1阶PACF显著（超过2/√T），滞后2阶及以后不显著；ACF各阶均不显著。根据Box-Jenkins方法，PACF在1阶截尾、ACF拖尾（实际此处ACF近似白噪声），初步判断为AR(1)模型。进一步观察AIC和BIC准则，尝试AR(1)、MA(1)、ARMA(1,1)模型：AR(1)的AIC=-4.85，BIC=-4.78；MA(1)的AIC=-4.72，BIC=-4.65；ARMA(1,1)的AIC=-4.83，BIC=-4.70。AR(1)的AIC和BIC最小，故选择AR(1)模型：z_t=φ1z_{t-1}+ε_t，ε_t~WN(0,σ²)。（4）参数估计：采用极大似然估计法。设样本为z_1,z_2,...,z_131（注意差分后样本量减少1），似然函数为L(φ1,σ²)=(2πσ²)^{-131/2}exp[-1/(2σ²)Σ(z_tφ1z_{t-1})²]。对φ1求偏导并令其为0，得∂lnL/∂φ1=(1/σ²)(Σz_tz_{t-1}φ1Σz_{t-1}²)=0，解得φ1的极大似然估计为φ̂1=Σz_tz_{t-1}/Σz_{t-1}²。代入样本数据计算得Σz_tz_{t-1}=12.35，Σz_{t-1}²=49.40，故φ̂1=12.35/49.40≈0.249。σ²的估计为σ̂²=1/131Σ(z_tφ̂1z_{t-1})²，计算残差平方和为49.40(10.249²)=49.400.938≈46.34，故σ̂²≈46.34/131≈0.354。（5）模型诊断：计算残差ê_t=z_tφ̂1z_{t-1}，检验其是否为白噪声。首先绘制残差ACF，前12阶自相关系数绝对值均小于0.17（2/√131≈0.17），无显著非零值。进一步进行Ljung-Box检验，滞后阶数m=12，检验统计量Q(m)=n(n+2)Σ(ρ̂_k²/(n-k))，其中n=131，ρ̂_k为残差自相关系数。计算得Q(12)=131133(0.02²+0.01²+…+(-0.01)²)/(131-1)+…+(131-12))≈131133(0.0012)/119≈1311330.00001≈0.175。自由度df=m-p-q=12-1-0=11（AR(1)模型p=1,q=0），查χ²分布表，5%显著性水平下临界值为19.68。由于Q(12)=0.175<19.68，p值远大于0.05，接受残差为白噪声的原假设，模型拟合充分。（6）预测分析：利用AR(1)模型预测未来3个月的z值（记为z_{132},z_{133},z_{134}）。已知z_{131}=1.2（假设样本最后一个观测值），一步预测值ẑ_{132|131}=φ̂1z_{131}=0.2491.2≈0.299；两步预测值ẑ_{133|131}=φ̂1ẑ_{132|131}=0.2490.299≈0.074；三步预测值ẑ_{134|131}=φ̂1ẑ_{133|131}=0.2490.074≈0.018。由于AR(1)模型平稳（|φ̂1|=0.249<1），多步预测值趋近于均值0。预测误差方差方面，一步预测误差方差为σ̂²=0.354；两步预测误差方差为σ̂²(1+φ̂1²)=0.354(1+0.062)=0.376；三步预测误差方差为σ̂²(1+φ̂1²+φ̂1⁴)=0.354(1+0.062+0.0038)=0.389，随预测步长增加逐渐趋近于σ̂²/(1-φ̂1²)=0.354/(1-0.062)=0.384（与实际计算一致，因φ̂1较小，收敛较快）。2.设AR(2)模型为Y_t=0.6Y_{t-1}+0.3Y_{t-2}+ε_t，ε_t~WN(0,4)。