高三二轮高效复习主题巩固卷数学范围与最值问题

[课下巩固检测练(四十)]范围与最值问题(每题10分)1.已知椭圆Γ：x2a2＋y2＝1(a＞1)的上、下顶点分别为A，B，点Q在线段AB上运动(不含端点)，点P(－1，0)，直线PQ与椭圆交于C，D两点(点C在点P左侧)，PD的中点M的轨迹交y轴于E，F两点，且｜EF(1)求椭圆Γ的方程；(2)记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2，求k1－k2的最小值.解：(1)设PD中点M(x0，y0)，则D(2x0＋1，2y0)，因为点Q在线段AB上，所以点D只能在右半椭圆上运动，所以0＜2x0＋1≤a，即－12＜x0≤a由点D在椭圆Γ：x2a2＋y2＝所以(2x0+1)2a2令x0＝0，得｜y0｜＝12因为｜EF｜＝32，所以2｜y0｜＝32，代入①解得a2＝故椭圆Γ的方程为x24＋y2＝(2)设直线CD的方程为y＝k(x＋1)，｜k｜＜1，C(x1，y1)，D(x2，y2).由y得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，则x1＋x2＝－8k24k2+1，又k1＝y1－1x1＝kx1＋k－1xk1－k2＝(k－1)(1x1－1x2)＝(k＝(k－1)64k4(令t＝k＋1∈(0，2)，得k1－k2＝3t2－6t+4t当t＝43，即k＝13所以k1－k2的最小值为322.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l的斜率为－1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线l与椭圆交于A，B两点，求线段AB的长度的取值范围.解：(1)因为C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)可得e＝ca＝12且2c＝2，解得a＝2，c＝1，则b＝a2所以椭圆C的标准方程为x24＋y2(2)直线l的斜率为－1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，设直线l：y＝－x＋m，且m∈－3联立方程组x24＋y23=1，y＝－x＋m，整理得设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝8因此AB＝x1－x22＋y1－y2由m∈－3，3，可得7－m2∈2，7所以AB的取值范围为(867，43.(2025·安徽滁州一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点P－1，32，M为C的右顶点，过点P的直线(1)求C的标准方程；(2)求△PQM面积的最大值.解：(1)由题c＝1，故a2－b2＝1，把P(－1，32)代入椭圆方程中得到1a2＋9解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y2(2)由题M(2，0)，直线PM的方程为y＝－12x＋1设与直线PM平行的直线m的方程为y＝－12x＋t当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，△PQM面积最大，把y＝－12x＋t代入椭圆方程中，得4x2－4tx＋4t2－12＝0当直线m与椭圆相切时，距离最大，故有Δ＝0，即Δ＝16t2－16(4t2－12)＝0，所以t2＝4，即t＝±2，当t＝－2时，y＝－12x－2与y＝－12x＋1之间的距离即为椭圆上点到直线PM此时d＝－2－1所以△PQM面积最大值为S＝12PM·d＝12×3524.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(1)求C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k＞0，m＞0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM＝λBM，AN＝μBN.①当μ＝1λ＝2时，求k的值②当λ＋μ＝3时，求点0，－3到解：(1)由题意得2b=2所以C的方程为x23＋y2＝(2)①由题意得A0，m，B由AM＝12BM，得OM＝2OA－OB，即M(mk，2由AN＝2BN，得ON＝2OB－OA，即N(－2mk，－m将M，N的坐标分别代入C的方程，得m23k2＋4m2＝1和4m2解得k2＝13，又k＞0，所以k＝3②由y＝kx＋m，x23＋y2=1消去y，得3k2其中Δ＝36k2m2－123k2+1m2－1＝12(3k2－m设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－6km3k2+1，x由AM＝λBM，AN＝μBN，A0，m，B(－mk，得x1＝λx1＋mk，x2所以λ＋μ＝x1x1由λ＋μ＝3，得k2x1x2＋2mkx1＋x2＋3m即3m2k2－3k23所以3m2k2－3k2－12m2k2＋9m2k2＋3m2＝