2026年江苏省高中提前自主招生考试数学模拟试卷（含答案详解）

第页江苏省2026年九年级提前自主招生模拟试卷数学试题卷·试卷类型:A卷·注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共4页，满分共100分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。第I卷（选择题）（共30分）选择题（共10题，每题3分，共30分）1．任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论：①；②；③若是一个完全平方数（即，是正整数），则；④若是一个完全立方数（即，是正整数），则．正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如果有理数a，b使得，那么（）A．是负数 B．是正数C．是正数 D．是负数3．已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（

）A．15 B．16 C．17 D．184．若只有三个正整数满足不等式（其中是常数），那么这三个正整数之和是（

）A．8 B．9 C．10 D．125．在，，，这四个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．6．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）

A． B． C． D．7．如图，的两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④．其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④8．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（

）．A． B． C． D．9．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（）m．

A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.510．如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（

） B． C． D．第II卷（非选择题）（共70分）填空题（共5题，每题4分，共20分）11．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为____________．12．如图，直线，是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把沿方向平移的一半得到（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是___．

13．设实数m，n分别满足，，=_____．14．抛物线与轴有交点，则的取值范围为______．15．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________．解答题（共5题，每题10分，共50分）16．四边形是正方形，⊙O经过A，D两点且与边相切于点E，动点P在射线上且在点C的右侧，动点Q与点O位于射线的同侧，点M是的中点，连接，．(1)如图1，若点M在⊙O上，且．求证：是⊙O的切线；(2)如图2，连接交于点G，若，，，当点M在⊙O内时求的值（用含m的代数式表示），并直接写出m的取值范围．17．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

18．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，①求的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，∠BCD=∠ECF=60°，已知菱形GECF绕点C旋转的角度为α．(1)如图①，当点G在对角线AC上时，求的值；(2)如图②，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为α（0°＜α＜60°），探索线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，在菱形GECF旋转的过程中，当点A，G，F在同一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H，若CE=2，GH=，求AH的长．20．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴正半轴交于点．(1)若，①求抛物线的解析式；②如图，直线交（）中抛物线于两点，为抛物线上之间（含两点）的动点，过点作轴于点，于点，试求的最大值和最小值；如图，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，直线交平移后的抛物线于两点，在此抛物线上存在一个定点，使得当与点不重合时，恒为，试求出此定点的坐标及此时抛物线的解析式．答案选择题题号12345678910答案CDADCDBBBA填空题11.12.40013.14.15.13解答题16.(1)答案见解析；(2)；（1）证明：连接，，．∵切⊙O于点E，∴，即．∵点E，点M在⊙O上，∴．又∵，，∴，∴，即，又∵点M在⊙O上，∴是⊙O的切线．（2）解：如图2，连接并延长交于点F，连接，．∵OA=OD，∴点O在AD的垂直平分线上，，又∵是正方形，∴点O在BC的垂直平分线上，∴点E是BC的中点，．∵，∴，即，解得，即圆的半径为．∵，，∴为等边三角形，∴，，∴．∵点M是的中点，∴．∴．过点Q作QH⊥BP交BP于点H，∵，所以，∴．∵点M是的中点，所以，∴．当点M在圆上时，EM最大，如图3，连接，，．此时，∴，此时，又∵m＞0，∴当点M在⊙O内时，．

17.

(1)正方形，见解析(2)①，见解析；②

（1）解：四边形为正方形．理由如下：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴四边形为矩形．∵，∴．∴矩形为正方形．（2）：①．证明：∵，∴．∵，∴．∵，即，∴．∵，∴．由（1）得，∴．②解：如图：设的交点为M，过M作于G，∵，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，∴点G是的中点；由勾股定理得，∴；∵，∴，即；∴；∵，，∴，∴，∴，即的长为．18.

(1)(2)①；②存在等腰三角形，点P的坐标为或或．

（1）解：，，四边形是长方形，，当点与点重合时，设直线的函数解析式为，把，代入得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：①当，即在上时，如图：；当，即在上时，如图：，；②存在等腰三角形，理由如下：如图：，，，在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，若时，，解得（舍去）或，；当时，，解得或（舍去），；当时，，解得，；综上所述，点的坐标为或或．19.

(1)；(2)AG=BE，证明见解析；(3)3

（1）解：如图1，过点E作EH⊥CG于点H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF=60°，∴∠ECH=∠ECF=30°，EC=EG，∵EH⊥CG，∴GH=CH，∴=cos30°=，∴=2•=，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴==；（2）解：AG=BE．理由如下：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD、四边形ECFG都是菱形，∠ECF=∠DCB=60°，∴∠ECG=∠EGC=∠BCA=∠BAC=30°，∴==．∴△ECG∽△BCA，∴=，∴==．∵∠ECB=∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴==，∴AG=BE．（3）解：如图3中，∵∠AGH=∠CGF=30°，∠AGH=∠GAC+∠GCA，∠DAC=∠HAG+∠GAC=30°，∴∠HAG=∠ACH，∵∠AHG=∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴=，∴AH2=HG•HC．∵FC=CE=2，CG=CF，∴GC=2，∵HG=，∴CH=3，∴AH2=HG•HC=•3=9．∵AH＞0，∴AH=3．20.

(1)①；②最大值为，最小值为(2)点的坐标为，抛物线解析式为

（1）解：①把代入，得，∴，∴，∵，∴，∴，，代入二次函数解析式得，，化简得，解得，∴；解：②设交直线于点，设点坐标为，则点坐标为，∴，设，则，∴由勾股定理得∴，∴，∴，解方程得，，当点P位于x轴上方时，，，∵，∴当时，有最大值，