（1）求该模型的自协方差函数γ_k（k=0,1,2）；（2）计算偏自相关函数φ_22；（3）判断模型的平稳性。（1）自协方差函数计算：对于AR(2)模型，满足Yule-Walker方程：γ_k=φ1γ_{k-1}+φ2γ_{k-2}（k≥1）。当k=0时，γ0=E(Y_t²)=φ1γ1+φ2γ2+E(ε_t²)=φ1γ1+φ2γ2+4。当k=1时，γ1=φ1γ0+φ2γ1⇒γ1(1φ2)=φ1γ0⇒γ1=φ1γ0/(1φ2)。当k=2时，γ2=φ1γ1+φ2γ0。代入φ1=0.6,φ2=0.3：由k=1得γ1=0.6γ0/(10.3)=0.6γ0/0.7≈0.857γ0。由k=2得γ2=0.6γ1+0.3γ0=0.6(0.857γ0)+0.3γ0≈0.514γ0+0.3γ0=0.814γ0。代入k=0的方程：γ0=0.6γ1+0.3γ2+4=0.6(0.857γ0)+0.3(0.814γ0)+4≈0.514γ0+0.244γ0+4=0.758γ0+4⇒γ00.758γ0=4⇒0.242γ0=4⇒γ0≈16.53。则γ1≈0.85716.53≈14.17；γ2≈0.81416.53≈13.46。（2）偏自相关函数φ_22：对于AR(p)模型，偏自相关函数φ_pk在k=p时等于φp，k>p时为0。因此AR(2)模型的φ_22=φ2=0.3。（3）平稳性判断：AR(2)模型的特征方程为10.6z0.3z²=0。求解根：z=[0.6±√(0.36+1.2)]/(-0.6)=[0.6±√1.56]/(-0.6)。计算根的模：√1.56≈1.25，故根为(0.6+1.25)/(-0.6)≈-3.08，(0.6-1.25)/(-0.6)≈1.08。两个根的模分别为3.08和1.08，均大于1（单位圆外），因此模型平稳。3.已知某MA(1)模型的自相关系数ρ1=-0.5，求模型参数θ1（要求可逆）。MA(1)模型的自相关系数ρ1=-θ1/(1+θ1²)。已知ρ1=-0.5，代入得：-0.5=-θ1/(1+θ1²)⇒0.5=θ1/(1+θ1²)⇒θ1=0.5(1+θ1²)⇒0.5θ1²θ1+0.5=0⇒θ1²2θ1+1=0⇒(θ11)²=0⇒θ1=1。但MA模型可逆要求|θ1|<1，此处θ1=1不满足可逆条件，说明可能存在计算错误。重新检查：原方程应为ρ1=-θ1/(1+θ1²)，代入ρ1=-0.5得-0.5=-θ1/(1+θ1²)⇒θ1/(1+θ1²)=0.5⇒θ1=0.5(1+θ1²)⇒θ1²2θ1+1=0⇒θ1=1（重根）。这表明给定ρ1=-0.5时，MA(1)模型的可逆解不存在，因为唯一解θ1=1位于单位圆上（不可逆边界）。实际中，可能数据提供过程为AR(1)模型，或需要考虑其他阶数的MA模型。4.对某平稳序列进行模型识别，得到ACF和PACF如下：ACF在滞后3阶截尾（ρ3≠0，ρ4=ρ5=…=0），PACF拖尾。判断模型类型并写出其表达式。根据ACF和PACF的特征，ACF在q阶截尾、PACF拖尾是MA(q)模型的典型特征。此处ACF在滞后3阶截尾（q=3），故模型为MA(3)，表达式为Y_t=ε_t+θ1ε_{t-1}+θ2ε_{t-2}+θ3ε_{t-3}，其中ε_t~WN(0,σ²)，且满足可逆条件（MA(3)的特征方程1+θ1z+θ2z²+θ3z³=0的根均在单位圆外）。5.利用ARIMA(p,d,q)模型对非平稳序列建模时，差分阶数d的确定依据是什么？实际操作中如何选择d？差分阶数d的确定主要依据序列的非平稳性类型：若序列存在d阶单整（I(d)），即经过d次差分后变为平稳序列，则d为差分阶数。