重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高一下学期4月定时检测数学试题

西南大学附中高2028届高一下4月定时检测数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2026年4月注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【详解】由，，得，所以.2.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【详解】向量在上的投影向量为.3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由二倍角余弦公式可知，即.4.在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为是中点，，因为，所以，又，由题意得，故B正确.5.已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（）A.－5 B. C.－1 D.1【答案】C【解析】【分析】根据是奇函数和的值可得出的值，进一步可求出的值.【详解】令，则，因为是奇函数，所以.因为，所以，所以，所以.6.在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为BD平分，所以，又因为，所以，，在中，,在中，，所以．7.如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（）A.8 B.9 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值.【详解】解：由，，又，故，所以.因为，所以，又三点共线，所以.因此，当，时，，当且仅当，即时取等号，所以最小值.8.已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题干等式得出，结合函数的单调性得出，构造函数，其中，利用零点存在定理得出，且，进而得到，于是得出，结合对勾函数的单调性可得出满足条件的最小整数的值.【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，由，所以，因为是方程的解，则，可得，构造函数，其中，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，所以函数的零点在区间上，即，且，即，所以，所以，构造函数，则函数在上为减函数，且，，所以，故满足的最小整数为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数一定过第一象限B.函数且的图象过点且不与直线相交C.函数的定义域为D.，当时，恒有【答案】ABD【解析】【详解】对A：因为的图象必过点，所以函数一定过第一象限.故A正确；对B：因为，所以函数的图象过定点，又，所以，所以函数的图象不与直线相交.故B正确；对C：由，所以函数的定义域为，故C错误；对D：根据指数函数，一次函数和对数函数的增长速度可得，对，当足够大时，必定成立，故D正确.10.已知函数，下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数最大值为2C.将函数的图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数D.函数的图象关于直线对称【答案】AB【解析】【详解】，则，可化为，所以，对A，函数的最小正周期，A对；对B，的值域为，最大值是2，B对；对C，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，该函数是奇函数，不是偶函数，C错；对D，因为，所以是图像的对称中心，的图象不关于直线对称，D错.11.平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（）A. B.当时，C. D.【答案】ACD【解析】【详解】对于A，，，所以，A正确；对于B，，当时，，B错误；对于C，，因为，所以，因为向量夹角范围为，所以，C正确；对于D，，所以，令，则，所以，故，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值.【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得，化简得：，所以，解得，因此.13.重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______．【答案】【解析】【分析】先求出，继而利用正弦定理求出，再解，即可求得答案.【详解】由题意知，，则，在中，，故，则，在中，，故.14.已知平面向量，定义线性变换，且满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先利用已知条件化简整理，再结合均值不等式求的最小值.【详解】由题意得，所求的.由，令，则，解得，则，代入，得，当且仅当且时等号成立，此时所求最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，点在边上，且．（1）求和；（2）求向量与的夹角的余弦值．【答案】（1），（2）【解析】【小问1详解】由平面向量数量积定义：.代入，，，得.因为点在边上，且,所以是中点，所以.则.故.【小问2详解】，所以..设向量与的夹角为，则.16.已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为．（1）求的值和在区间上的单调递减区间；（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】小问1详解】由相邻对称轴间距为，得周期.由，且得，即.令，解得.结合定义域，对整数分类讨论：取时，得区间，该区间完全包含内，符合要求；取时，得区间，与无交集，舍去；取时，得区间，与无交集，舍去。同理易得取非零整数时，单调区间均与无交集.综上所述，在上的单调递减区间为.【小问2详解】方程可化为，即函数与直线的图象有个不同交点，时，.令，在有最大值，最小值.故.如图所示：当时，一个函数值对应个不同；当或时，一个函数值对应个.要使有个不等实根，需满足，解得.17.已知是定义域为的奇函数．（1）求实数的值；（2）用定义证明在上是增函数：（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由求出值并验证即得.（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证.（3）利用函数单调性将问题转化为不等式在上恒成立，再分离参数并借助基本不等式求解.【小问1详解】由定义在上的奇函数，得，解得，此时，，因此函数是奇函数，所以.【小问2详解】，，由函数是上的增函数，得，，则，即，所以在上是增函数.【小问3详解】由（1）得，由（2）知函数在上是增函数则，依题意，对任意，不等式恒成立，，当且仅当，即时取等号，则，所以实数的取值范围是.18.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积；（3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据平行向量的坐标公式化简，再结合正弦定理即可求解；（2）根据条件及余弦定理求得，再结合三角形的面积公式即可求解；（3）先设，根据正弦定理分别求出，和关于的表达式，从而得到关于的表达式，进而根据正弦函数的性质即可求出其最大值．【小问1详解】由，，且，则，则由正弦定理得，又在锐角中，，则,即，解得．【小问2详解】由，的周长为，则，又由余弦定理有，即，得，所以的面积为．【小问3详解】在中，，不妨设，则，，由正弦定理有，得，，在锐角中，由，则，由正弦定理有，得，所以，又，则，则，所以，故，即线段的最大值为．19.人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为．（1）菱形ABCD中，，动点在直线CD上．（ⅰ）当时，求；（ⅱ）求的取值范围．（2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，用坐标法表示有关向量.（ⅰ）利用的定义求值；（ⅱ）先利用定义表示，再利用函数的奇偶性结合基本不等式求的取值范围.（2）先表示出，通