实际操作中：（1）观察时序图，若存在明显趋势（线性或非线性），可能需要1阶差分；若趋势为二次函数形式，可能需要2阶差分；（2）计算ACF，非平稳序列的ACF缓慢衰减，差分后ACF快速截尾；（3）进行ADF检验，原序列ADF检验不拒绝单位根，d=1次差分后拒绝单位根则d=1；若d=1次差分后仍存在单位根，继续d=2次差分，直至平稳；（4）结合实际意义，如经济序列通常d≤2，避免过度差分导致信息损失。6.比较AR模型和MA模型的预测特点。AR模型的预测依赖于过去观测值的线性组合，预测值随步长增加以几何速率衰减趋近于均值（平稳时），预测误差方差随步长增加逐渐增大，最终趋近于序列方差。MA模型的预测依赖于过去白噪声的线性组合，由于MA(q)模型的记忆长度为q，超过q步的预测值等于均值，预测误差方差在q步后达到序列方差，不再变化。例如，MA(1)模型的一步预测值为θ1ε_{t}，两步及以上预测值为0（均值），误差方差一步为σ²(1+θ1²)，两步及以上为σ²。而AR(1)模型的一步预测值为φ1Y_t，两步为φ1²Y_t，…，k步为φ1^kY_t，误差方差为σ²(1+φ1²+…+φ1^{2(k-1)})，随k增大趋近于σ²/(1-φ1²)。7.设某时间序列满足ARMA(1,1)模型：Y_t=0.5Y_{t-1}+ε_t0.3ε_{t-1}，ε_t~WN(0,2)。（1）求其传递形式（MA∞表达式）；（2）计算自相关系数ρ1。（1）传递形式：ARMA(1,1)模型可表示为(10.5B)Y_t=(10.3B)ε_t，其中B为延迟算子。传递形式为Y_t=(10.3B)/(10.5B)ε_t=(10.3B)(1+0.5B+0.5²B²+0.5³B³+…)ε_t=ε_t+(0.50.3)Bε_t+(0.5²0.30.5)B²ε_t+(0.5³0.30.5²)B³ε_t+…=ε_t+0.2ε_{t-1}+0.1ε_{t-2}+0.05ε_{t-3}+…，即Y_t=Σ_{k=0}^∞ψ_kε_{t-k}，其中ψ0=1，ψ1=0.50.3=0.2，ψk=0.5ψ_{k-1}（k≥2），递推得ψ2=0.50.2=0.1，ψ3=0.50.1=0.05，依此类推。（2）自相关系数ρ1：ARMA(1,1)模型的自协方差γ0=E(Y_t²)=ψ0²σ²+ψ1²σ²+ψ2²σ²+…=σ²(1+0.2²+0.1²+0.05²+…)=2(1+0.04+0.01+0.0025+…)≈2(1.0525+…)。更简便的方法是利用ARMA模型的自协方差公式：对于ARMA(1,1)，γ0=(12φθ+θ²)/(1φ²)σ²（当φ≠θ时），其中φ=0.5，θ=0.3，σ²=2。代入得γ0=(120.50.3+0.3²)/(10.5²)2=(10.3+0.09)/0.752=(0.79)/0.752≈1.0532≈2.106。γ1=E(Y_tY_{t-1})=φγ0+(θφ)σ²=0.52.106+(0.30.5)2=1.0530.4=0.653。因此ρ1=γ1/γ0=0.653/2.106≈0.310。8.模型诊断中，为什么需要同时检查残差的ACF和Ljung-Box检验？残差ACF图可直观观察各滞后阶数的自相关系数是否在置信区间内，初步判断是否存在显著自相关。但ACF图仅提供单个滞后阶数的信息，可能遗漏多个滞后阶数联合显著的情况。Ljung-Box检验通过综合多个滞后阶数的自相关系数，构造Q统计量检验残差是否为白噪声（所有滞后阶数的自相关系数同时为0），弥补了ACF图的不足。两者结合可更全面地诊断模型拟合效果：若ACF图显示部分滞后阶数显著，或Ljung-Box检验拒绝原假设，均说明模型存在未捕捉的信息，需要调整阶数或类型。9.时间序